2022年新课标高中数学基础知识.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 新课标高中数学 理科 基础学问1. 留意区分集合中元素的形式. 如： x ylgx 函数的定义域； y ylg x 函数的值域； , | y lg x 函数图象上的点集 . 2. 集合的性质：任何一个集合 A是它本身的子集 , 记为A A . 空集是任何集合的子集 , 记为 A . 空集是任何非空集合的真子集；留意 : 条件为 A B , 在争论的时候不要遗忘了A 的情形如：A x | ax 2 2 x 1 0 , 假如 A R , 求 a 的取值 . 答：a 0 C U A B C A C B , C U A B C A C B ； A B）

2、C A（B C）；（A B）C A（B C）. A B A A B B A B C B C A A C B C A B R . A B 元素的个数：card A B cardA cardB card A B . 含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n ；真子集 非空子集 个数为 2 n1；非空真子集个数为2 n 2 . 3. 补集思想 常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题；如：已知函数 f x 4 x 22 p 2 x 2 p 2p 1 在区间 1,1 上至少存在一个实数 c , 使fc0, 求实数 p 的取值范畴 . 答：3 3, 2q ；逆否命题 : qp ；4. 原命题 : pq

3、；逆命题 : qp ；否命题 : p互为逆否的两个命题是等价的 . 如：“sinsin” 是“” 的条件 . 答：充分非必要条件 5. 假设 pq 且 qp , 就 p 是 q 的充分非必要条件 或 q 是 p 的必要非充分条件. 名师归纳总结 6. 留意命题 pq 的否认 与它的 否命题 的区分 : 命题 pq 的否认 是 pq ；否第 1 页,共 25 页命题 是pq . 新课标高中理科数学基础总结第1页 共25页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 命题“p或 q ” 的否认是“p且q” ；“p 且 q ” 的否认是“p或q” . 如：“ 假设 a和

4、 b 都是偶数, 就 a b 是偶数” 的否命题是“ 假设 a 和 b 不都是偶数, 就 a b 是奇数”否认是“ 假设 a 和 b 都是偶数 , 就 a b 是奇数”. 7. 常见结论的否认形式原结论否认原结论否认1是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至 多 有n个小于不小于至多有 n 个至 少 有n1个对全部 x, 成立存 在 某 x , 不 成p或 qp且qA中的元素必有象立对 任 何 x , 不 成存在某 x , 成立p且 qp或q立1. 映射 f : AB 是： “ 一对一或多对一” 的对应；集合且 A中不同元素在 B中可以有相同的象；集合

5、 B中的元素不肯定有原象 即象集 B . 2. 函数 f : A B 是特殊的映射 . 特殊在定义域 A和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 x轴的垂线至多有一个公共点 , 但与 y 轴垂线的公共点可能没有 , 也可能有任意个 . 3. 函数的三要素：定义域 , 值域 , 对应法就 . 争论函数的问题肯定要留意定义域优先的原就 . 4. 求定义域 : 使函数解析式有意义 如: 分母 0 ; 偶次根式被开方数非负 ; 对数真数 0 , 底数 0且 1；零指数幂的底数 0 ；实际问题有意义；假设 f x 定义域为 , a b , 复合函数 f g x 定义域由 a g x b 解出；假设

6、f g x 定义域为 , a b , 就 f x 定义域相当于 x , 时 g x 的值域 . 5. 求值域常用方法 : 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴 . 三角有界法： 转化为只含正弦、 余弦的函数 ,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法； 数形结合： 依据函数名师归纳总结 新课标高中理科数学基础总结第2页 共25页第 2 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的几何意义 , 利用数形结合的方法来求值域；般适用于高次多项式函数 . 判别式法 慎用：导数法 一6. 求函数解析式的常用方法： 待定

