2021年高一数学期中复习资料三角恒等式.pdf

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1、a2 b2a2 b22020 年 4 月期中高一复习资料 三角恒等变换【知识点】两角和差公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan()tan tan 1 tan tan tan()tan tan 1 tan tan 二倍角公式：sin 2 2sin cossin cos1 sin 22cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 变形一：降幂公式cos2 1 cos 2；sin2 1 cos 2tan 22 tan1 tan 2

2、 2 2 变形二：半角公式sin2sin cos 2 2 cos cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 2 2 2 2 2 tantan2 1 tan2 2辅助角公式函数f()a sinb cos，可以化为f()a2 b2(asinbcos)sin()b a b其中tan，cos，sin。a a2 b2 a2 b2（1）要求：齐一次，函数同角不同名；（2）储备公式：和差角公式，倍角公式，降幂公式等题型一：两角和差公式a2 b2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 1 页，共 31 页3)2例 1 已知a cos 2,si

3、n,b1,2sin1,2,，若a b5，则tan4 的值为1【答案】7【思路点拨】由向量数量积，得到tan3，再由和差角公式展开代入.4 例 2 tan 70 tan 50tan 70 tan 50.【答案】-【思路点拨】由tan120tan 70 tan 50，化简移项即可。1 tan 70 tan 50题型二倍角公式运用例 1 若tan 2，则sin 2 cos2 的值为【答案】1 2 tan1【思路点拨】先有二倍角公式展开，再齐次化简得到tan2 1，代入即可.变式 1 若【答案】sin cossin cos3 4 1，则tan 22【思路点拨】由sin cossin cos1，得到ta

4、n3，再由二倍角公式展开代入即可2变式 2 若tan(1，则sin 2)4 2【答案】-35【思路点拨】由tan(1，利用和差角公式展开得到tan1，4 2 3 又sin 2 2sin cos2sin cossin2 cos2 2tan1 tan2，代入即可3|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 2 页，共 31 页3/31 4 3 4例 2 若3,2，则1 1 1 1 cos 2等于2 2 2 2 2【答案】-cos 2【思路点拨】利用二倍角公式以及角度范围得到1 1 cos 2cos2 cos，再由半角公式展开，此时要注2 2 意角

5、度的取值范围5 3变式若(,)，则4 2【答案】-sin cos3【思路点拨】由诱导公式得到cos2 2sin 2，再由二倍角公式展开，同时注意角度范围题型三已知角求未知角312 3 例 1 已知，cos，sin，则cos 22 4【答案】-113【思 路 点 拨】由13-0 35 可 得 sin5,cos4，利 用，4 2 13 5 cos 2 cos展开代入即可1变式 已知为锐角，且sin,则sin=【答案】6【思路点拨】sin sin展开代入4 例 2 已知为锐角，若sin(3,则sin(2.【答案】-725【思路点拨】sin 2)6 5 6 cos 2 2 sin 21,代入即可.6

6、sin 2 6 2 6 6 1 cos(3 2)2 4 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 3 页，共 31 页4/31 1 sin 2x 206)2 4 2 462 变式设为锐角，若cos(4，则sin(2)的值为6 5 12【答案】25【思 路 点 拨】由为 锐 角，得 到sin3247，又 因 为6,sin 25 6 25,cos 26 25 sin 212 sin 26 4，展开代入即可.题型四综合应用例 1 已知函数 f x 2 3sinxcosx 2cos2 x 1x R（1）求函数f x的最小周期及在区间0,上的最小值

7、和最大值；（2）若f x6，x,求cos 2x的值.0 5 0,0【思路点拨】（1）由已知可得，f x3sin 2x cos 2x，所以函数的最小正周期为；因为2sin 2x 6 f x在0 上是增函数，在上是减函数，所以f x 的最小值为-1，最大值为2.2sin 2x 6，6 6，（2）由（1）可知，f x，又因为f x00 6，532sin 2x0 6 所以sin 2x0 6 5，27由x0 ,，得2x0，4 cos 2x 2 6 3 6，0 cos 2x 5 3 4 3 所以0cos2x0 6 6 1017 2 从而|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|

