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2021年立体几何知识点与例题讲解、题型、方法技巧.pdf

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文档编号：56603563

上传时间：2022-11-02

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1、啊没立体几何知识点和例题讲解、知识点一常用结论1证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5证明直线与平面

2、垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 1 页，共 33 页7.夹角公式：设 a=佝,32,93),b=(bi,b2,b3),贝 U cosa,b=2-2?.：jai a2 a3&异面直线所成角：cos|cos(a,b)|=|b|2 2 2/2 2 2|a|b

3、|Qx yi zi X2 y2 Z2(其中(0。90。)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)9?直线AB与平面所成角：向量)?iO、空间四点A、B、C、P 共面OP xOA yOB zOC，且 X+y+z=iii.二面角 s rl I arc cos m n J或|m|n|人db a2b2 a3b3 2a2b2的平面角u r arc cos m r|m|n|ra bIxix2 y2 Z1Z2 I|a|b|x uuu ir,arcsin雪（m为平面的法(m,n为平面,的法向量).12.三余弦定理：丄 AC,垂足为 C,又设 AO与 AB所成的角为1，AB与AC所成的角

4、为2,AO与 AC所成的角为?贝U cos coses 2.13.空间两点间的距离公式若 A(xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2)，则uur AB 设 AC是a内的任一条直线，且BCuu uur uui -dA,B=|AB|AB AB?xi)2 g Vi)2亿zj2.uuu ur 14.异面直线间的距离：d册其公垂向量为n,c、D分别是ii,i2 间的距离).15.点B到平面的距离：dAB是经过面的一条斜线，(hh 是两异面直线，二任一点，d为肛uur rn LA(n为平面的法向量，).|n|A 精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 2 页，共 33 页文档

5、编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7

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7、编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7

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11、编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K4文档编码:CB1I1N9Z5G3 HE6D7H3J3Z1 ZL8K9D4I1K416.三个向量和的平方公式：（；r2 r2 r2 r r r r.r r r r a b c 2|a|b|cos;a,b;2|b|c|cos：b,c 21 c|a|cos c,a.17.长度为i的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为11、12、13，夹角分别为1、2、3,则有l2 I；I；I；cos 1 cos22 cos 3 1 sin21 sin22

12、 sin23 2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18.面积射影定理S壬.（平面多边形及其射影的面积分别是S、s,它们所在平面所成锐二面角的）.19.球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为吕a,外接球的半径为严a.20.求点到面的距离的常规方法是什么（直接法、体积法）21.求多面体体积的常规方法是什么（割补法、等积变换法）二温馨提示：1.

13、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围r a r c 2 r c r b 2 r b r a 2 2 r c 2 r b 2 r a 2rc)精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 3 页，共 33 页文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z

14、9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4

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17、3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8

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19、4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10a丄OA a丄PO

20、;a丄PO a丄AO异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次仗刖 3 知 0E.I N直线的倾斜角、.到的角、J 与的夹角的取值范围依次是I 1-:.三解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定:a/b,b 面，a a/面a 面面垂直：a丄面，a 面丄面丄面，I，aaa，丄I 丄线/线线/面面/面判定线丄线线丄面面丄面性质线/线线丄面面/面线面垂直:三垂线定理（及逆定理）：PA丄面,A0为P0在内射影，a 面，则面丄a，面丄a/线面平行的性质：/面，面，b a/bc 精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 4 页，共 3

21、3 页文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3

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24、L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7

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28、OB为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照作，二证，三算”的步骤来完成。（定义法）精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 5 页，共 33 页文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4

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30、7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY

31、7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9

32、V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P

33、4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:

34、CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 H

35、C9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用?例 1 如图，正三棱柱ABC ABiCi的所有棱长都为川AD为中占I 八、?(I)(n)(皿)考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，逻辑思维能力和运算能力.解答过程：解法一：(I)取中点O，连结AO.QA ABC 为正三角形，AO 丄 BC.Q正三棱柱ABC Ai BiCi 中，平A

36、BC 丄平BCCiBi，AO 丄平面BCCiBi.连结BO，在正方形BBiCiC中，0,D分别为BC，CCi 的中点，Bi O 丄BD，ABi 丄 BD.在正方形ABBi A 中,ABi丄 A B，AB 丄平面A BD.ABC A1B1C1 CCi 求证:AB 丄平面AiBD；求面角A AiD B的大小；B求点C到平面的距离.i查空间想象能力、C1 Bi C1 精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 6 页，共 33 页文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4

37、B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:C

38、Y7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC

39、9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8

40、P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码

41、:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2

42、HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 Z

43、E8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10 x（n）设AB 1与AB交于点G，在平面ABD中，作GF 丄 AD于F,连结AF，由（I）得AB,丄平面ABD.AF 丄 AD，/AFG为二面角A AD B的平面角.AAD中，由等面积法可求得AF琴，丿5 zAG 2 10.AF 5 45-所以二面角A AD B的大小为arcs.4BD A D 5，A B 2丿2,S ABD，比BCD 1.设点C到平面ABD的距离为d.点C到平面ABD的距离为-2.解法二：（

44、I）取BC中点O，连结AOAO 丄 BC.A1BC1中，平面ABC丄平面BCC1B1，取B1C1中点。1，以O为原点，Ouu 的正又QAG2AB 2，sin/AFG（皿）AiBD 中，在正三棱柱中,A到平面BCC1B1的距离为3.由VA BCDVc A BD，BCD g 3 3 QA ABC 为正三角形,Q在正三棱柱ABCAD 丄平BCC1B13SABCD d SA ABD 精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 7 页，共 33 页文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F

45、1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A1

46、0文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3

47、Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F

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49、A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3O3Z9P2 HC9V4G8F4F1 ZE8P4B7L4A10文档编码:CY7Q3

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4.3 金币

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