2022年排列组合问题经典题型与通用方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 排列组合问题经典题型与通用方法解析版1. 相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. ）3600例 1.A B C D E 五人并排站成一排,假如A B 必需相邻且 B 在 A 的右边,就不同的排法有（A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析：把A B 视为一人,且B 固定在 A的右边,就此题相当于4 人的全排列,4 A 424种,答案： D . 2. 相离问题插空排: 元素相离（即不相邻）问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七

2、人并排站成一行,假如甲乙两个必需不相邻,那么不同的排法种数是（）A、1440 种B、3600 种C、 4820 种D、4800 种解析：除甲乙外, 其余 5 个排列数为5 A 种,再用甲乙去插6 个空位有2 A 种,不同的排法种数是5 2A A 6种,选 B . 3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必需保持肯定的次序,可用缩小倍数的方法 . 例 3. A B C D E 五人并排站成一排,假如 B 必需站在 A 的右边（A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以

3、题设的排法只是5 个元素全排列数的一半,即1 A 5 560 种,选 B . 24. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,其次步再排另一个元素,如此连续下去,依次即可完成 . 例 4.将数字 1,2,3,4 填入标号为 填数字均不相同的填法有（）1, 2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,就每个方格的标号与所A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种解析：先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,其次步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法；第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3 3 1=9 种填法,选 B . 5. 有

4、序安排问题逐分法 : 有序安排问题指把元素分成如干组,可用逐步下量分组法 . 例 5.（1）有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务,不同的选法种数是（）A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第三步从另外的 7 人2 1 1中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C C C 7 2520 种,选 C . （ 2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,如每个路口4 人,就不同的安排方案有（）A、4 4 4C

5、C C 种B、4 4 43C C C 种C、4 4 3C C A 种D、4 4 4C C C 4种3 A 3答案： A . 6. 全员安排问题分组法: 例 6.（1）4 名优秀同学全部保送到3 所学校去,每所学校至少去一名,就不同的保送方案有多少种？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：把四名同学分成3 组有2 C 种方法,再把三组同学安排到三所学校有3 A 种,故共有2 3C A 336种方法. 说明：安排的元素多于对象且每一对象都有元素安排经常用先分组再安排 . （ 2）5 本不同的书,全部分给 4 个同学,每

6、个同学至少一本,不同的分法种数为（）A、480 种 B、240 种 C、 120 种 D、 96 种答案： B . 7. 名额安排问题隔板法 : 例 7：10 个三好同学名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同安排方案？解析： 10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至少一个,可以在610 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种安排方案,故共有不同的安排方案为 C 9 84种. 8. 限制条件的安排问题分类法: 4 人分别到西部四城市参与中国西部经济开发建设,其中甲同学例 8.某高校从某系的10 名优秀毕

7、业生中选不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案？解析：由于甲乙有限制条件,所以依据是否含有甲乙来分类,有以下四种情形：4如甲乙都不参与,就有派遣方案 A 种；如甲参与而乙不参与,先支配甲有 3 种方法,然后支配其余学3 3 3生有 A 方法,所以共有 3A ；如乙参与而甲不参与同理也有 3A 种；如甲乙都参与,就先支配甲乙,2 2有 7 种方法,然后再支配其余 8 人到另外两个城市有 A 种,共有 7A 方法 . 所以共有不同的派遣方法总数为 A 8 43 A 8 33 A 8 37 A 8 24088 种. 9. 多元问题分类法：元素多,取出的情形也多种,可按结果要求分成不相容的几类情

8、形分别计数,最终总计. 例 9（1）由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有（,）A、210 种B、300 种C、 464 种D、 600 种1 3A A 3解析：按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4 共 5 种情形,分别有5 A 个,1 1 3A A A 3,1 1 3A A A 3,1 1 3A A A 3个,合并总计300 个, 选 B. （ 2）从 1,2,3 , 100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除,这两个数的取法（不计次序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就能被

9、 7 整除,将这 100 个数组成的集合视为全集 I, 能被 7 整除的数的集合记做 A 7,14,21, 98 共有 14 个元素 , 不能被 7 整除的数组成的集合记2做 A 1,2,3,4, ,100 共有 86 个元素； 由此可知, 从 A 中任取 2 个元素的取法有 C 14,从 A 中任取一个,1 1 2 1 1又从 A 中任取一个共有 C C 86,两种情形共符合要求的取法有 C 14 C C 86 1295 种. （ 3）从 1,2,3, ,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法 （不计次序） 有多少种？解析：将 I 1,2,3 ,100 分成四个不相

10、交的子集,能被 4 整除的数集 A 4,8,12, 100；能被 4 除余1 的 数 集 B 1, 5, 9, 97, 能 被 4 除 余 2 的 数 集 C 2,6, ,98, 能 被 4 除 余 3 的 数 集D 3,7,11, 99,易见这四个集合中每一个有 25 个元素； 从 A中任取两个数符合要；从 B D 中各取一个数也符合要求；从 C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有2 1 1 2C 25 C C 25 C 25 种. 10. 交 叉 问 题 集 合 法 ： 某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 , 可 用 集 合

11、 中 求 元 素 个 数 公 式n A B n A n B n A B 例 10. 从 6 名运动员中选出 4 人参与 4 100 米接力赛,假如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 =6 人中任取 4 人参赛的排列 ,A=甲跑第一棒的排列 ,B=乙跑第四棒的排列 ,依据求名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 集合元素个数的公式得参赛方法共有：n I n A n B n A B 4 A 63 A 53 A 52 A 4252种. 1 4A A 47211. 定位问题优先法：某个或几个元素要排

12、在指定位置,可先排这个或几个元素；再排其它的元素；例 11.现 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,如老师不站两端就有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有1 A 种,4 名同学在其余4 个位置上有4 A 种方法；所以共有种； . 12. 多排问题单排法 : 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理；例 12. （1）6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是（）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种6解析：前后两排可看成一排的两段,因此此题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 A 6 720 种,选 C .