8、欢.|迎.|下.|载.第 4 页，共 31 页5/31 34 4例 2 函数 f x 6 cos2 x2 3 sin x 3 0在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B,C 为图像与x 轴的交点，且ABC 为正三角形.（1）求的值及函数f x的值域；（2）若 f x8 3，且 x 10,2，求 f x 1的值.5 0 3 3 0.【思路点拨】（1）由已知可得，f x 3cos x 3 sin x 2 3 sin x。所以 f x的 值域为-2 3,2 3。3 因为正三角形ABC 的高为2，所以BC 4,则函数f x的周期为 8，即。4（2）因为f x083，由（1）有：f x 5 0

9、4 2 3 sinx 4 0 8 3，3 5 所以sin4 x0 3 5.因为x 10,2，则x0,，0 3 3 4 3 2 2 3 所以cos4 x0 3 5,故f x 1 2 3 sinx0 23 sinx0 7 6。0 44 3 3 5|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 5 页，共 31 页6/31 2020 年 4 月期中高一复习资料 解三角形【知识点】正弦定理：ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，R 为ABC 的外接圆的半径a sin A b sin B c sin C 2R；a:b:c sin A:sin

10、B:sinC应用范围：（1）已知三角形的两角及任一边，求其他的两边和一角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边角余弦定理：ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边a2 b2 c2 2bc cos A；b2 a2 c2 2ac cos B；c2 a2 b2 2ab cosC 应用范围：（1）已知三角形的三条边，求三个角；（2）已知三角形的两边和任意一角，求第三边和其他两个角面积公式：ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边S 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A 2 2 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.

11、|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 6 页，共 31 页7/31 1 cos2 B 3ab 3题型一：求边角例 1在ABC 中，已知 AB 2，cos B 1，且 AC 2 3，求sin C 的值2【答案】3【思路点拨】两边一对角可用正弦cos B 1,B 0,sin B 2 2 3 3 AB sin C AC sin B,AC 2 2,AB 2 sin C 23 变式 1-1.在ABC 中，c 2，sin B 1，A 60，求a 3【答案】23【思路点拨】已知两角求第三角sin C sin A B sin Acos B cos Asin B-sin B 1,sin A 3,

12、sin A sin B,又A B 0,A B3 2 cos B 2 23 代入求出sin B 进而用正弦定理求出a 例 2在ABC 中，已知a 2，b 6，cos C 1，则边c 的长度为3【答案】4【思路点拨】已知两边及任一角求边可通过余弦定理公式求第三边c2 a2 b2 2ab cos C 变式 2-1 若ABC 的三边满足 a2 b2 c2 53ab，则此三角形的最大内角的度数为【答案】6 a2 b2 c2【思路点拨】已知三边关系用余弦公式变形转化：cos C，最大角即为钝角C 2ab 2ab 2 2 36 2-6 3 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|

13、*|欢.|迎.|下.|载.第 7 页，共 31 页8/31 题型二：边角互化例 1ABC 的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若2bcos B acosC ccos A，则B【答案】3【思路点拨】观察，发现等号两边有齐次的边或角，即可边角互化 2b cos B a cos C c cos A 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin B B 0,sin B 0 cos B 12变式 1-1.ABC中，角B，C所对的边分别为b，已知1+tan A 2b，则A tan C c【答案】3【思路点拨】看到tan 可考虑化为sin/cos 1+tan A 2b=

14、2sinB tan C c sin C sin Acos C cos Asin C sin Acos C sin AC sin B 2sinB 1 cos Asin C cos Asin C cos Asin C cos Asin C sin C sin B 0,sin C 0cos A 12 变式 1-2.ABC 的内角A，B，C的对边分别a，b，c，2 2(sin 2 A sin 2 C)(a b)sin B，且外接圆半径为【答案】3【思路点拨】看到有角的平方可考虑换成边再结合余弦化简2 2(sin2 A sin2 C)(a b)sin B a 2 c 2 b2 2 2R 2R a b2R

15、 R 化简得 a2 c2 ab b2cos C 122 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 8 页，共 31 页9/31 22题型三：多解问题例 1，已知ABC 的三个角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.下列条件中，能使得ABC 的形状唯一确定的有（）Aa=1,b 2,c Z B.a sin A csin C 2a sin C bsin B,A 150,b 2 C.cos Asin B cosC cos B C cos Bsin C 0,C 60,c 2D.a=1,b【答案】AD 3,A C 2B【思路点拨】两边一对角判断解的个