7、系数法 已知所求函数的类型 ； 代换 配凑 法；方程的思想 - 对已知等式进行赋值,从而得到关于 f x 及另外一个函数的方程组；7. 函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；假设 f x 是偶函数 , 那么 f x f x f | x |；定义域含零的奇函数必过原点 f 0 0 ；判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f x f x 0 或 f x 1 0f x 4 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 5 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法 用于小题 等. 6 复合

8、函数单调性由 “ 同增异减”判定 . 提示：求单调区间时留意定义域如：函数 y log x 22 x 的单调递增区间是 _ . 答： 1,2 28. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移 -“ 左加右减” 留意是针对 x 而言；上下平移 - “ 上加下减” 留意是针对f x 而言 . 翻折变换：f x |f x |；f x f|x|. 对称变换：证明函数图像的对称性, 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上 . 名师归纳总结 证明图像C 与C 的对称性 , 即证C 上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍第 3 页,共 25 页在C 上, 反之亦然 . 函数yf x 与yfx 的

9、图像关于直线x0 y 轴 对称；函数yf x 与函数yfx 的图像关于直线y0 x 轴 对称；假设函数yf x 对 xR 时,f axf ax 或f x f2ax 恒成立 , 就yf x 图像关于直线 xa 对称；假设yf x 对 xR时,f ax f bx 恒成立 , 就yf x 图像关于直线新课标高中理科数学基础总结第3页 共25页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xa2b对称；函数yf ax ,yf bx 的图像关于直线xb2a对称 由 axbx 确定 ；函数yf xa 与yf bx 的图像关于直线xa2b对称；9. 函数的周期性：假设 y f

10、x 对x R 时 f x a f x a 恒成立 , 就 f x 的周期为2 | a ；假设 y f x 是偶函数 , 其图像又关于直线 x a 对称 , 就 f x 的周期为2 | a ；假设 y f x 奇函数 , 其图像又关于直线 x a 对称 , 就 f x 的周期为 4| a ；假设 y f x 关于点 ,0 , ,0 对称 , 就 f x 的周期为 2 | a b ； y f x 的图象关于直线 x a , x b a b 对称 , 就函数 y f x 的周期为2 | a b ； y f x 对 x R 时, f x a f x 或 f x a 1, 就 y f x 的周期为f x

11、 2 | a ；10. 对数： log a b log a n b na 0, a 1, b 0, n R ；对数恒等式 log a a 1,log 1 a 0 , a log aN N a 0, a 1, N 0； log a M N log a M log a N ;log a M log a M log a N ;log a M nn log a M ；Nn 1log a M log a M ；n对数换底公式 log a N log b N a 0, a 1, b 0, b 1；log b a推论：log a b log b c log c a 1 log a 1 a 2 log a 2

12、 a 3 log a n 1 a n log a 1 a . 以上 M 0, N 0, a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1, a a 2 , a n 0 且 a a 2 , a 均不等于1 名师归纳总结 11. 方程kf x 有解kD D 为f x 的值域 ；第 4 页,共 25 页新课标高中理科数学基础总结第4页 共25页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - af x 恒成立af x 最大值, af x 恒成立af x 最小值. 12. 恒成立问题的处理方法： 别离参数法 最值法 ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次

13、函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值 问题用“ 两看法” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax2bxc a0；顶点式：f x a xh2k a0； 零点式：f x a xx 1xx 2a0. 15. 一元二次方程实根分布: 先画图再争论0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号 ; 16. 复合函数：复合函数定义域求法：假设f x 的定义域为 , a b , 其复合函数f g x 的定义域可由不等式ag x b 解出；假设f g x 的定义域为 , a b , 求f x 的定义域,相当于x , a b 时

14、, 求g x 的值域；复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定 . 17. 函 数yaxba0,b0： 增 区 间 为 ,b,b, 减 区 间 为xaa,b,0,0,b a. ax1在区间 2, 上为增函数 , 就实数 a 的取值范畴是a如：已知函数f x x2_ 答：1 ,2 . 1n2,nN*留意验证a 是否包含在后面na的公式中 ,1. 由S 求a ,anS nS nS n1假设不符合要单独列出. 如：数列a n满意a 14,S nS n15a n1,求na 答：3an4 n3 4n1 1 n2. an1d d 为常数 2a nan1a n1n2,nN*2. 等差数列ana nananb

