2021年第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷.pdf

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1、1/381/38 第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答本卷共七题，满分140 分.一、(20 分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数dpStkN，其中 t 为渗透持续时间，S为薄膜的面积，d 为薄膜的厚度，p为薄膜两侧气体的压强差k称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数透气系数愈小，材料的气密性能愈好图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图EFGI 为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积A0.150cm2实验中，首先测得薄膜的厚度 d=0.66mm，再将薄膜固

2、定于图中CC处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积30cm00.25V，下面部分连同U形管左管水面以上部分的总容积为V1，薄膜能够透气的面积S=1.00cm2 打开开关 K1、K2与大气相通，大气的压强p11.00atm，此时 U 形管右管中气柱长度cm00.20H，31cm00.5V关闭K1、K2后，打开开关K3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强atm00.20p，关闭 K3并开始计时两小时后，U 形管左管中的水面高度下降了cm00.2H实验过程中，始终保持温度为C0求该薄膜材料在C0时对空气的透气系数（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下

3、，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值p来代替公式中的p普适气体常量R=8.31Jmol-1K-1，1.00atm=1.013105Pa）二、(20 分)两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的 2 倍，卫星通过近地点时的速度RGM 43v，式中 M 为地球质量，G 为引力常量卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）三、(15 分)子在相对自身静止的惯性参考系

4、中的平均寿命s100.260宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子，以 v=0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t=0 时刻的粒子数为N(0),t 时刻剩余的粒子数为N(t)，则有tNtNe0，式中为相对该惯性系粒子的平均寿命若能到达地面的子数为原来的5，试估算子产生处相对于地面的高度h不考虑重力和地磁场对子运动的影响四、(20 分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，

5、需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多K3K2p1V1C C?p0V0E F G I H K1精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 1 页，共 38 页2/382/38 束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为=arctan41的圆锥形光束请使用三个完全相同的、焦距为

6、f=1.50h、半径为 r=0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L=12.0 h处的 P 点（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据五、(20 分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和 P2处，放置电量分别为q1和 q2的点电荷，q1q2q，两点电荷到球心的距离均为a由静电感应与静电屏

7、蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于2q空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q与 q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为 0；由 q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q与

8、 q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q、2q和 q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强1试根据上述条件，确定假想等效电荷1q、2q的位置及电量2求空腔内部任意点A 的电势 UA已知 A 点到球心O 的距离为r，OA与1OP的夹角为六、(20 分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A、B、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B 之间，B、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作

9、用力）已知杆 AB 与 BC 的夹角为，/2DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直现令A、B、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间A BCD E L S1S3P S2h h z r P2P1RA O a a 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 2 页，共 38 页3/383/38 无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为 0 这一极短时间内挡板对C的冲量的大小七、（25 分）如图所示，有二平行金属导轨，相距 l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为 B 的匀强

10、磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为 m 的两金属杆ab 和 cd 放在导轨上，与导轨垂直初始时刻，金属杆 ab 和 cd 分别位于x=x0和 x=0 处假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0v设导轨足够长，0 x也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距0 x，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的杆与导轨之间摩擦可不计求任意时刻两杆的位置xab和 xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i 三者各自随时间t 的变化关系一、

11、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为V2=HA（1）p2=p1经过 2 小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为AHHV)(2（2）2222VVpp（3）渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为HAVV11（4）Hgpp221（5）式中为水的密度，g 为重力加速度由理想气体状态方程nRTpV可知，经过2 小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数RTVpRTVpn1111（6）在 2 个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数AnNN（7）式中 NA为阿伏伽德罗常量x O y v0c a b y d 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 3 页，共 38

12、 页4/384/38 渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降下降了p 0VnRTp（8）经过 2 小时渗透室上部分中空气的压强为ppp00（9）测试过程的平均压强差)(211010pp()ppp（10）根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0时对空气的透气系数11111smPa104.2tSpNdk（11）评分标准：本题 20 分(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各 1 分，(6)式 3 分，(7)、(8)、(9)、(10)式各 2分，(11)式 4 分二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处根据题意，当一个卫星运动到轨道