16、数需作图求解A:由三角形三边关系得：|a b|c a b,c Z,1c3,c=2 可唯一确定B:边角互化得cos B 2,B 135,又A 150，不成立2 C:化简得cos A sin(B C)=0,B C A 60 或C 90不唯一D:可知B 60,邻边为a=1，可知以C 为顶点的高为3，b 1,b 2 3，画图可知只有一解。2 变式 1-1 在ABC 中，已知a x,b 2,B 45，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（）A2 x 2【答案】A B.x 2 C.x 2 D0 x 2【思路点拨】两边一对角判断解的个数需作图求解由题得B 的邻边为a=x，若要有两解，对边b 要大于以C 为顶

17、点的高并且小于x（画图可得此几何关系）即x 2 x,解得 2 x 2 2 222|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 9 页，共 31 页10/31 3 题型四：判断三角形形状例 1.ABC 中，若sin2 A sin2 B sin2 c，则ABC 是（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰三角形【答案】B【思路点拨】遇到平方角化边sin2 A sin2 B sin2 c a2 b2 c2cos C 0 C是钝角例 2在ABC 中，若sin Bsin C cos2 A，则ABC 是（）2 A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰

18、直角三角形【答案】B【思路点拨】sin B sin C cos 2A=cos A 1 cos BC 12 2 2 2 sin B sin C cos B cos C sin B sin C 1，cos B cos C sin B sin C 1 cos B C 1B C变式 2-1.ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，下列四个论断正确的是（）A.若sin A cos B，则B；a b 4 B.若B，4b 2，a 则满足条件的三角形共有两个；C.若b2 ac 且2 sin B sin A sin C，则ABC 为正三角形；D若a 5，c 2，【答案】AC【思路点拨】S ABC 4，

19、则cos B 3 5A:sin A cos B,由正弦定理可知sin A sin B sin B cos B,B0,B 45,A 对a b a b B:由题型三的方法画图判断，三角形唯一,B 错2sin BsinAsinC2bac4b2ac2C:b2ac4acac2ac20acbC 对D S ABC1 ac sin B 4 sin B 4 cos B 3 2 5 5，D 错|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 10 页，共 31 页11/31 4a c 题型五：取值范围问题例 1.在锐角ABC 中，已知A 2C，则a 的范围是c【答案】

20、2,3【思路点拨】A2C，均为锐角，C30，45a sin A sin 2C 2 sin C cos B 2 cos Bcsin C sin C sin C 例 2ABC 中，A 60，a 7，求ABC 的周长及面积的取值范围【答案】14,21，49 3【思路点拨】周长及面积最值需结合余弦及不等式b2 c2 a2 2bc cos A 49 bc，b2 c2 2bc 49 bc 2bc bc 49可求面积最大值b c2 b2 c2 2bcb c2 2bc 49 bc,3bc b c2 49bc 3 b c2b c24 b c2 49 b c 14可求周长最大值4 再利用两边之和大于第三边可求周长

21、最小值变式 2-1.在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，ABC 120，ABC 的平分线交AC 于点D，且BD 1，则4a c 的最小值为【答案】9【思路点拨】结合不等式求最值，由角平分线可知面积关系为S S S 即1 c sin 601 a sin 601 ac sin120ABD BCD ABC,2 2 2 a c ac,1 1 1,a c 利用“1”的代换得：4a c4a c1 1 9|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 11 页，共 31 页12/31 2a题型六：多个三角形问题例 1 已知在ABC 中，点D

22、为BC 中点，ABC 的面积为(1)求sin BAD sinBDA的值AD23sin B(2)若BC 6AB,AD 2【答案】1;b 3【思路点拨】，求b AD2 1(1)D为中点，SABC 2 AB BD sin B 3sin B 2 3sin2 B AB BD AD2又ABD AD BD AB 中，sin B sin BAD sin BDA 3sin2 B AB BD AD2 3sin2 B sin BDA sin BAD sin2 B2所以sin BAD sin BDA=13(2)BC 6AB,BD 3AB ABD中由正弦定理可得 sin BAD 3sin BDA 与(1)中结论联立得，

