2022年研究报告生数学建模优秀论文C刘荆韩.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理仅限学习使用参赛密码 由组委会填写）第九届“ 华为杯”全国讨论生数学建模竞赛学校山东-青岛科技高校参赛队号 C10426015 1.刘邵星 队员姓名 2.荆禄旭 3.韩梦参赛密码名师归纳总结 由组委会填写）第 1 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用第九届“ 华为杯” 全国讨论 生数学建模竞赛题 目有杆抽油系统的数学建模及诊断摘要：本文主要讨论有杆抽油系统的数学建模及诊断问题；针对问题一,本文从有杆抽油系统四连杆结构的几何关系和运动特点出发,第一建立了

2、游梁的摇摆方程,进而求得了悬点 E 运动的数学模型 式19）,并依据题给数据对模型进行了求解并得到了运动规律曲线 如图3）,最终与有荷载的附件 1的悬点位移数据进行了比较 见表 1）；针对问题二,第一利用分别变量法将 Gibbs 波动方程拆分为位移函数和荷载函数,并对其进行傅里叶级数绽开,得出了悬点处随时间变化的位移和荷载函数,求得了泵随时间变化的位移和荷载函数,进而运算出两口油井的泵功图数据 表3、表 4）,绘制出了两油井的悬点示功图和泵功图图5、图 6）；针对问题三,本文挑选对第 2问泵内气体判定）进行讨论；第一对泵内气体影响情形进行了分析,然后给出了有效冲程的运算方法,在此基础上提出了泵

3、内是否充气的判别算法,并依据所给数据求解判定出口井 1泵内有气,口井 7泵内无气；针对问题四,第一问中,第一分析了Gibbs 波动方程建立的过程,认为Gibbs 模型忽视了重力的影响,在 Gibbs 模型的基础上加入了重力因素加以改进,得到了相应的位移和荷载函数式71、式 72）；其次问中,通过抽油杆柱的摩擦功率得到了阻尼系数的求解公式,并给出了迭代求解阻尼系数的算法和 迭代流程图 图9）；本问题的讨论对提高抽油机泵效和产油量有重要的意义；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用关键词 ：Gib

4、bss 模型,阻尼系数,傅里叶系数,有效冲程1问题重述目前,开采原油广泛使用的是有杆抽油系统 垂直井,如图 1）；电机旋 转运动转化为抽油杆上下来回周期运动,带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭,从而将地下上千M深处隐藏的原油抽到地面上来；通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况,如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等；要精 确诊断油井的工作状况,最好采纳泵功图；然而,泵在地下深处,使用仪器测 试其示功数据实现困难大、成本高；因此,通过数学建模,把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图统称为地下示功图）并最终确定泵功图,以精确诊断该井的工作状况,是一个很有价值的实际问题；请解决以下问题：问题一：光

5、杆悬点运动规律电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动；假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动,悬点 E 下只挂光杆 光杆下不接其它杆,不抽油,通常用来调试设备）；请按附录 4 给出四连杆各段尺寸,利用附件 1 的参数,求出悬点 E的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数；并与有荷载的附件 1 的悬点位移数据进行比较；问题二：泵功图运算请使用 Gibbs 模型,给出由悬点示功图转化为泵功图的具体运算过程,包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；附件 1 是只有一级杆的某油井参数和悬点示功数据,附件 2 是有三级杆的另一油井参数和悬点示功数据,利用它们分别运算出

6、这两口油井的泵功图数据；并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图 每口井绘一张图,同一井的悬点示功图与泵功图绘在同一张图上,请标明坐标数据）；问题三：泵功图的应用 下面 2 小问选作一问；勉励全做）1）建立 2 个不同的由泵功图估量油井产量的模型,其中至少一个要利用“ 有效冲程” ；并利用附件 1 和附件 2 的数据分别估算两口油井一天 24 小时）的产液量； 单位：吨,这里所指的液体是指从井里抽出来的混合液体）2）如图 5C）形式的泵功图表示泵内有气体,导致泵没布满；请建立模型或算法,以由运算机自动判别某泵功图数据是否属于泵内有气体的情形；并对附件 1、附件 2 对应的泵功图进行运算机诊断是否