13、的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点 B 处，只要位于 A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和 AC 的夹角1，位于 B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和 BC 的夹角2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC因卫星椭圆轨道长轴的长度远近rrAB(1)式中 r近、与 r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离由角动量守恒远远近近rmrvmv(2)式中 m 为卫星的质量由机械能守恒远远近近rGMmmrGMmm222121vv(3)已知Rr2近，RGM43近v得Rr6远(4)所以RRRAB862(5)在 ABC 中用正弦定理ABBC211sinsin(6)C A B O 1精品w o r d

14、学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 4 页，共 38 页5/385/38 所以ABBC211sinsin(7)地心与星体之间的距离为OC，在 BOC 中用余弦定理2222cos2BCrBCrOC远远(8)由式(4)、(5)、(7)得212121212sincossin24sinsin1692ROC(9)评分标准：本题 20 分(1)式 2 分，(2)、(3)式各 3 分，(6)、(8)式各 3分，(9)式 6分三、因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命s100.260根据时间膨胀效应，在地球上观测到的子平均寿命为，201cv(1)代入数据得=1.4105s(2)相对地面，若子到达地面

15、所需时间为t，则在 t 时刻剩余的子数为tNtNe0(3)根据题意有%5e0tNtN(4)对上式等号两边取e为底的对数得1005lnt(5)代入数据得s1019.45t(6)根据题意，可以把子的运动看作匀速直线运动，有thv(7)代入数据得m1024.14h(8)评分标准：本题 15 分(1)式或(2)式 6 分，(4)式或(5)式 4 分，(7)式 2 分，(8)式 3 分精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 5 页，共 38 页6/386/38 四、1考虑到使3 个点光源的3 束光分别通过3 个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴，三个

16、光心O1、O2、O3的连线平行于3 个光源的连线，O2位于 z 轴上，如图1 所示图中MM表示组合透镜的平面，1S、2S、3S为三个光束中心光线与该平面的交点22OS u 就是物距 根据透镜成像公式fuLu111(1)可解得4212fLLLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utanh 即 u2h在上式中取“”号，代入f 和 L 的值，算得hu)236(1.757h(2)此解满足上面的条件分别作 3 个点光源与P 点的连线 为使 3 个点光源都能同时成像于P 点，3 个透镜的光心 O1、O2、O3应分别位于这3 条连线上（如图1

17、）由几何关系知，有hhhLuLOOOO854.0)24121(3221(3)即光心 O1的位置应在1S之下与1S的距离为hOOhOS146.02111(4)同理，O3的位置应在3S之上与3S的距离为0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P 点2现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于21OO32OO0.854h0 时，ab 杆位于其初始位置的右侧；当 X0 时，ab 杆位于其初始位置的左侧代入(14)式，得XLBli2(

18、16)这时作用于 ab 杆的安培力XLlBiBlF222(17)ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质金属杆ab 的运动是简谐振动，振动的周期LlBmT2222(18)在任意时刻t，ab 杆离开其初始位置的位移tTAX2cos(19)A 为简谐振动的振幅，为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得ab 杆的振动速度tTTAu2sin2(20)精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 12 页，共 38 页13/3813/38(19)、(20)式分别表示任意时刻ab 杆离开初始位置的位移和

19、运动速度现已知在 t0 时刻，ab 杆位于初始位置，即X=0 速度00002121vvvvCVu故有cos0Asin220TAv解这两式，并注意到(18)式得23(21)22400mLBlTAvv(22)由此得 ab 杆的位移tTmLBltTmLBlX2sin22232cos2200vv（23）由(15)式可求得ab 杆在S系中的位置tTmLBlxx2sin222100abv(24)因相对质心，任意时刻ab 杆和 cd 杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S系中，cd杆的位置tTmLBlxx2sin222100cdv(25)相对地面参考系S，质心以021vCV的速度向右运动，并注意到（18）

20、式，得ab 杆在地面参考系中的位置tmLBlmLBltxx2sin2221000abvv(26)cd 杆在 S系中的位置tmLBlmLBltx2sin222100cdvv（27）回路中的电流由(16)式得tmLBlLmtTmLBlLBli2sin22sin22200vv(28)精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 13 页，共 38 页14/3814/38 解法：当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab 杆的速度改变，使cd 杆运动设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和 v2（相对地面参考系S）