15、ad ba 1dS nAn2Bn Ad,Ba 1d；22新课标高中理科数学基础总结第5页 共25页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 等差数列的性质：ana mnm d ,daman；mn m n l k a m a n a l a 反之不肯定成立 ；特殊 地 , 当 m n 2 p 时 ,有 a m a n 2 a ；假设 a n 、 b n 是等差数列 , 就 ka n tb n k 、 t 是非零常数 是等差数列；等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列”即 S m , S 2 m S m , S 3

16、m S 2 m , 仍是等差数列；A n等差数列 a n, 当项数为 2n 时, S 偶nS 奇2nd,S奇an1；项数为 2n1时, ；S偶anS 偶S 奇a中an nN*,S 21n1 an,且S奇nS偶n1f n anf2n1. B nbn首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前 题, 转化为解不等式n 项和的最大 或最小 问a n100 或an100. 也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析 . , 就a nan 假 设anm amn mn , 就a mn0； 假 设S nm S mn mnS mnmn ；假设S mS mn , 就 Sm+n=0； S3m=3S 2m Sm

17、 ；S m nS mS nmnd . 4. 等比数列ana nn1q q0a2an1a n1n2,nN*ana qn1. an5. 等比数列的性质名师归纳总结 a na q mn m,qn man；第 6 页,共 25 页am假设 a n、b n是等比数列,就 ka n、 a b n等也是等比数列；Snna1qn1a1anq q1na1 qq11a1qq1；a11q1a1n1q1qqmnlka ana a 反之不肯定成立 ；S mnS mm q S nS nq S . 等比数列中S m,S 2 mS m,S 3 mS 2m, 注：各项均不为 0 新课标高中理科数学基础总结第6页 共25页- -

18、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 仍是等比数列 . 6. 假如数列 a n 是等差数列 , 就数列 A a n A 总有意义 是等比数列；假如数列 a a n 是等比数列 , 就数列 log a | a n | a 0, a 1 是等差数列；假设 a n 既是等差数列又是等比数列 , 就 a n 是非零常数数列；假如两个等差数列有公共项 数列,且新数列的公差, 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公共项 , 那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列, 由特殊到一般的方法探求其通项；a 三

19、 个 数 成 等 差 的 设 法 ：ad a ad ； 四 个 数 成 等 差 的 设 法 ：3 , d ad ad a3d ；三个数成等比的设法：a, , a aq ；四个数成等比的错误设法：a 3,qa,aq aq 为qq什么？ 7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. n1n2. 已知S 即a 1a2a nf n 求a 用作差法：a nS 1 ,S nS n1,已知a 1a2a nf n 求a 用作商法：anf1,n,1.f n n2f n1假设an1anf n 求a 用迭加法 . 已知a nn1f n , 求a 用迭乘法 . a已知数列递推式求a , 用构造

20、法 构造等差、等比数列 ：形如 a n ka n 1 b , a n ka n 1 b , a n ka n 1 a n b k b 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后 , 再求 a .形如 a n a n 1 的递推数列都可以用“ 取倒数法” 求通项 . ka n 1 b8. 数列求和的方法：名师归纳总结 新课标高中理科数学基础总结第7页 共25页第 7 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 公式法：等差数列 , 等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；乘公比错位相减；裂项相消法 . 公式：123n1n n