7、属于泵内充气这种情形；问题四：深化讨论的问题 下面 2 小问选作一问；勉励全做）1）请对 Gibbs 模型进行原理分析,发觉它的不足；在合理的假设下,重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进；并给出由悬点示功图转化为泵功图的具体运算过程,包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；利用附件 1、附件 2 的数据重新进行运算；对运算结果与问题二的运算结果进行比较,分析你的模型的优缺点；2）Gibbs 模型在数学上可简化为“ 波动方程” ：2 ua22ucu t其t2x2中 a 为已知常数, c 称为阻尼系数,鉴于大多数的阻尼系数公式12是作了诸多假设后推出的,并不能完整地反应实际情形；假

8、如能从方程本身和某些数据动身用数学方法估量参数c,奉献是很大的；对此,请你进行讨论,具体给名师归纳总结 出运算 c 的理论推导过程并尽可能求出c；假如需要题目之外的数据,请用字第 3 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 母表示之并给出运算c 的推导过程；个人资料整理仅限学习使用2模型假设 1深井泵质量合格工作正常；2不考虑活塞在上下冲程中抽油杆柱所受到的摩擦力、惯性力、振动荷 载和冲击荷载等的影响；3力在抽油杆中的传递是瞬时的,阀的起落也是瞬时的；4抽油设备在工作过程中不受沙、蜡、水和温度等因素的影响；5. 油层供液才能充分；3通用符号说

9、明序号符号符号说明1 00为游梁初始摆角2 ww 为曲柄转动角速度3 HH 为 O 到坐标横轴的距离4 E 为钢杆弹性模量E5 rA 为抽油杆柱在 x 截面处的截面积rA6 II 为 O 到坐标纵轴的距离；7 S ES 为任意时刻悬点位移8 JJ 为 J 对时间的导数9 为对时间的导数为游梁摇摆的角速度10 11 为任意时刻游梁摇摆的角加速度4问题一 ：光杆悬点运动规律4.1 问题分析题目要求依据附录4 给出的四连杆各段尺寸,利用附录1 的参数,求出悬点 E 的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数；并与有荷 载的附件 1 的悬点位移数据进行比较；有杆抽油系统的悬点运动的位移、速度

10、和加速度,是抽油机结构设计及力学分析的重要运动参数；考虑到有杆抽油系统以游梁支点和曲柄轴中心的连接 线做固定杆,以曲柄、连杆和游梁后臂为三个活动杆；我们可从有杆抽油系统名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用四连杆机构的几何关系和运动特点动身,建立游梁的摇摆方程,通过建立的游梁的摇摆方程得出游梁摆角的变化规律,进而求解悬点 E 的一个冲程的运动规律 位移函数、速度函数、加速度函数）建立相应的数学模型,然后联系到实际情形对模型进行简化、求解,最终利用所求结果与有荷载的附件 位移数据进行比较；1 的

11、悬点4.2 有杆抽油系统四连杆运动函数运算4.2.1 游梁摇摆方程的建立有杆抽油系统四连杆几何结构如图 1 所示；假设曲柄沿顺时针方向做角速度为w的匀速周期运动；t 0 时刻,曲柄滑块 D 位于上顶点 = 0）, AB平行于水平面,E 对应坐标原点 称为 E 的下死点）, E 的位移为 0； D 运动到下顶点 =）时, E 的位移到达最大 称为 E 的上死点）； D 接着运动到上顶点 = 2）时, E 又回到位移为 0 的位置,完成一个周期 即一个冲程）； 1图 1 有杆抽油系统四连杆几何结构图其 中 ：YO B,COD,OO M,MO D, OAa ,OBb, BDL , ODJ , OOK