23、sin BAD=1，sin BDA=1 BAD=3 2 再结合正余弦求出其他边角变式1-1 设ABC 的面积S b2 c2 a2，4A,B,C 所对边分别为a,b,c 满足c（1）求C；（2）设ABC 内一点P 满足AP AC，BP CP，求PAC 的大小【答案】2 6 233|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 12 页，共 31 页13/31【思路点拨】(1)结合余弦定理，面积公式及题中 S b2 c2 a2，可得sin A cos A A 又c 4 42a，由正弦定理得C 2(2)设PAC AP=AC ACP APC BPC 2

24、2 APC中，PC 2AC cos ACP 2AC sin 2a sin 2 2 CPB中,BC=2PCcos2PC2asinasin1，0=2 2 cos2，2 4 6 例 2,在ABC 中，A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，满足(2a c)cos B b cos C（1）求B 的大小；（2）如图，AB AC，在直线AC 的右侧取点D，使得AD 2CD 4，当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大【答案】2 6【思路点拨】(1)由题型二边角互化可得B 2(2)设D，结合余弦定理及面积公式表示出四边形ABCD 的面积SABCDSABC SACD 54 3 cos 4 sin再结合辅助角

25、公式求面积最值即可3|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 13 页，共 31 页14/31 3题型七：实际应用例 1（18 年 10 月松柏高二文，15）如图，为测量山高MN，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB 45以及MAC 75，从C点测得MCA=60，已知山高BC=300m，则山高MN m【答案】150【思路点拨】注意设未知数MN=h，利用垂直条件，构建正余弦等量关系来求解例 2（18 年 10 月双十高二文，12）在海岸 A 处，发现北偏东 45的防线，距离 A 处1n

26、mile 的B 处有一搜走私船，在A 处北偏西75的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3n mile/h 的速度从B 处向北偏东30的方向逃窜，文缉私船沿什么方向才能最快追上走私船，追上走私船的时间t为多少？（n mile:海里）（）A.北偏东60，t=610 B.北偏东60，t=210 C.北偏东30，【答案】A t=610 D.北偏东30，t=210【思路点拨】作图，用时间t 表示出各线段长度，通过余弦求边，再利用正弦求角即可题型八：结合向量数列等综合运用例 1 在ABC 中，角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,A,(163)c 2b.(1)求 C；(2)若

27、CB CA 1，求a,b,c.【答案】;a=42,b 1 3,c 2【思路点拨】注意向量数量积公式CB CA CB CA cos BCA 3|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 14 页，共 31 页15/31 例 2 在ABC 中，a,b,c 成等比数列，且a2 c2 ac bc 则A 的大小及b sin B 的值分别为c3 2 2【答案】【思路点拨】由b2 ac 及a c ac bc 结合余弦可求角A,，3 2 再利用正弦定理边角互化得b sin B=sin A c|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*

28、|欢.|迎.|下.|载.第 15 页，共 31 页16/31 3 3 2020 年 4 月期中高一复习资料 数列等差数列题型一：等差数列定义【知识点】1.对于数列a，若a ad（与n 无关的数或字母），n 2，n N，则此数列是等差数列，d 为公差n n n 12.等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d 或an am (n m)d 例 1.在等差数列an中，已知a5 10，a12 31，求a1、d、a20、an【答案】：a1 2，d 3，a20 55，an 3n 5 题型二：等差数列性质【知识点】若a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项，2A=a b下标和定理：在等

29、差数列中，若 m n p q，则 am an ap aq例 1.已知数列an 为等差数列，且a1 a7 a13 4，则tan(a2 a12)的值为（）A【答案】BBCD3 3【思路点拨】利用等差中项定理，得到a7，再计算即可。3|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 16 页，共 31 页17/31，奇例 2.在等差数列an 中，a1 a4 a7 45，a2 a5 a8 29，求a3 a6 a9 （）A22 B18 C20 D13【答案】D【思路点拨】由中项性质可得a4，a5 的值，再求a6。题型三：等差数列前n 项和例 1在等差数列a

30、中，a 2008，S 是其前n 项和，若S2008S2006 2，则S 等于（）n 1 n2008 2006 2012 A2012【答案】D B2012 C6033 D6036【思路点拨】利用等差数列前n 项和。例 2等差数列an中，若S9 9，则a4 a6 （）A3 B2 C1 D0【答案】B【思路点拨】利用等差数列性质。题型四：等差数列前n 项和性质【知识点】1.项数为偶数2n 的等差数列an 有S2n n(a1 a2n)n(a2 a2n 1)n(an an 1)(an,an 1为中间两项)S奇nan,S偶na n 1，S偶S奇S nd，S偶an an 1 2.项数为奇数2n 1的等差数列

