2021年初数学平行线分线段成比例定理.pdf

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1、-.-.word.zl.初二数学【教学进度】几何第二册第五章5.2 教学内容 平行线分线段成比例定理重点难点剖析 一、主要知识点1 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2 三角形一边平行线的性质定理即平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例。3 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4 三角形一边的平行线的性质定理2即课本例6：平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三

2、边对应成比例。二、重点剖析1 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最根本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的根本图形l1l2l3DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EFDEBCAB，可以说成“上比下等于上比下DFDEACAB，可以说成“上比全等于上比全DFEFACBC，可以说成“下比全等于下比全等2 三角形一边平行线的性质定理1即平行线分线段比例定理的推论根本图形LLL图1-（1）CFABEDF

3、C图1-（2）3ED12BAF3LC图1-（3）2LL1BEA图1-（4）FL3CL2L1BDA3L2LL1(D)(E)|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 1 页，共 6 页-.-.word.zl.ABCDEFl123ll图3图4ADBCE图5CBEFGADDE BC ACCEABDBACAEABADECAEDBAD图 2 1，图 2 3称为“A型，图2 2称为“X型推论中“或两边的延长线是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3 三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。（1）这个定理可以用来判定两条直线平行。（2）

4、使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边或两边的延长线所得对应线段成比例。4 平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图3，其中 AB=BC，DE=EF，那么1EFDEBCAB，但 L1、L2、L3不平行。5、三角形一边的平行线的性质定理2 即课本例6，这个定理也叫做相似三角形预备定理 DE BC ACAEBCDEABAD这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定理也成立。图 4 是最根本的“A型，课本例6 中有“A型时常作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关

5、系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。典型例题 例 1、如图 5，在 ABC 中，D 是 BC 上的点，E 是 AC 上的点，AD 与 BE 交于点 F，假设 AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线平行线去构造比例线段，进而求出比值。解：过 E 作 EGBC 交 AD 于 G，那么在 ADC 中，ACAEDCGE又43ECAE73ACAE73DCEG极 EG=3X，DC=7X X0 ，那么32DCBD DB=xxDC31473232ADEBCEDABCABCD

6、E图2-(1)图2-(2)图2-(3)|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 2 页，共 6 页-.-.word.zl.ABCDEF图69143314xxEGBD又 EGBC，914EGBDFEBF例 2、如图 6，DE AB，EFBC，AF=5cm,FB=3cm,CD=2cm,求 BD。分析根据条件可知BDEF 为平行四边形，由 EF BC，应用相似三角形的预备定理，得BCEFABAF再应用比例性质，即可求出EF 即 BD。解：DE AB，EFBC 四边形 BDEF 为平行四边形，BD=EF 又EF BC，BCEFABAFDCBDBDB

7、FAFAF2355BDBD解之，得BD=310cm例 3、如图 7，A、C、E 和 B、F、D 分别是 O 的两边上的点，且ABED、BCFE。求证：AF/CD 分析要证明 AF/CD，应推导出能使AF/CD的比例线段，由题中图形可知，应证明ODOFOCOA，而由 AB/ED，BC/FE，容易得到此关系。证明：AB/ED ODOBOEOA BC/FE OEOCOFOB由得OEOBODOA由得OEOBOFOCOFOCODOA那么ODOFOCOA AF/CD 点评：此题是采用的是“公比过渡的方法来解决问题的，“公比是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比，有时公比是采用乘积式的形式。例 4 如图

8、 8 梯形 ABCD 中，AB/CD，M 为 AB 的中点，分别连结 AB、BD、MD、MC，且 AC 与 MD 交于E，DB 与 MC 交于 F，求证 EF/CD 分析：要证EF/CD，可根据三角形一边平行线的判定定理证明，首先观察 EF、CD 截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。证明：AB/CD EMDEAMCD，FMCFMBCD又 AM=BM FMCFEMDEEF/CD 点评利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：1首先观察欲证平行线截哪个三角形2再观察它们截这个三角形的哪两边3最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可当中有相等线段时，常利用它们和同

9、一条线段或其它相等线段的比作为中间比例 5 如图 9，,CBA分别在 ABC 的三边 BC、AC、AB 上或其延长线上，且CCBBAA/图7COBAFDED图8CMAEFB图9ACBACB|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 3 页，共 6 页-.-.word.zl.FC图11BDEAMN 求证：CCBBAA111分析所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，一般情况下，要将其转化为线段比的形式。证明：AACC/BACBAACCBBCC/ABCABBCC1ABCACBABCABACBBBCCAACCCCBBAA111点评对于线段倒数