21、1；2 1222 3n21 6n n12n1；23 12333n3nn ；n n12；1352常见裂项公式1 n n11n1k；11n11；n n1knknn n1n1111n1n2；nn1.1112n n1n.n1.2nn1 . 常见放缩公式：2n1nn2n121nnn19. “ 分期付款” 、“ 森林木材” 型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题“ 卡手指” ,细心运算. 但在求解过程中, 务必“ 年限”. 对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题, 就常选用“ 统一法” 统一到“ 最终” 解决 .利率问题：单利问题：如零存整取储蓄 单利 本利和运算模型：假设每期 存 入 本

22、 金p 元 ,每 期 利 率 为1r,就 n 期 后 本 利 和 为 ：S np1rp12 p1nrp nn nr 等差数列问题；复利问题：2按揭贷款的分期等额仍款 复利 模型：假设贷款 向银行借款 p 元, 采纳分期等额仍款方式 , 从借款日算起 , 一期 如一年 后为第一次仍款日 , 如此下去 , 分 n 期仍 清 . 如 果 每 期 利 率 为 r 按 复 利 , 那 么 每 期 等 额 仍 款 x 元 应 满 足 ：n n 1 n 2p 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x 等比数列问题 . 1. 终 边 与 终 边 相 同 2 k k Z ；终 边 与 终 边 共 线k k

23、 Z ；2. 弧长公式：l | | r ；扇形面积公式：S 扇形 12 lr 12| | r 2；1弧度 1rad 57.3 . 3. 三角函数符号 “ 正号” 规律记忆口诀：“ 一全二正弦 , 三切四余弦”.4. 三角函数同角关系中 八块图 ：留意“ 正、余弦三兄妹sin x cos x、sin x cos x ”的关系 . 如 sin x cos 21 2sin x cos x 等. 5. 对于诱导公式 , 可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括；为锐角 留意：公式中始终视名师归纳总结 新课标高中理科数学基础总结第8页 共25页第 8 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料

24、 - - - - - - - - - 6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换 . 如： ；2 ；2 ；2；2 等；“ 1” 的变换：1 sin x cos x 2sin30 tan45；2 22 2 27. 重要结论：a sin x b cos x a 2b 2sin x 其中 tan ba；重要公式 sin 2 1 cos 2；cos 2 1 cos2；2 2k8. 正 弦 型 曲 线 y A sin x 的 对 称 轴 x 2 k Z ； 对 称 中 心k ,0 k Z ；余 弦 型 曲 线 y A cos x 的 对 称 轴 x k k

25、 Z ； 对 称 中 心k 2 ,0 k Z ；9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 180 , 一般用正、余弦定理实施边角互化；a b c正弦定理：2 R；sin A sin B sin C2 2 2 2 2余弦定理：a 2b 2c 22 bc cos ,cos A b c a b c a 1；2 bc 2 bc10. ABC 中, 易得： A B C , sin A sin B C , cos A cos B C , tan A tan B C . sin Acos B C , cos Asin B C , 2 2 2 2 a

26、 b A B sin A sin B锐角 ABC 中 , A B , sin A cos B ,cos A cos B , a 2b 2c , 类比得钝角2ABC 结论. tan A tan B tan C tan A tan B tan C . 11. 角的范畴： 异面直线所成角 0, ；直线与平面所成角 0, ；二面角和两向量2 2的夹角 0, ；直线的倾斜角 0, ；1l 与 2l 的夹角 0, . 留意术语 : 坡度、仰角、2俯角、方位角等 . 名师归纳总结 1. 设ax 1,y 1,bx 2,y2. 9页 共25页第 9 页,共 25 页新课标高中理科数学基础总结第- - - - -

27、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1a/ /bx y 2x y 10；2aba b0x x2y y20. 2. 平面对量基本定理：假如1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数1、2, 使a1e 12e . 3. 设ax 1,y 1,bx 2,y2, 就a b|a|b| cosx x 2y y ；其几何意义是 a b 等于a 的 长 度 与 b 在 a 的 方 向 上 的 投 影 的 乘 积 ； a 在 b 的 方 向 上 的 投 影| a |cos a b x x 22 y y2 2 . | b | x 2 y