12、 , O Dr , H 为 O 到坐标横轴的距离,I为 O 到坐标纵轴的距离；）在OBD 中,依据余弦定理可得： 12 Lb2J22 bJcos得cos12 bJ22 L 2 bJ由几何关系可得：名师归纳总结 JIrsin2Hrcos2 3）第 5 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可知式中个人资料整理仅限学习使用）tg1Irsin tg1IrsinHrcoswt4.2.2 悬点位移函数游梁摇摆时,因前、后臂转动的角度相等,对于任意时刻,游梁的角位移为00 移式中0为游梁初始摆角,即t0时刻游梁与纵坐标方向的夹角,故这里2；悬点 E 的

13、运动情形可以看做图中A点的运动情形,故任意时刻悬点位S 为 ES ES Aa2cos1b2J2L2 6）2bJ其中：JIrsin2Hrcos2tg1IrsinHrcos4.2.3 悬点速度函数将式2）两边同时对时间 t 求导数,可得游梁摇摆的角速度为JcosJ 7）bJsin其中： J 和为 J 和对时间的导数；由式 3）和式 4）得 8）Jwrsinwrcos 9）J将式 8）和式 9）带入式 7）得cos10）JcoswrsinwrbJsinJ整理的得wrJsinbJsinbsin 11）由几何关系不难得到名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 47 页精选学习资料 - -

14、 - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用J sin K sin 带入式 11）中,得游梁摇摆的角速度 为wr K sin b sin 13）bJ sin游梁摇摆时,因前、后臂的角速度相等,故任意时刻悬点的速度 V 为awr K sin b sinV E V A = a 14）bJ sin4.2.4 悬点加速度函数将式 13）两边同对时间 t 求导,整理得任意时刻游梁摇摆的角加速度为2 w r KcosbcosbJ2 bwrcos2cos15）sin +游 梁 摆 动 时 , 因 前 、 后 臂 的 角 速 度 相 等 , 故 任 意 时 刻 悬 点 的 速 度W EW Aa为c

15、osbcosbJ2 bwrcos2cosW Ea2 w r Ksin +16）对于肯定型号的抽油机,其尺寸a b L H I r 是已知的,给定曲柄旋转的角速度 w或转速 n,应用以上公式便可运算各运动参数；4.3 有杆抽油系统四连杆运动模型实际抽油机的 r / L 值是不行忽视的,特殊式冲程长度较大时,忽视后会引起很大误差,为此,此题中 r / L 1/ 4,这里我们把 B 点绕游梁支点的弧线运动近似的看做直线运动,就可把抽油机的运动简化为如下图所示的曲柄滑块运动；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理

16、仅限学习使用图 2 抽油机简化运动结构图0 时,游梁与连杆的连接点B 在 B 处,为距曲柄轴心最远的位置,相应于悬点 E 的下死点；时, B 在 B 处,为距曲柄轴心最近的位置,相应于悬点 E 的上死点；在这种简化情形下我们对应的有HO D+BDLr 17）IOBb 18）将式17）和式 18）代回 4.3 中的相关公式,可以得到有杆抽油系统四连杆运动模型如下：S Ea2cos12 bJ22 LbJ2 bwrcos2cos192 bJV Eawr KsinbsinbJsinbcosa2 w r KcosW Esin +Jbrsin2Lrrcos2Ktg1Lbrrsinrcosb2Lr2tg1L

17、brwtnw30a 4.315, b 2.495, r 0.95, L 3.675, n 7.6其 中 ： 几 何 关 系 如 图 1 YOB,COD,OO M,MO D , OA a , OB b, BD L , OD J , OO K , O D r ； H 为 O到坐标横轴的距离；I 为 O 到坐标纵轴的距离；S 为悬点位移函数；E V 为悬 E点速度函数；W 为悬点加速度函数；4.4 数据比较依据附录 4所给连杆的各段尺寸和附件1的参数,在一个周期内,利用上述模型求得悬点处位移、速度和加速度的变化曲线为：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 47 页精选学习资料 -