10、和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角形有关性质进展求解，如此题中，要证CCBBAA111，只需证1BBCCAACC，即将倒数和的形式化为线段比的形式。例 6 如图 10 四边形 ABCD 中，BAD 的平分线交BD 于 E，EF/CD交 BC 于 F，求证：1ABADBFBC分析结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比，再进展减法运算。证明：AE 平分 BAD BEDEABAD在 BCD 中 EF/CD BFCBBEDB得1BEDEBEDBABADBFBC1ABADBFBC例 7 如图 11，AD 为 ABC 的角平线，BFAD 的延长线于F，AM A

11、D 于 A 交 BC 的延长线于M，FC 的延长线交AM 于 E，求证：AE=EM 分析要证 AE=EM，可利用比例缎来证明，而由BFAF，可延长 BF 交 AC 延于 N，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质有BF=FN，再由 BN/AM，得比例线段，即可得出结论。证明：延长 BF 交 AC 的延长线于N AF BF BFA=NFA=900又 BAF=NAF，AF=AF ABF ANF BF=NF BFAF AM AF BF/AM ECFCEMBF，CEFCAEENAEFNEMBF又 BF=FN EM=AE 点评 1有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题2利用

12、比例证明线段相等主要有以下形式baba1cabcbacadbdcbadbcadcba例 8 如图 12 把线段 AB 分成 2：3 两局部分析利用平行线分线段成比例定理作图作法；1.以点 A 为端点，作射线AM 2.在 AM 上顺次截 AD=2a，DE=3a a为任意长F图10CBEAD图122aADC3aBEMEAD|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 4 页，共 6 页-.-.word.zl.NEFADBC（第13题（2）M（第13题（2）ADEFCBMN3.连结 BE，过点 D 作 DC/BE交 AB 于 C，那么点C 即为所求练

13、习与测试 1 如图 ABC 中，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE/BC，EF/AB，AD=9，EF=6，CF=5，那么 BF=2 直线 DE 分别交 ABC 的边 AB、AC 于点 D、E，且 AD=4cm，AE=6cm、AB=12cm，AC=那么 DE/BC 3 如图 DE/BC 32DBAD，那么ECAC=BCDE4如图在ABCD 中，E 在 AD 上，且 4AE=5DE，CE 交 BD 于 F，那么DFBF5 如图，梯形ABCD 中，AD/BC，对角线AC、BD 相交于 O，CE/AB交 BD 的延长线于E，假设 OB=6，OD=3，那么 DE=6 如图，DC/EF/G

14、H/AB，AB=30，CD=6，且 DE：EG：GA=1：2：3，那么 EF=GH=7如图，在ABCD 中，O1、O2、O3分别为对角线BD 上三点，且 BO1=O1O2=O2O3=O3D，连结 AO1，并延长交BC 于 E，连结 EO3，并延长交AD 于点 F，那么 AD：FD=8 图，GBAFll52,/21，BC=4CD，假设 AE=kEC，那么 k=9 如图，CD 是 ABC 的角平分线，点 E 在 AC 上，52ACAEABAD，AC=10，求 DE 10 如图，CD 是 ABC 中，E 为 AC 的中点，D 为 BC 上的点，且BD=AB，求证：GDAGABBC11，C 是线段 A

15、B 上一点，分别以AC、BC 为边，在 AB 的同侧作两个等边三角形ACD 和 BCE，AE 交 CD 于 F，BD 交 CG 于 G，求证 FG/AB 12，BD 为 ABC 的角平分线，DE/BC，交 AB 于 E，求证：DEBCAB11113，如图 1，梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别在 AB、CD 上，且 EF/BC，EF 分别交 BD、AC 于 M、N。求证 ME=NF 当 EF 向上平移图2各个位置其他条件不变时，(第1题)BDCFEA(第4题)BAFCEDDABO(第5题)CE(第6题)GACEBHFD(第7题)EOB1A2OCOF3DECG(第8题)BFADl2l1

16、(第9题)BDCEAADEBCG(第10题)DAEFNMBC(第13题（1）)（第13题（2）ADBC（N）MEF|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 5 页，共 6 页-.-.word.zl.的结论是否成立，请证明你的判断。练习与测试参考解答或提示 1215；218cm；352,35；4 9：4；59；610，18；79：1；82；96 10提示，过D 作 DH/AC交 BG 于 H 点，那么DHAEGDAG，DHECBDBC，又 AE=EC，BD=AB，即可得结论。11略证，由 DCA=EBA=600，有 CD/BE，那么CGEGCDBE，同理ADCEAFEF，而 EB=CE，CD=AD，那么AFEFCGEG，所以 FG/AB 12略证，由DE/BC，有 EDB=DBC，ABAEBCDE，又 ABC=DBC，所以 EDB=ABD，那么BE=DE，所以1ABABABAEABBEBCDEABDE13由 AD/EF/BC，有ADNFCDCFABBEADEM，EM=NF 仍成立，证明同。|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 6 页，共 6 页