31、an 有S2n 1 (2n+1)an+1(an为中间项)，S n+1 a,Sna，S S S na ，奇n 偶n 1奇偶n偶n 1 3.对等差数列前n 项和的最值问题有两种方法:（1）利用an：当a1 0,d 0 前n 项和有最大值，可由an 0,且an 1 0，求n 当a1 0,d 0，前n 项和有最小值，可由an 0,且an 1 0，求得n 的值（2）利用S：由S d n2 a d n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值n n 2 1 2 4.对于一个等差数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n 仍成等差数列奇S|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|

32、迎.|下.|载.第 17 页，共 31 页18/31 n n n nT n 例1.等差数列 a，b 的前 n 项和分别为 S，T，若 Sn 2n，则 a10 n n 19【答案】29 n n 3n 1b10 例 2.数列a 的前n 项和为S，若S 2n2 17n，则当S 取得最小值时n 的值为（）A4 或5 B5 或6 C4 D5【答案】C【思路点拨】把Sn 看成关于n 的二次函数，找最接近对称轴的正整数即可.例 3.数列a 为等差数列，若a11 1，且它们的前n 项和为S 有最大值，则使得S 0 的最大值n 为（）n n10 A11 B19 C20 D21【答案】B【思路点拨】根据题目条件计

33、算a10,a11 的符号，再根据对应的求和公式，写出对应的前n 项和符号。例 4.设等比数列an 的前n 项和为Sn，若S3 9，S6 36，则a7 a8 a9 （）A63 B45 C36 D81【答案】D na|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 18 页，共 31 页19/31 nn m等比数列题型一：等比数列通项公式【知识点】1.通项公式一：ana1qn 1【注】已知首项和公比2.通项公式二：a a qn m【注】已知任一项和公比例 1.等比数列an中，已知a22，a5 16，求数列an的通项【答案】a 2n 1例 2.已知等比数

34、列a 中，a a10，a a 5，则该数列的公比q 为（）n 1 34 6 41 1 A2 B1 CD2 4【答案】C 题型二：等比数列性质【知识点】1.等比中项：a、G、b 成等比数列G2 ab(a b 0)2.等比数列的性质：若m n p q，则aman apaq 3.等比数列的增减性：当q 1，a1 0 或者0 q 1，a1 0时，an 是递增数列；当q 1，a1 0或0 q 1，a1 0时，an 是递减数列；当q 1 时，an 是常数列；当q 0 时，an 是摆动数列；例 1.设数列an 是由正项组成的等比数列，且a7 a8 4，则log4 a1 log4 a2.log4 a14 （）

35、A5 B6 C7 D8【答案】C【思路点拨】先根据对数运算进行计算，再根据中项性质。|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 19 页，共 31 页20/31 例 2.已知1，a，a，9 是等差数列，1，b，b，b，9 是等比数列，则b2（）1 2 1 2 3 a a A3 B310 10 1 2C3 D32 2【答案】B 题型三：等比数列前n 项和【知识点】等比数列的前n 项和公式：a(1qn)a a qn当q 1 时，Sn 1 或11；当q 1 q 1 时，Sn na1 1q 1 q 例 1.已知首项为1，公比为1 的等比数列a 的前n

36、 项和为S，则（）2 n n A.Sn 2an 1【答案】D B.Sn 3an 2C.Sn 4 2anD.Sn 2 an【思路点拨】利用公式求Sn 与an 关系例 2.已知a 为等比数列，S 是它的前n 项和，若a a 2a，且a 与2a 的等差中项为5，则S （）n n 2 3 1 4 7 4 5 A35 B33 C31 D29【答案】C 例 3.已知等比数列an 的公比q 2，其前4 项和 S4 60，则a3等于（）A16 B8 C16【答案】A D8 题型四：等比数列前n 项和性质【知识点】等比数列的前n 项和公式：a(1qn)a a qn1当q 1时，Sn 1 或11；当q 1时，Sn