21、，若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为21vvBlE(1)令 u 表示 ab 杆相对于 cd 杆的速度，有BluLE(2)当回路中的电流i 变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有tiLLE(3)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0LEE由式(2)、(3)两式得tiLBlu(4)设在 t 时刻，金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为x，在 tt 时刻，ab 相对于 cd 杆的距离为xx，则由速度的定义，有txu(5)代入(4)式得iLxBl(6)若将x视为 i 的函数，由(6)式可知，ix为常

22、量，所以x与 i 的关系可以用一直线方程表示，即biBlLx(7)式中 b 为常数，其值待定现已知在t 时刻，金属杆ab 相对于 cd 杆的距离为0 x，这时 i=0，故得0 xiBlLx(8)或0 xxLBli(9)0 x表示 t 时刻金属杆ab 相对于 cd 杆的位置x表示在任意时刻t 时 ab 杆相对于cd杆的位置，故0 xx就是杆 ab 在 t 时刻相对于cd 杆的相对位置相对于它们在t 时刻的相对位置的位移，即从t 到 tt 时间内 ab 杆相对于cd 杆的位移0 xxX(10)于是有XLBli(11)精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 14 页，共 3

23、8 页15/3815/38 任意时刻t，ab 杆和 cd 杆因受安培力作用而分别有加速度aab和 acd，由牛顿定律有abmaiBl(12)cdmaiBl(13)两式相减并注意到(9)式得XLlBiBlaam22cdab22(14)式中cdabaa为金属杆ab 相对于cd 杆的加速度，而X 是 ab 杆相对 cd 杆相对位置的位移LlB222是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期LlBmT2222(15)在任意时刻t，ab 杆相对 cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移tTAX2cos(16)A 为简谐振动的振幅，为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得X 随时间的变化率即速度TT

24、AV2sin2(17)现已知在 t0 时刻，杆位于初始位置，即X=0，速度0vV故有cos0Asin20TAv解这两式，并注意到(15)式得232200mLBlTAvv由此得tmLBlmLBltTmLBlX2sin2232cos200vv(18)因 t=0 时刻，cd 杆位于 x=0 处，ab 杆位于 x=x0处，两者的相对位置由x0表示；设t 时刻，cd 杆位于 x=xcd处，ab 杆位于 x=xab处，两者的相对位置由xabxcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为X=xabxcdx0(19)精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 15 页，共 38 页16/3

25、816/38 所以tmLBlmLBlxxx2sin200cdabv(20)(12)和(13)式相加,0cdabiBliBlaam得0cdabaa由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和 xcd之和应为xabxcd=x0v0t(21)由(20)和(21)式相加和相减，注意到(15)式，得tmLBlmLBltxx2sin2221000abvv（22）tmLBlmLBltx2sin222100cdvv（23）由(11)、（19）(22)、(23)式得回路中电流tmLBlLmi2sin20v（24）评分标准：本题 25 分解法求得(16)式 8 分，(17)、(18)、(19)三式

26、各 2 分(23)式 4 分，(24)、(25)二式各2 分，(26)、(27)、(28)三式各 1 分第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答实践证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论肯定是错的。（1）设大气压为0p，水的密度为。拧开K前的情况如图复解 19-l的（a）图所示。由流体静力学可知，B、C中气体的压强为012()BCpppg hh（1）D中气体的压强为1DBppgh（2）2002 年K K D H A A B B F C C E h1 h2(a)(b)图复解19-1 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 16 页，共 38 页17/3817

27、/38 由（1）、（2）两式可得20Dppgh即0Dpp，当拧开K后，D中气体压强降至0p，此时10Bppgh（3）即D管中容器B水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以D管中水柱上升。（2）拧开K后，水柱上升，因D管上端已足够长，故水不会从管口喷出设到D中的水面静止时D中增加水量的体积为V，则B中减少水量的体积亦为V，其水面将略有降低，因而B及C中气体压强路有下降，A中的水将通过E管流入C中，当从A流入水量的体积等于V时，B、C中气体压强恢复原值。因为A、B、C的半径为D管半径的60 倍，截面积比为3600 倍，故A、B、C中少量水的增减（V）引起的A、B、C中水面高度的变化可忽略不计，即1h

