2022年高考常用数学公式及结论.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考常用公式及常用结论 1.德摩根公式C UAB C A U C B C U U A B C A U C B . U的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2n 1 个； 2 集合 a a 2 , , a n 非空的真子集有 2 n 2 个. 3. 二次函数的解析式的三种形式21 一般式 f x ax bx c a 0 ; 22 顶点式 f x a x h k a 0 ; 3 零点式 f x a x x 1 x x 2 a 0 . 4. 方程 f x 0 在 k 1k 2 上有且只有一个实根 , 与 f k 1 f k

2、 2 0 不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件 . 特殊地 , 方程 ax 2 bx c 0 a 0 有且只有一个实根在 k 1k 2 内 , 等 价 于 f k 1 f k 2 0 , 或 f k 1 0 且 k 1 b k 1 k 2, 或 f k 2 0 且2 a 2k 1 k 2 bk 2 . 2 2 a5. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f x ax 2bx c a 0 在闭区间 p, q 上的最值只能在 x b处及区间的2 a两端点处取得,详细如下：1 当 a0 时,如 x b p , q,就 f min f b, f x max max f p , f q ；2 a

3、 2 ax bp , q,f x max max f p , f q ,f x min min f p , f q . 2 a2 当 a0 fxfxa0,就fx的周期 T=2a；（1）fxfxa,就fx的周期 T=a（2）26. 分数指数幂1amn1（a0,m nN ,且n1） . nam2am（a0,m nN ,且n1）. 1nmannana ；27根式的性质（1） n a na . （2）当 n 为奇数时,当 n 为偶数时,nana a00. |a|a a28有理指数幂的运算性质1 arasr as a0, , r sQ . 2 arsrs aa0, , r sQ . 3 rab r ra

4、 ba0,b0,rQ . 注： 如 a0,p 是一个无理数,就 对于无理数指数幂都适用 . 29. 指数式与对数式的互化式ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,logaNbabN a0,a1,N0.30. 对数的换底公式logaNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. logma推论logambnnlogba, 且a1,m n0, 且m1 ,m31对数的四就运算法就如 a0,a 1, M0,N0,就名师归纳总结 a1 log aMNlogaMlog aN ; a00 , 记b24ac. 如fx的定义域为 R , 就第 4 页,共 19 页2 logM a

5、 N n MlogaMlogaN; 3 loganlogaM nR . 32. 设函数fx logmax2bxc0,且0 ; 如fx的值域为 R , 就a,且0 . 对于a0的情形 , 需要单独检验 . ,33.对数换底不等式及其推广ylogax bx 如a0,b0,x0,x1, 就函数aylog bx 为增函数 . 1当 ab 时, 在0,1和1 a,上aylogax bx 为减函数 . 2 当 ab 时, 在0,1和1,上aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就（1） logmp np log mn .y N1

6、p x. （2）logamloganloga2m2n.34 平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间 x 的总产值 y ,有39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系a ns 1,s nnn12 数列 a n的前 n 项的和为s na 1a 2a . s n1,35. 等差数列的通项公式a na 1 n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 12anna 1n n1d2d n 22a 11d n . ；2N*36. 等比数列的通项公式ana qn1a 1qnnq其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q1qa nd a 1b q0的通项公

7、式为1qna q11 . 或s na 1a q q q1na q1a n137. 等比差数列an:bn1 , d q1d q1；anbqndb qn1q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq1138.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab 1b n元贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1b n139常见三角不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如x0,2,就 sinxxtanx . 2 如xx0,2,就 1. sinxcosx2. 3 | sin| cos

8、x| 140. 同角三角函数的基本关系式sin22 cos1, tan=sin, tancot1. cos41. 正弦、余弦的诱导公式nsinn 1 sin,n 为偶数 cosn 1ncos,n1s ,n 为奇数 2 12con 为偶数 2n 为奇数 2 1n12sin42. 和角与差角公式sinsincoscossin; 的 象 限 决.coscoscossinsin; tantantan. 1tantansinsin2 sin2 sin 平方正弦公式 ; coscos2 cos2 sin. asinbcos=a2b 2 sin 辅 助 角所 在 象 限 由 点 , 定, tanb .a43