37、 na1 1 q 1q 2等比数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列，且公比为qn【注】q 为原数列公比|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 20 页，共 31 页21/31 2 例 1.等比an 数列中，Sn 为其前n 项和，若S2 7，S6 91，则S4 为（）A28 B32 C35 D49【答案】A【思路点拨】利用等比数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列，求S4.例 2.正项递增等比数列an 中，Tn 表示其前n 项之积，且T10 T20，则当Tn 取最小值时，n 的值为【答案】15【思路点拨】T10

38、 T20 得a11a12 a20 1，a11a20 a12a19 a15a16 1，a15 1,a16 1，T15 最小例 3.设等比数列an满足a1a3 10，a2 a4 5，则a1a2 L an 的最大值为【答案】64 a 8 q 11 n 4n1 23 Ln1n 1 n n 12 1 n27 n 2 2【思路点拨】由题可得1，2，所以 an 2，所以 a1a2 Lan a1 q8 2，所以当n 3 或n 4 时，a1a2 Lan 的最大值为64 例4.设等比数列a 的公比为q，其前n 项积为T，并且满足条件a，a a，a99 1，给出n n下列结论，其中正确的结论有（）1 99 100

39、a100 1 Aq Ba99 a101 CT100 的值是Tn 中最大的D使Tn 1成立的最大自然数n 等于198【答案】AD【思路点拨】由题目条件得出a99 1,a100 1，进而得出q 的范围及其余选项判断。|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 21 页，共 31 页22/31 数列求通项题型一：累加法求数列通项【知识点】1.累加法形如an 1 an f n（f n可 求前n 项和），通过an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1f n 2f 1a1，求通项公式的方法叫累加法已知a1 a，an 1 an

40、f n，f n可以是一次函数，二次函数，指数函数，分式函数，若f n是关于n 的一次函数，累加后可转换成等差数列求和；若f n是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；若f n是关于n 的指数函数，累加后可转换成等比数列求和；若f n是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和2.特殊数列求和常用数列的前n 项和：1 2 3.n n n 1；1 3 5.2n 1n22n n 12n 1n n 1212 22 32 .n2 ；13 23 33 .n3 6 2 例 1.若数列的递推公式为a1 3,a n 1 an 2 3n 1 n N，求该数列的通项公式【答案】4 3n 1例 2.已知数列an，a1 1,

41、an 1 an n n 1【答案】1 n n 1n 13【思路点拨】累加法应用。，求数列通项公式an 等于|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 22 页，共 31 页23/31 题型二：累乘法求数列通项【知识点】形如an 1 an f n（f n可求前n 项和），特殊情况：等比数列an 1 q（从第二项开始，后一项比去前一项等于同一常数）an通过aanan 1 a2 a f n 1f n 2f 1 a，求数列通项的方法叫累乘法n a a a 1 1n 1 n 2 1 累乘法解题关键是，先把递推关系转换成如 an 1 anf n 的形式，

42、然后累乘即可例 1.已知数列a，a 2,an a，求a【答案】n 12(n 1)(n 1)n 1n 2n n例 2.已知数列a 满足a 1,a 2n a，求通项公式a【答案】an n 1n(n 1)2 n 1 n n【思路点拨】由an 1 2n a，得an 1 2n，所以a a a a a n(1 n 1)(n 1)n(n 1)a 2 3 4 n 21 22 23 2n 1 2 2 n a a a a 1 2 3n 1 题型三：构造法求数列通项【知识点】待定常数法1.形如an 1 Aan B（其中A,B 均为常数，且A 0）已知a1 a，且an 1 Aan B（其中A,B 均为常数，且A0），

43、求数列通项公式若A 1 时，数列an为等差数列；若B 0 时，数列an为等比数列；若A 1,B 0 时，数列a 为线性递推数列，可将其转化为at A(a t)，其中t B，则数列atn 为公比等于A 的等比数列，然后求an 即可n 1 n A 1 n2 n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 23 页，共 31 页24/31 1nn n 1 nS S n n nn nn n 2.形如an 1 pan f n型，可分以下两类操作步骤：两边同除以 qn 1，得到 an 1 p an 1，令b an，则可化为b p b，然后转换为题型3 来解