28、和2h的数值保持不变。设D中水面静止时与A中水面的高度差为H，（见图复解 19-1（b），则有01201()()pg hhpg Hh（4）由此可得2Hh（5）（3）将图复解 19-l（a）和(b)两图相比较可知，其差别在于体积为V的水从A移至C中，另V的水又由B移入D中，前者重力势能减少，而后者重力势能增大，前者的重力势能减少量为112()Eg V hh（6）D中增加的水柱的重心离A中水面的高度为2/2h，故后者的重力势能增量为2121()2Eg V hh（7）即12EE。由此可知，体积为V的水由A流入C中减少的势能的一部分转化为同体积的水由B进入D中所需的势能，其余部分则转化为水柱的动能，故

29、发生上下振动，D中水面静止处为平衡点由于水与管间有摩擦等原因，动能逐步消耗，最后水面停留在距A中水面2h处。二、参考解答由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零1任意点在磁场区域内：令P为任意点（见图复解 19-2-1）2xR，在图中连直线OA与OP。取闭合回路APOA，可得回路电动势1APPOOAEEEE，式中APE，POE，OAE精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精

30、心整理-欢迎下载-第 17 页，共 38 页18/3818/38 分别为从A到P、从P到O、从O到A的电动势。由前面的分析可知0POE，0OAE，故1APEE（1）令AOP的面积为1S，此面积上磁通量11BS，由电磁感应定律，回路的电动势大小为111BEStt根据题给的条件有11ES k（2）由图复解 19-2-2 可知11sin22 2xRSxR（3）由（1）、（2）、（3）式可得沿AP线段的电动势大小为22APkREx（4）2任意点在磁场区域外：令Q为任意点（见图复解 19-2-2），2xR。在图中连OA、OQ。取闭合回路AQOA，设回路中电动势为2E，根据类似上面的讨论有2AQEE（5）

31、对于回路AQOA，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为2S，通过它的磁通量22BS。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小22ES k（6）在图中连OC，令COQ，则OQC，于是ACCAOORRPxDQ图复解19-21 图复解19-22 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 18 页，共 38 页19/3819/38 2221(sin)2cos221(sin 2)2SAOCOCDRRRR的面积扇形的面积当/4时，221(1)2SR，OCQ中有2sinsin(/4)xRRsin(2)sin()41(2)(cossin)2RxRxR22()sinc

32、os22xRxRR2tanxRx于是得2212(1arctan)2xRSRx（7）由（5）、（6）、（7）式可得沿AQ线的电动势的大小为22(1arctan)2AQkRxREx（8）三、参考解答以三个质点为系统，由对称性可知，开始时其质心应位于C处，因为质点系所受的合外力为零，由质心运动定理可知，质心总是固定不动的。质点1、2 在静电力作用下，彼此间距离必增大，但不可能保持在沿起始状态时1、2 连线上运动，若是那样运动，由于杆不能伸长，质点3 必向左运动，三者的质心势必亦向左运动，这与“质心不动”相矛盾，故不可能。由此可知，由于杆为刚性，质点1、2 在静电力作用下，要保持质心不动，质点1、2

33、必将分别向题图中右上方和右下方运动，而质点 3 将向左运动 当 3 运动到C处时，1、2 将运动到A、B处，A、B、C三点在一直线上，1、2 的速度方向向右，3 的速度方向左（如图复解19-3 所示）。令1v、2v、3v分别表示此时它们的速度大小，则由对称性可知此时三质点的总动能为223111222()KEmvmv（1）再由对称性及动量守恒可知312mvmv（2）A B C 1 2 3 图复解19-3 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 19 页，共 38 页20/3820/38 系统原来的电势能为23PqEkl（3）其中k为静电力常数运动到国复解19-3 所示的