18、- - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用图 3 悬点的理论位移、速度及加速度曲线在一个周期内,利用公式 19）求得悬点处的理论位移 1.7780 1.7350 1.6450 1.5500 1）；其与题给附件1 的悬点位移比较如下：表 1 悬点理论位移与实际位移数据 悬点的理论位移 m 1 1.7704 2 1.7673 3 1.6954 4 1.5800 5问题二：泵功图运算5.1 问题分析题目要求使用 Gibbs 模型,给出由悬点示功图转化为泵功图的具体运算过程,在此基础上运算出这两口油井的泵功图数据,并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图；求泵功图的两个主要的前提就是要知

19、道泵随时间变化的位移和荷载的函数,依据有杆抽油机的几何构造及工作原理,结合Gibbs 模型可以得到地面悬点随时间变化的位移和荷载函数,进而通过转换得到地下泵处随时间变化的位 移和荷载的函数；可以考虑利用分别变量法将 Gibbs 波动方程拆分为两个函数 位移函数和荷载函数）,并对位移函数和荷载函数进行傅里叶级数绽开,利用题目中给出的地面悬点处随时间变换的位移和荷载的离散数据,求解出悬点 处随时间变化的位移和荷载函数,进而得到泵处随时间变化的位移和荷载的函 数,从而在此基础上运算两口油井的泵功图数据,并绘制出两油井的悬点示功图和泵功图；5.2 Gibbs 模型一级杆情形下泵功图的运算抽油杆的力学模

20、型是一根具有粘滞阻尼的作纵向震惊的瘦长圆杆；经推名师归纳总结 导,它的运动可用以下微分方程来描述：2第 9 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用2 2u x t , 2 a 2 u x t , 2 c u x t , 20）t x t其中：u x t 为抽油杆离地面悬点 x深处在 t 时刻的位移； a 为应力波在抽油杆中的传播速度；c 为阻尼系数；5.2.1 波动方程求解要求解上述波动方程,前提就是利用波动方程的边界条件、初始条件以及连续性条件 用于多级组合杆的抽油系统）；1边界条件诊断模型的边界条件是由抽油机几

21、何运动特点打算的,可知：地面悬点边界条件：u x t , | x0u t 21）泵边界条件：au L t , u L t , P t 22）x2初始条件假设抽油机运行之前,抽油杆柱自由悬挂于已经布满原有的油管中,悬点从下死点开头运动：u x t , | x0u t 23 ）m ；L t 为光杆悬点荷载函数,F x t , |x0L t W rD t 24）其中：u t 为实测光杆悬点位移函数,kn ；W 为抽油杆柱在流体中的重量,n ；3连续性条件连续性条件主要针对油杆是不同直径的组合杆和不同材料的混合杆时使用,在交界处油杆受力和油杆位移的连续性条件是：F i j 1F i j225）u i

22、j 1 u i j 226）4悬点位移和荷载方程的求解本文采纳分别变量傅里叶变换法求解波动方程；将悬点动荷载函数D t n t 27）n t 28）及光杆位移函数u t 绽开成傅氏级数：ND t 0n1ncosn tnsin2NU t 0n1ncosn tnsin2依据附件 1 和 2 中给出的悬点处采集的离散的位移和荷载的数据,用下面的方法运算 4 个傅氏系数n,n,n,n,然后将傅氏系数带入到上面的悬点位移和荷载函数中；即得到悬点处位移和荷载的函数,进而得到悬点处的示功名师归纳总结 图；下面以n为例来说明求解过程：第 10 页,共 47 页实际中采集的数据是离散的,需要将D t 和u t

