高考数学(文)一轮复习讲义 第12章12.2第2课时 不等式的证明.docx

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1、第2课时不等式的证明最新考纲考情考向分析通过一些复杂征询题了解证明不等式的全然方法：比较法、综合理、分析法.要紧调查用比较法、综合理、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.1.比较法(1)作差比较法清楚abab0，ababb，只需证明ab0即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只需证明1即可，这种方法称为作商比较法.2.综合理从已经清楚条件出发，使用不等式的有关性质或定理，通过推实践证，最终推导出所要证明的不等式成破，这种证明方法叫做综合理，即“由因导果的方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成破的充分条件，直到将待证

2、不等式归结为一个已成破的不等式(已经清楚条件、定理等)，从而得出要证的不等式成破，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因的方法.4.反证法先假设要证的命题不成破，以此为出发点，结合已经清楚条件，应用公理、定义、定理、性质等，停顿精确的推理，掉掉落跟命题的条件(或已证明的定理、性质、清楚成破的理想等)冲突的结论，以说明假设不精确，从而证明原命题成破.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值增加或增加，简化不等式，从而抵达证明的目的.不雅念方法微思索1.综合理与分析法有何外延联系？提示综合理屡屡是分析法的相反过程，其表述复杂、档次明晰，当征询题比较复杂时，素日把分析法跟综合理结合起来应用

3、，以分析法寻寻证明的思路，而用综合理表达、表达全体证明过程.2.分析法的过程中什么缘故要应用“要证，“只需证如斯的连接“关键词？提示由于“要证“只需证这些词说清楚分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特征，因此在证题时，这些词是必弗成少的.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)当a0，b0时，.()(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0的假设为“a，b，c全不为0.()(3)假设实数x，y适宜不等式xy1，xy2，那么x0，y0.()(4)假设ma2b，nab21，那么nm.()题组二讲义改编2.已经清楚a，bR，ab2，那么的最小值为()A.1

4、B.2C.4D.8答案B分析由于a，bR，且ab2，因此(ab)2224，因此2，即的最小值为2(当且仅当ab1时，“成破).应选B.3.假设a，b，mR，且ab，那么以下不等式肯定成破的是()A.B.C.D.b.因此0，即，应选B.题组三易错自纠4.已经清楚abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的反设为()A.a0，b0，c0，c0C.a，b，c不全是正数D.abcb1，xa，yb，那么x与y的大小关系是()A.xyB.xb1，得ab1，ab0，因此0，即xy0，因此xy.应选A.6.假设a，b，c，那么a，b，c的大小关系为()A.abcB.acbC.bcaD.

5、cab答案A分析“分子有理化得a，b，c，abc.题型一用综合理与分析法证明不等式例1(1)已经清楚x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)由于x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33(当且仅当xy1时，等号成破)，因此2x2y3.(2)由于a，b，c0，因此要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成破)成破，因此原不等式成破.

6、思维升华用综合理证明不等式是“由因导果，用分析法证明不等式是“执果索因，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合理屡屡是分析法的逆过程，表述复杂、档次明晰，因此在理论应用时，屡屡用分析法沉思路，用综合理写步伐，由此可见，分析法与综合理互相转化，互相渗透，互为条件，充分使用这一辩证关系，可以增加解题思路，宽敞视野.跟踪训练1(2017世界)已经清楚a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)由于(ab)3a33a2b3ab

7、2b323ab(ab)2(ab)2(当且仅当ab时，取等号)，因此(ab)38，因此ab2.题型二放缩法证明不等式例2(1)设a0，|y2|，求证：|2xy4|0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.原不等式成破.思维升华(1)在不等式的证明中，“放跟“缩是常用的证明技艺，稀有的放缩方法有：变卦分式的分子跟分母，如，上面不等式中kN，k1；使用函数的单调性；使用结论，如“假设0a0，那么.(2)应用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩

8、法结合在一起应用，使用放缩法时要目的清楚，通过添、拆项后，适当放缩.跟踪训练2设f(x)x2x1，实数a称心|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1).证明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，即|f(x)f(a)|0，n0)，求证：m4n23.(1)解当a2时，不等式为|x2|x1|7，或或解得x2或x5.不等式的解集为(，25，).(2)证明由f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，1(m0，n0)，m4n(m4n)323.当且仅当m1，n时等号成破.2.已经清楚函数f

9、(x)|x3|.(1)求不等式f(x)2a22b2.(1)解当x3时，|x3|x1等价于x3x1，不等式恒成破，因此x3；当x3时，|x3|x1等价于3x1，因此1x3，综上可知，不等式f(x)1.(2)证明由于(a21)(b21)(2a22b2)(ab)2a2b212a22b2(ab)2a2b21(a21)(b21)，又由于a，bM，因此a1，b1，因此a21，b21，a210，b210，因此(a21)(b21)0，因此原不等式(a21)(b21)2a22b2成破.3.已经清楚函数f(x)|x5|，g(x)5|2x3|.(1)解不等式f(x)g(x)；(2)设Ff(x2y2)g(3y12)，

10、求证：F2.(1)解由题意得原不等式为|x5|2x3|5，等价于或或解得x或x3或1x，综上可得1x3.原不等式的解集为x|1x0，b0，且a2b22.(1)假设|2x1|x1|恒成破，求x的取值范围；(2)证明：(a5b5)4.(1)解设y|2x1|x1|由a2b22，得(a2b2)1，故(a2b2)，当且仅当a2，b2时取等号，因此|2x1|x1|.当x1时，x，得1x；当x1时，3x2，解得x，故x1；当x时，x，解得x，故x，综上可知，x.(2)证明(a5b5)a4b4，(a2b2)22a2b2，(a2b2)222a2b2(a2b2)24，当且仅当ab1时取等号.5.(1)假设关于x的不等式|x3|x2|5，参数m的取值范围为(5，).(2)证明a2b22ab(a0，b0)，即a.由于0hmina,01，且f(ab)|a|f，证明：|b|3.(1)解|x3|x2|5，当x3时，(x3)(x2)5，x5；当2x3时，(3x)(x2)5,15，无解；当x|a|f等价于|ab3|a|，即|ab3|b3a|，那么(ab3)2(b3a)2，化简得a2b29b29a20，即(a21)(b29)0.由于|a|1，因此a210，因此b290，|b|3.