34、位置时的电势能为2222PqqEkkll（4）根据能量守恒有PPKEEE（5）由以上各式可解得2323kqvlm（6）四、参考解答1.（1）调整活塞 6使毛细管 8中有色液柱处于适当位置，将阀门10关闭使两边气体隔绝，记下有色液柱的位置；（2）合上开关S，测得电流I；（3）打开开关S；（4）测出有色液体右移的最远距离x；（5）改变电源电压，重复测量多次，记下多次的I和x值。2.合上开关S后，线捆贮有磁场能量212WLI，因二极管D的存在，r中无电流。打开开关S后，由于L中有感应电动势，在线圈L、电阻器ab和二极管D组成的回路中有电流通过，最后变为零。在此过程中原来线圈中储存的磁场能量将转化为r

35、和Lr上放出的热量，其中r上放出的热量为212LrQLIrr（1）此热量使试管中的气体加热、升温。因为是等压过程，所以气体吸热为pmQCT（2）式中m为气体质量，为其摩尔质量，T为温升，因为是等压过程，设气体体积改变量为V，则由理想气体状态方程可得mp VR T（3）而24dVx（4）由以上各式可得精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 20 页，共 38 页21/3821/38 222LpCp drrxLrRI（5）五、参考解答利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像P Q，如下图所示。（1）用y和y分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得1212uffyyf

36、vf（1）1212()()ufvff f简化后即得物像距公式，即u，v，1f，2f之间的关系式121ffuv（2）（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解 19-5-2 所示。图中1为入射角，2为与之相应的出射角，为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为n，则由折射定律得1122sinsinsinnnn（3）对傍轴光线，1、21，得11sin，22sin，因而得1212nn（4）（3）由物点Q射向中心O的入射线，经L折射后，出射线应射向Q，如图复解 19-5-3 所示，QQPPF1F2u v n1 n2 yyf1f2图复解19-5-1 n1

37、n2 1 2 n图复解19-5-2 QQPPF1 F2 L2 uvuy 1 yn1 n2 图复解19-5-3 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 21 页，共 38 页22/3822/38 在傍轴的条件下，有1122tantanyyuv，（5）二式相除并利用（4）式，得12ny uyvn（6）用（1）式的11/()yyfuf代入（6）式，得1112()f unuf vn即1121nuvfn un v（7）用（1）式的22/()/yyvff代入（6）式，得2122()vfunf vn即2221n uvfn unv（8）从而得1f，2f，1n，2n之间关系式2211f

38、nfn（9）六、参考解答（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为2200221.101(/)m cm cvc（1）由此可解得0.210.4170.421.10vcc（2）入 射 光 子 和 散 射 光 子 的 动 量 分 别 为hpc和图复解19-6 光子散射方向光子入射方向光子入射方向电子A 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 22 页，共 38 页23/3823/38 hpc，方向如图复解19-6所示。电子的动量为mv，m为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得022cos1(/)m vhcvc（3）022sin1(/)m vhcvc（4）已知2

39、00.10hhm c（5）由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得200.37/m ch（6）200.27/m ch（7）127tanarctan()36.137（8）电子从O点运动到A所需时间为002.4/LtLcv（9）（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度 v 运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得2201(/)LLvc（10）00.91LL（11）七、参考解答1.珠子运动的轨迹建立如图复解19-7所示的坐标系，原点O在过A点的竖直线与细杆相交处，x 轴沿细杆向右，y轴沿OA向下。当珠子运动到N点处且绳子未断时，小环在B处，BN垂直于 x 轴，所以珠子的坐标为xPNyBN，由APN知222

40、()()()APPNAN即有222()()hyxly，得2222()()xlh ylh（1）这是一个以y轴为对称轴，顶点位于1()2ylh处，焦点与顶点的距离为1()2lh的抛精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 23 页，共 38 页24/3824/38 物线，如图复解19-7-1 所示，图中的1()2Hlh，A为焦点。2.珠子在N点的运动方程因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力mg；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿NB和NA方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示，则它们的合力的大小为2 cos