9、. 二倍角公式sin 2sincos. cos2cos2sin22cos2112sin2. tan212 tan2. tan44. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin3sin3. cos34cos33cos4coscos3cos3tan33tantan3tantan3 tan3. 13tan245. 三角函数的周期公式名师归纳总结 函数yTsinx,xR 及函数ycosx,xRA, ,为常数,且A 0, 第 6 页,共 19 页,kZ A, ,为常数,且A 0,20 的周期；函数ytanx,xk2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0

10、的周期 T . 46. 正弦定理a b c2 R . sin A sin B sin C47. 余弦定理2 2 2a b c 2 bc cos A ; 2 2 2b c a 2 ca cos B ; 2 2 2c a b 2 ab cos C . 48. 面积定理（1）S 1ah a 1bh b 1ch （h a、 、h c 分别表示 a、b、 c 边上的高） . 2 2 2（2）S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 23 S OAB 1| OA | | OB | 2 OA OB 2. 249. 三角形内角和定理在 ABC中,有 A B C C A B C

11、 A B2 C 2 2 A B . 2 2 250. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a;3 其次安排律： a+b= a+ b. 51. 向量的数量积的运算律：1 a b= b a （交换律） ; ab= a （b）; 2 （a）b= （ab）=3 （a+b）c= ac +b c.52. 平面对量基本定理假如 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、2,使得 a=1e1+2e2基底 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组53向量平行的坐标表示设 a= x

12、y 1 , b= x 2 , y 2 ,且 b 0,就 a bb 0 x y 2 x y 1 0 .54. a 与 b 的数量积 或内积 ab=| a| b|cos 55. a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的积56. 平面对量的坐标运算1 设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,就 a+b=x 1x 2,y 1y 2. 2y 1. 2 设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,就 a-b=x 1x 2,y 1y 2. 3 设 Ax y 1,Bx 2,y 2, 就ABOBOAx 2x y4 设 a= , ,R ,

13、就a= x ,y . y y 2. 5 设 a=x y 1, b=x 2,y 2,就 ab=x x 257. 两向量的夹角 公式名师归纳总结 cos2 x 1x x 1 2y y 1 22 y 2 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2. 第 7 页,共 19 页2 y 12 x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 58. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB AB2Ax 1,y 1,Bx 2,y 2. x2x 12y2y 159. 向量的平行与垂直设 a=x y 1, b=x 2,y 2,且 b0,就0. x y 10. A| bb= a x

14、 y 2aba0ab=0x x 2y y 260. 点的平移公式xxhxxhOP OPPP . P x y,且 PP 的坐标yykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形 F 上的对应点为为 , h k . 61. “ 按向量平移” 的几个结论（1）点 P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点 P x h y k . 2 函数 y f x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式为 y f x h k . 3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 如 C 的解析式 y f x , 就 C 的函数解析 式为 y

15、f x h k . 4 曲 线 C : f x y , 0 按 向 量 a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 C 的 方 程 为f x h y k . 05 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 62. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 2（1） O 为 ABC 的外心 OA OB OC . （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA. （4） O 为

16、 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . （5） O 为 ABC 的 A的旁心 aOA bOB cOC. 63. 常用不等式：（1）a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2）a b R a bab 当且仅当 a b 时取“=” 号23 3 3（3）a b c 3 abc a 0, b 0, c 0.（4）柯西不等式名师归纳总结 a2b2 c2d2acbd2 , , , , a b c dxR .有最小值2p；第 8 页,共 19 页（5）ababab.y64. 极值定理已知x,y都是正数,就有xy时和（1）如积 xy是定值 p ,就当- - - - - -