44、qn 1q qn q n qnn 1q n q 例 1.在数列an中，已知a1 3，an 1 5an 4，求数列an的通项【答案】a 4 5n 1 1【思路点拨】构造数列an 1 1 5 an 1例 2.已知数列a 满足a 3a 5 2n，a 1，求数列a 的通项公式n n 1 n 1 n【答案】a 11 3n 1 5 2n【思路点拨】构造数列a 5 2n 1 3 a 5 2n 题型四：利用Sn 与an 关系【知识点】（1）知Sn，求an已知数列a 前n 项和S，则aS1n 1（注意：不能忘记讨论n 1）n n（2）Sn 与an 混合出现n Sn 1 n 2 此类型一般可用aS1n 1 消去S

45、 或者消去a n Sn 1 n 2 例 1.已知数列an的前n 项和，求数列的通项公式：（1）S n2 2n；（2）Sn2 2n 1；（3）S 3n 2；【答案】an 2n 1 a 2,n 12n 3,n 2(n N)1,n 1an 2 3n 1,n 2(n N）【思路点拨】利用Sn Sn 1 得到an，记得验证n 1的情况是否符合。n S2例 2.设S是数列a的前项和，且a1，aSS，则使n取最大值时的值为（）n n 1 n1n n1 1 10S2A2 B5 C4 D3【答案】D n n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 24 页，

46、共 31 页25/31 n【思路点拨】利用 S S 替换题中的a，得到关于S的表达式，再进行计算。n n 1n+1 n 题型五：证明等差等比数列【知识点】证明题目已经构造好的新数列的某些性质（如成等差或等比数列）具体解题步骤为：（一）换元法换元：令所证数列的通项为xn反解：利用换元解出，an 代入题目已知关系式f xn（二）待定系数法：同数列通项构造例 1.在数列an中，a11,a n 2(an 11)n(n 2且n N*)（1）证明：数列an n是等比数列（2）求数列an的通项公式an2n2,n2【答案】（1）an n是以2 为公比的等比数列（2）an1 n1【思路点拨】（1）由a11,a

47、n 2(an 11)n(n 2且n N*)可得，a nn2 an 1n 1(n 2且n N*)，当n2时，a1 1 2 0,所以an n是以2 为公比的等比数列2n2,n2（2）由（1）知，ann 2 2n 1 2n，所以 a 2n 2，所以 a 1 n1n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 25 页，共 31 页26/31 数列求和题型一：公式法【知识点】题型二：分组求和法【知识点】例 1.已知数列an是等差数列，且a1 2，a1 a2 a3 12 （17 年 10 月启悟中学高二文，18）（1）求数列an的通项公式；（2）令b a

48、 2n，求数列b 的前n 项和S n n n n【答案】（1）an 2n；（2）Sn(2 2n)n 2(2n 1)2 2 1 n2 n 2n 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 26 页，共 31 页27/31 n 1 n 10 10 10 10 22 n【思路点拨】（1）利用等差性质求出公差，进而求得通项；（2）由（1）求得bn 2n 2，再利用分组求和求得S 。n题型三：倒序相加法【知识点】x 例 1.已知函数 f x 2x 9，f 1 f 2 L f 8 f 9 的值等于【答案】2【思路点拨】计算f xf 1x为定值即可。例

49、2.有限项的等差数列an的前4n项之和为26，末四项之和为110，且所有项之和为187，则项数n等于【答案】11 题型四：裂项相消法【知识点】形如cnc an an 1（其中an 是各项不为零的等差数列，c 为常数）常见的裂项形式1.an2.an3.an4.an5.an6.an1 n(n 1)1(2n 1)(2n 1)2 4n2 12(6n 3)(2n 1)1 n(n 2)1 n7 an(2n 1)(2n 1 1)2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 27 页，共 31 页28/31 n 1n n n1 2例 1.数列a 的项分别为1

50、,1 ,1,1,1,则他的前20 项之和S 等于（）n 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2n 20A19 B2 C40 D2010 21 21【答案】C；【思路点拨】ann n 1，Sn2n n 1 例 2.设数列a 的前 n 项和为 S，a 2，点S,S 在直线x y 1(n N*)上n n 1（1）求数列an的通项公式；n 1 nn 1 n（2）设T Sn Sn 1 2，求证：4 T TT T 3 Sn 1 Sn 3 1 2 3 n【答案】（1）an 2n（2）见解析【思路点拨】（1）点S,S 在直线x y 1(n N*)上，故Sn 1 Sn 1，Sn 是首项为2，公差为1的n 1