高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破1 第1课时导数与不等式.docx
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1、高考专题攻破一高考中的导数运用征询题第1课时导数与不等式题型一证明不等式例1已经清楚函数f(x)1,g(x)xlnx.(1)证明:g(x)1;(2)证明:(xlnx)f(x)1.证明(1)由题意得g(x)(x0),当0x1时,g(x)1时,g(x)0,即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数因而g(x)g(1)1,得证(2)由f(x)1,得f(x),因而当0x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,)上为增函数,因而f(x)f(2)1(当且仅当x2时取等号)又由(1)知xlnx1(当且仅当x1时取等号),且等号差异时取得,因而(xlnx)f(x)
2、1.思想升华(1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)0(运用单调性),特不情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法),但后一种方法不存在普遍性(2)证明二元不等式的全然思想是化为一元不等式,一种方法为变卦不等式使两个变元成为一个全部,另一种方法为转化后运用函数的单调性,如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)对x1x2恒成破,即等价于函数h(x)f(x)g(x)为增函数跟踪训练1已经清楚函数f(x)xlnxex1.(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)证明:f(x)sinx在(0,)上恒成破(1)解依题意得f(x)lnx1ex,又
3、f(1)1e,f(1)1e,故所求切线方程为y1e(1e)(x1),即y(1e)x.(2)证明依题意,要证f(x)sinx,即证xlnxex1sinx,即证xlnxexsinx1.当00,xlnx0,故xlnxexsinx1,即f(x)1时,令g(x)exsinx1xlnx,故g(x)excosxlnx1.令h(x)g(x)excosxlnx1,那么h(x)exsinx,当x1时,exe11,因而h(x)exsinx0,故h(x)在(1,)上单调递增故h(x)h(1)ecos110,即g(x)0,因而g(x)在(1,)上单调递增,因而g(x)g(1)esin110,即xlnxexsinx1,即
4、f(x)sinx.综上所述,f(x)0,f(x)单调递增;当x(1,)时,f(x)0,f(x)单调递减因而x1为函数f(x)的极大年夜值点,且是唯一极值点,因而0a1a,故a0,因而g(x)为单调增函数,因而g(x)g(1)2,故k2,即实数k的取值范围是(,2引申探究本例(2)中假设改为:x1,e,使不等式f(x)成破,务虚数k的取值范围解当x1,e时,k有解,令g(x)(x1,e),由例(2)解题知,g(x)为单调增函数,因而g(x)maxg(e)2,因而k2,即实数k的取值范围是.思想升华运用导数处置不等式的恒成破征询题的策略(1)起重要构造函数,运用导数求出最值,求出参数的取值范围(2
5、)也可不离变量,构造函数,开门见山把征询题转化为函数的最值征询题跟踪训练2(2018沈阳模拟)已经清楚函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时,求证:f(x)0;(2)当x0时,假设不等式f(x)0恒成破,务虚数a的取值范围(1)证明当a0时,f(x)ex1x,f(x)ex1.当x(,0)时,f(x)0.故f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,f(x)minf(0)0,f(x)0.(2)解f(x)ex12ax,令h(x)ex12ax,那么h(x)ex2a.当2a1,即a时,在0,)上,h(x)0,h(x)单调递增,h(x)h(0),即f(x)f(0)0,f(x)在0,)上为增函
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