17、 -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如和xyy是定值 s,就当x2y时积 xy 有最大值1 s . 4推广 已知x,R,就有xyxy 22 xy（1）如积 xy是定值 , 就当|xy|最大时 ,|xy|最大；当|xy|最小时 ,|xy|最小 . | xy 最小；（2）如和|xy|是定值 , 就当|xy|最大时 , 当|xy|最小时 , | xy 最大 . 0a0,b 24 ac0, 如 果 a 与65. 一 元 二 次 不 等 式ax 2bxc0 或ax2bxc 同号,就其解集在两根之外；假如a 与ax2bxc 异号,就其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外,异号两根

18、之间. x 1xx 2xx 1xx 20x 1x 2；. xx 1,或xx 2xx 1xx 20x 1x 266.斜率公式k y 2 y 1（P x y 1 1 1 、P x 2 2 , y 2 ）. x 2 x 167.直线的五种方程（1）点斜式 y y 1 k x x 1 直线 l 过点 P x y 1 1 1 ,且斜率为 k （2）斜截式 y kx b b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . （3）两点式 y y 1 x x 1 y 1 y P x y 1 、P x 2 , y 2 x 1 x . y 2 y 1 x 2 x 14 截距式 x y 1 a、b 分别为直线的横、纵截距,a、

19、b 0 a b（5）一般式 Ax By C 0 其中 A 、B 不同时为 0.68.两条直线的平行和垂直1如 1 l : y k x 1 b ,1 l 2 : y k x 2 b 2 l 1 | l 2 k 1 k b 1 b 2 ; l 1 l 2 k k 2 1 . 2如 1 l : A x 1 B y 1 C 1 0 , 2 l : A x 2 B y 2 C 2 0 ,且 A 1、A2、B1、B2都不为零 , l 1 | l 2 A 1 B 1 C 1；A 2 B 2 C 2 l 1 l 2 A A 2 B B 2 0；69.夹角公式名师归纳总结 1tan|k2k 1|. C 21 ,

20、A A 2B B 20. 第 9 页,共 19 页1k k 1 1 l:yk xb ,l2:yk xb ,k k 22tan|A B 2A B 1|. 0A A 2B B 2 1 l:A xB yC 10, 2 l:A xB y直线l 1l 时,直线 l1与 l2的夹角是2. 70. 1l 到2l 的角公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1tank2k 1. 1k k 1 1 l:yk xb ,l2:yk xb ,k k 1 21 ByC 异2tanA B 2A B 1. A A 2B B2 1 l:A xB yC 10, 2 l:A xB yC 2

21、0,A A 2B B 20. 直线l 1l 时,直线 l1到 l2的角是2. 71.点到直线的距离d|Ax0By0C|点P x 0,y 0,直线l：AxByC0. 2 ABy2 BC72.Ax0或0 所表示的平面区域设直线l:AxByC0,就AxByC0或0 所表示的平面区域是：如B0,当 B 与 AxByC 同号时,表示直线l 的上方的区域；当B 与 AxByC 异号时,表示直线 l 的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 .如 B 0,当 A 与 Ax By C 同号时,表示直线 l 的右方的区域；当A与 Ax号时,表示直线l 的左方的区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左 .7

22、3.A xB yC 1A xB yC 20或0 所表示的平面区域设曲线C: A xB yC 1A xB yC 20（A A B B 20）,就A xB yC 1A xB yC 20或0 所表示的平面区域是：A xB yC 1A xB yC 20所表示的平面区域上下两部分；A xB yC 1A xB yC 20所表示的平面区域上下两部分. 74. 圆的四种方程（1）圆的标准方程xa2 yb 2r2. （2）圆的一般方程x2y2DxEyF0D2E24F 0. （3）圆的参数方程xarcos. ybrsinA x y 1、（4）圆的直径式方程xx 1xx 2yy 1yy 20 圆的直径的端点是B x 2,y 2. 75. 圆系方程1 过点A x y 1