28、24. 三点 A、 B、C共线 AB 与 AC 共线；与 AB 共线的单位向量 AB. | AB |5. 平 面 向 量 数 量 积 性 质：设 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 , 就cos a b x x 2 y y 2；留意 : a b 为锐角 a b 0 , a b 不同向；a b 为2 2 2 2| a b | x 1 y 1 x 2 y 2直角 a b 0；a b 为钝角 a b 0 , a b 不反向 . 6. a b 同向或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b ； a b 反向或有 0| a b | | a | |

29、 b | | a | | b | | a b ； a b 不共线 | a | | b | | a b | | a | | b . 7. 平面对量数量积的坐标表示：假设 a x y 1 , b x 2 , y 2 , 就 a b x x 2 y y ；22 2 2| AB | x 1 x 2 y 1 y 2 ；假设 a , x y , 就 a a a x y . 8. 三角形中向量性质： AB AC 过 BC 边的中点： AB AC AB AC；| AB | | AC | | AB | | AC |1 PG PA PB PC GA GB GC 0 G 为 ABC 的重心；3 PA PB PB P

30、C PA PC P 为 ABC 的垂心； | BC PA | CA PB | AB PC 0 P 为 ABC 的内心； AB AC 0 所在| AB | | AC |直线过 ABC 内心 . 新课标高中理科数学基础总结第 10页 共25页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 把握课本上的几个不等式性质,留意使用条件,另外需要特殊留意：假设ab0, ba , 就1 a1 b. 即不等式两边同号时, 不等式两边取倒数 , 不等号方向要转变 . 假如对不等式两边同时乘以一个代数式 定, 要留意分类争论 . , 要留意

31、它的正负号 , 假如正负号未2. 把握几类不等式 一元一次、二次、肯定值不等式、简洁的指数、对数不等式的解法 , 特殊留意用分类争论的思想解含参数的不等式. 3. 把握重要不等式 , 2 21 均值不等式：假设 a , b 0 , 就 a2 b a2 b ab1 21 当且仅当 a b 时a b取等号 使用条件：“ 一正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等；2 a b c R ,a 2b 2c 2ab bc ca 当且仅当 a b c 时, 取等号 ；2 23 公式留意变形如：a b a b 2, ab a b 2；2 2 24 假设 a b 0, m 0 , 就 ba ba mm 真分数

32、的性质 ；4. 含肯定值不等式：a b同号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b ；a b 异号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b . 5. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：A B 0 A B . 留意：假设两个正数作差比较有困难, 可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因 . 基本步骤：要证需证 , 只需证 ；反证法：正难就反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：添加或舍去一些项 , 如：2 a1 |a ；n n11n . 将分子或分

33、母放大 或缩小 利 用 基 本 不 等 式 , 如 ：n n1nn1. 利 用 常 用 结 论 ：0 12k1kk1k21；1k1程度大；0 3201k11k1k1k11 kk1k2k1k1k111k11k1 1 程度小 ；k222换元法：换元的目的就是削减不等式中变量 常用的换元有三角换元, 以使问题化难为易 , 化繁为简 ,名师归纳总结 代数 换元 . 如： 知x2y2a , 可 设xacos ,yasin；知2 xy21, 可设第 11 页,共 25 页新课标高中理科数学基础总结第11页 共25页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xrcos,yrsin 0r1 最值法 , 如：af x 最大值 , 就af x 恒成立 .af x 最小值 , 就af x 恒成立 . 1. 直线的倾斜角的范畴是 0, ）；ktan2 如右图 ：k2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系O3. 直线方程五种形式 ：点斜式 ：已知直线过点 x 0 , y 0 斜率为 k ,就直线方程为 y y 0 k x x 0 , 它不包括垂直于 x 轴的直线 . 斜截式 ：已知直线在 y 轴上的截距为 b和斜率 k ,就直线方程为ykxb , 它不包括垂直于 x 轴的直线 . xx x, 1