23、离散化,设在悬点处进行等时采样,采 样点 的 个数 为 k , 本文取144；然后令t ,2,T- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dt个人资料整理仅限学习使用N 2pk用下面符号表示：Dp,U2kpUp31 D2kp采纳梯形法就进行数值积分：21 D 2cos 2 nkn1D 0cos 2 nk0 2D 1cos 2 nk1 D 1cos 2 nk2 2kk由函数的周期性可得：D 0D , cos0cos2n,因此：0,1,2,N34 2pk1Dpcos2 npnnkk同理可求得其他三个傅氏系数：n 2 kD p sin 2 np n 1,2, , N

24、 35 k p 1 kn 2 kU p cos 2 n p n 0,1,2, , N 36 k p 1 kn 2 kU p sin 2 np n 1,2, , N 37 k p 1 k其中：为曲柄转角；为曲柄角速度； T 为运动周期； N 为傅氏级数所取项数,本文取 10； p 为从 0 到 k 各点序号； k 为 2 周期内等分的份数,即离散化的采样点数,本文取 k 144；D 和 U 为从附件中给出的数据中选取的采样点对应的数据；将 4 个傅氏级数带入到式 27）和 28）中,即可得出悬点位移和荷载的函数,并可以通过 MATLAB 画出悬点位移和荷载的曲线；5.2.2 粘滞阻尼系数求解依据

25、吉布斯关于粘滞阻尼系数的假设,本文推出用摩擦功来确立粘滞阻尼系数公式的方法 3 ：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - C2A12B 11B 1个人资料整理仅限学习使用38）2lnmB 2L/a sinL/ cosL a / d ymdqAl i id i 1ql ii 12B 1 m 1 12ln m2 24 m 1B 2 m 1ln m2dA4a E /其中：d 为油管内径,单位：y m , d 为抽油杆的平均直径,单位：m ；2iA 为各级抽油杆的截面积,单位：m ；il 为各级抽油杆的长度：m ； A 为为抽

26、油杆的平均截面积,单位：m ；2为液体粘度,在此题中即为地面原油粘度,单位：Pa s； L 为抽油杆的总长度,单位：m ； E 为是抽油杆材料的弹性模量,单位：N / m ；3为是抽油杆材料密度,单位：kg m ；35.2.3 特殊函数和系数求解前面的求解过程给出了依据悬点测得的位移和荷载的数据推出悬点位移和荷载的函数,并可以通过MATLAB 画出它们的曲线；然后又给出了井下的粘滞阻尼系数的求解方法及过程,下面进行求解泵的位移和荷载的函数,进而得 出泵的示功图；第一以式 27）和式 28）为边界条件,用分别变量法求解方程 20）便可得出抽油杆任意深度 x 截面的位移随时间的变化；求解步骤如下：

27、第一令 U x t , X x T t 分别为仅含 x 和 t 的函数,将其带入波动方程并整理可得：T CT X 39 ）2 n,带2 a T t 2 a T t X x 上式每一侧仅含有一个独立变量,因而它等于一个常数,令其为入39）并将其分别成两个常微分方程：名师归纳总结 方程组 40）中1）式的周期解为T CT t 22 n2 a T t 0 40）第 12 页,共 47 页X X x 0nT t in et,带入方程组第一个等式可得方程 40）的特解n：nnin 41 ）式子中n和n为实数,其值为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理

28、仅限学习使用242）n11cn2 an当n0时,00,方程组 40）变为：nnT11c243）2 an CT t 044）X 0其解为：T t x 45）X x 方程组 40）中其次个等式解为谐波方程：综合以上各式,可求出方程X x sinnsinnxncosnx 46）40）的解为：u x t , xnnxncosnx eint47）n1再进过变换可得到一级杆的的情形下,抽油杆某一点的位移函数,即Gibbs 方程的解读解为：u x t , 20x0N1 O n cosn tP x sinn tEA r2n由胡克定律,抽油杆柱任意深度x截面上的动荷载随时间的变化为：F x t , EArU x