41、FT（2）为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿ANB的角平分线方向。因为AN是焦点至N的连线，BN平行于y轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，N点的法线是ANB的角平分线故合力F的方向与N点的法线一致。由以上的论证再根据牛顿定律和题中的注，珠子在N点的运动方程（沿法线方向）应为22coscosvTmgmR（3）22coscosmvTmgR（4）式中R是N点处轨道曲线的曲率半径；v 为珠子在N处时速度的大小。根据机械能守恒定律可得2vgy（5）3.求曲车半径R当绳子断裂时dTT，由（4）式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径R与y的关系,则就可能由（4）、（5）两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标

42、y。现提出如下一种办法。做一条与小珠轨迹对于x 轴呈对称状态的抛物线，如图复解 19-7-2 所示。由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹。平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程。这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的N点处抛物线的曲率半径R与y的关系，也就是N处OBHPAChyFTTNxMxMxmg切线法线mg 法线切线Nmg xyCPAOHTCAN图复解19-7-1 图复解19-7-2 精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 24 页，共 38 页25/3825/38 抛物线

43、的曲率半径R与y的关系。设从抛出至落地的时间为t，则有220v tlh由此解得0()vg lh（7）设物体在N处的速度为v，由机械能守恒定律可得2202()vvg HBN（8）物体在N处法线方向的运动方程为2cosmvmgR（9）式中R即为N处抛物线的曲率半径，从（7）、（8）、（9）式及1()2Hlh,可求得2()coslBNR这也等于N点抛物线的曲率半径，BNBNy，故得2()coslyR（10）4.求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小把（5）式和（10）式代入（4）式，可求得绳子的张力为2()mglTly（11）当dTT时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为(,)ddxy，由（11）式得(1

44、)2ddmgylT（12）代入（1）式，得2()()ddlhxmgllhT（13）绳子断开时珠子速度的大小为22(1)2dddmgvgyglT（14）第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 25 页，共 38 页26/3826/38 一、参考解答令m表示质子的质量，0v和 v 分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知2201122mvmveU（1）因为 a 不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O点的角动量守

45、恒。所求l的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以maxl表示l的最大值，由角动量守恒有max0mv lmvR（2）由式（1）、（2）可得20max1/2eUlRmv（3）代入数据，可得max22lR（4）若把质子换成电子，则如图复解20-1-2 所示，此时式（1）中 e 改为e。同理可求得max62lR（5）评分标准：本题15 分。式（1）、（2）各 4 分，式（4）2 分，式（5）5 分。精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 26 页，共 38 页27/3827/38 二、参考解答在温度为1(27273)K=300

46、KT时，气柱中的空气的压强和体积分别为10pph，（1）1CVlS（2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和 B 管。设温度升高到2T时，气柱右侧水银刚好全部压到B 管中，使管中水银高度增大CBbShS（3）由此造成气柱中空气体积的增大量为CVbS（4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A 管，进入 A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为AVhS（5）所以，当温度为2T时空气的体积和压强分别为21VVVV（6）21pph（7）由状态方程知1 12212pVp VTT（8）由以上各式，代入数据可得2347.7TK（

47、9）此值小于题给的最终温度273370TtK，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为22TVVT（10）代入数据可得30.72cmV（11）评分标准：本题15 分。求得式（6）给 6 分，式（7）1 分，式（9）2 分，式（10）5 分，式（11）1 分。精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 27 页，共 38 页28/3828/38 三、参考解答位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为2GM mFr，（1）式中M是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以

48、表示地球的密度，此质量可以表示为343Mr（2）于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为43FG mr（3）作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为sinfF（4）sinxr（5）为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中点C的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为020GM mmgR（6）式中0M是地球的质量。由上式可以得到043gGR（7）由以上各式可以求得0mgfxR（8）可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为0mgkR（9）物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为02/TRg。取0 x处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口

49、处的质量为m的静止物体到达0 x处的速度为0v，则根据能量守恒，有精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 28 页，共 38 页29/3829/38 2220011()22mvk Rh（10）式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得222000RhvgR（11）可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是0v，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若

50、规定速度方向由A向B为正，则有00MvmvMVmv，（12）22220011112222MvmvMVmv（13）解式（12）和式（13），得03MmvvMm（14）质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有22220111()222k Rhmumv（15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得2220208()()RhM MmugRMm（16）u 的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果 u 的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200M muGmRR（17）由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到220