13、（ 2）8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素, 其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在后排,有多少种不同排法？解析：看成一排,某2 个元素在前半段四个位置中选排2 个,有2 A 种,某 1 个元素排在后半段的四个位置. 中选一个有1 A 种,其余 5 个元素任排5 个位置上有5 A 种,故共有1 2 5A A A 55760种排法 . 13. “ 至少” “ 至多” 问题用间接排除法或分类法: 例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,就不同的取法共有 （）A、140 种B、 80 种C、 70 种D、 35 种解析 1：

14、逆向摸索,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有3 C 9C3C370种, 选. C45解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情形：甲型1 台乙型 2 台；甲型2 台乙型 1 台；故不同的取法有2 1C C 41 C C270台, 选 C . 414. 选排问题先取后排: 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再支配到肯定的位置上,可用先取后排法例 14. （1）四个不同球放入编号为1,2,3,4 的四个盒中,就恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有2 C 种,再排：在四个盒中每次排3 个有3 A 种,故共

15、有2 3C A 4144种. （ 2）9 名乒乓球运动员,其中男5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2 名,有2 2C C 种,这四名运动员混和双打练习有2 A 中排法,故共有2 2 2C C A 2120种. 15. 部分合条件问题排除法 : 在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为 所求 . 名师归纳总结 例 15. （1）以正方体的顶点为顶点的四周体共有（）第 3 页,共 5 页A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种解析：正方体8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成4 C 四周体,但6 个表面和

16、6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四周体,所以四周体实际共有C41258个. 8（ 2）四周体的顶点和各棱中点共10 点,在其中取4 个不共面的点,不同的取法共有（）A、150 种B、147 种C、144 种D、141 种解析： 10 个点中任取4 个点共有4 C 10种,其中四点共面的有三种情形：在四周体的四个面上,每面内四点共面的情形为4 C ,四个面共有4 4C 个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6 个. 所以四点不共面的情形的种数是4 C 104 C436141种. 6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

17、 16. 圆排问题单排法: 把 n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,次序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列,而次序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的,它与一般排列的区分在n于只计次序而首位、末位之分,以下n 个一般排列：a a a 3,a a a a 4,a n,;a a 1 ,a n1在圆排列中只算一种,由于旋转后可以重合,故认为相同,个元素的圆排列数有n.种 . 因此可将某个元素固定展成单排,其它的n1元素全排列 . n例 16. 有 5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法？4解析：第一可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A 种,然后在让插入

18、其间,每位均可插入其姐姐的左边和5右边,有 2 种方式,故不同的支配方式 24 2 768 种不同站法 . 说明：从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1A n m 种不同排法 . m17. 可重复的排列求幂法 : 答应重复排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m 种方法 . n例 17. 把 6 名实习生安排到 7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分 6 步,第一步；将第一名实习生安排到车间有 7 种不同方案,其次步：将其次名实习生安排到车间也有 7 种不同方案,依次类推,

19、由分步计数原理知共有 7 种不同方案 . 618. 复杂排列组合问题构造模型法 : 例 18. 公路上有编号为 1,2,3 , 9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满意条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型,在6 盏亮灯的5 个间隙中插入3 盏不亮的灯3 C 种方法 , 所以满意条件的关灯方案有10 种. 说明：一些不易懂得的排列组合题,假如能转化为熟识的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题简洁解决 . 19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 1,2,3,4,5 的盒子现将这5 个球投入 5 个盒子例 19.

20、设有编号为1,2,3,4,5 的五个球和编号为要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法？2解析： 从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C 种,仍剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,利用枚举法分析,假如剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时, 3 号球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子时, 4,5号球只有 1 种装法, 3 号球装入 5 号盒子时, 4,5 号球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因2此总共装法数为 2 C 5 20 种. 20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法 : 例 20. （1）3

21、0030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=2 3 5 7 11 13；依题意偶因数2 必取, 3,5,7,11,13 这 5 个因数中任取如干个组成成积,全部的偶因数为0 C 5C1C23 C 5C45 C 532个. 555（ 2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：由于四周体中仅有3 对异面直线,可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成多少个不同的四周体,3从正方体8 个顶点中任取四个顶点构成的四周体有C41258个,所以8 个顶点可连成的异面直线有8 58=174 对. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页

22、精选学习资料 - - - - - - - - - 21. 利用对应思想转化法 : 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简洁问题处理 . 例 21. （1）圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：由于圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交4于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形,明显有 C 10 个,所4以圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 C 10 个. （ 2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示公路,从 A 到 B 的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必需走 7 小段,其中：向东 4 段,向北 3 段；名师归纳总结 而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过4 段的走法, 便能确定路径, 因此不同走法有4 C 种. 第 5 页,共 5 页- - - - - - -