29、 t , n tx即一级杆的的情形下,抽油杆某一点的荷载函数为：F x t , EA20N1 O n cosn t P x n sinEAn所以综上所述,一级杆的情形下,抽油杆某一点的位移和荷载函数如下：1）位移函数：u x t , 20x0N O n cosn tP x sinn t 48）EA r2n12）荷载函数：F x t , EA0N1 O n cosn t P x sinn t 49）2 EAn其中：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用O n cosh n x n sinh n

30、 x sin n x n sinh n x n cosh n x cos n xP x k n sinh n x n cosh n x cos n x n cosh n x n sinh n x sin n xO n n sinh n x n n n n cosh n x sin n xEA rn cosh n x n n n n sinh n x cos n xEA rP x n cosh n x n n n n sinh n x cos n x 50EA rn sinh n x n n n n cosh n x sin n xEA rk nEA nr nn 2 nn n2 n n n nn

31、 2 2 EA r n n 上面各式中 : E 为钢杆弹性模量；rA 为抽油杆柱在 x 截面处的截面积；为曲柄的角速度；5.3 多级杆情形下泵的位移和荷载运算以上这一小节为考虑只有一级杆的时候的情形,但在实际中,抽油杆常常包含多个尺寸的多级杆,下面给出有多级杆的情形下,求泵的位移和荷载方程；5.3.1 傅里叶系数的求解设从悬点开头运算序号,各杆截面积分别为 A A 2 , , A ；各杆长度分别为 1 l l , , , n l ；各杆的直径分别为 d d 2 , , d ；傅里叶系数为 j n , j n , j n , j n,其 中 j 表 示 与 系 数 有 关 的 抽 油 杆 段；

32、类 似 的 仍 有 j O n x j , j P x j , j O n x j , j P x j ,其中左边的脚标 j 表示与系数有关的抽油杆段 i 1在直径不同的两级抽油杆接头处,位移和荷载是连续的,所以可用第 j 1级抽油杆末端的位移和荷载,表示第 j 级抽油杆的边界条件；将式 27）与式49）比较,可得第 j 级的抽油杆所用边界条件的傅里叶系数；1）位移的傅里叶系数：j0j10xj1jjj101 52）EA j1njj1O nxj153）P x j1 54 ）n2）荷载的傅里叶系数：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 47 页精选学习资料 - - - - -

33、- - - - 个人资料整理 仅限学习使用j 0 j 1 0 55）j n EA j 1 j 1 O n x j 1 56）j n EA j 1 j 1 P x n j 1 57 ）5.3.2 多级杆情形下泵的位移和荷载函数在 5.1 节中一级杆情形下某一点的位移和荷载函数的运算可推广到多级杆情形,在多级杆情形下,第 j 级抽油杆下端的位移和荷载函数为：1）位移函数u x t , j0xjj20N1jO nxjcosn tjP xjsinn t58）2EA jn2）荷载函数F xj, EAj2j0jN1jO nxjcosn tjP nxjsinn t59）EAn其中: jO nxjjk nco

34、shnxjjnsinhnxjsinnxj60为曲jnsinhnxjjncoshnxjcosnxjjP xjjk nsinhnx jjncoshnxjcosnxjjncoshnx jjjnsinhnxjsinnx jjO nxjjnsinhnxjjnnjnncoshnxjsinnxjEA jjncoshnxjjnnjnnsinhnxj cosnx jEA jjP xjjncoshnxjjnnjnnsinhnx j cosnxjEAjjnsinhnxjjnnjnncoshnxj sinnxjEA jjk njnn2jn2nEA jnnjnnjnnjnEAj22nn上面各式中 : E 为钢杆弹性模量；rA 为抽油杆柱在 x截面处的截面积；柄的角速度；5.3.3 运算流程 本文在所给悬点位移和荷载数据的基础上,通过利用Gibbs 模型,推导出求泵的位移和荷载的方法及具体运算过程；下面给出运算流程步骤及运算流程 图；名师归纳总结 步骤 1：取得光杆动荷载,