4—4.3直线的参数方程教学文案.pdf

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1、此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用44.3 直线的参数方程【学习目标】1能选择适当的参数写出直线的参数方程2.会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1.直线参数方程的标准形式：经过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为：00cossinxxtyyt（t为参数）；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2.参数t的几何意义：参数t表示直线l上以定点0M为起点，任意一点 M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0|M Mtuuuuuu r，|t表示直线上任一点M到定点0M的距离。当点M在0M上方时，0

2、t；当点M在0M下方时，0t；当点M与0M重合时，0t；要点注释：若直线l的倾角0时，直线l的参数方程为00yytxx.要点二、直线的参数方程的一般形式过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tg=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t为参数)在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，t 表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b21，则动点 P 到定点 P0的距离是22ba t.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为、过点M0(00,yx)直线l参数方程的一般式为，.btyyatxx00（t 为参数），斜率为abtgk(1

3、)当22ba1 时，则 t 的几何意义是有向线段MM0的数量.(2)当22ba1 时，则 t 不具有上述的几何意义.btyyatxx00可化为)()(2222022220tbababyytbabaaxx令 t=tba22则可得到标准式tbabyytbaaxx220220 t的几何意义是有向线段MM0的数量.要点四、直线参数方程的应用1.直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点 P0(x0,y0),倾斜角为的直线l 的参数方程是atyyatxxsincos00（t 为参数）若 P1、P2是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则（1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1c

4、os,y0+t1sin)，(x0+t2cos,y0+t2sin)；(2)P1P2=t1-t2;(3)线段 P1P2的中点 P所对应的参数为t，则 t=221tt中点 P 到定点 P0的距离 PP0=t=221tt(4)若 P0为线段 P1P2的中点，则t1+t2=0.2.用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2 表示。一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2 符号相反，故|AB|=|t1-t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来

5、解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数12=2ttt中；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0.这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若 F 为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2.则|FP|FQ|=|t1 t2|，由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程学习资料总结-名师归纳

6、欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 1 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程例 1.（2016 春福州校级期中）直线-cos203sin 20 xtyt（t 为参数）的倾斜角是（）A 20B.70C.110D.160【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。【答案】D【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角把参数方程改写成-cos20-3sin20 xtyt，消去 t，有-3-tan20=tan160yxx，即tan160+3yx，所以直线的倾斜角为160第二种方法：化

7、参数方程为直线的标准参数方程cos1603sin160 xtyt，所以直线的倾斜角为160，选 D【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如2cos204sin 20 xtyt（t 为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。举一反三：【变式 1】已知直线l的参数方程为232xtyt（t 为参数），求直线l的倾斜角【答案】关键是将已知的参数方程化为0cos0sinxxtyyt的形式。若化成另一种形式32(2)212(2)2xtyt，若 2t 为一个参数，则3cos21

8、sin2，在0,)内无解；而化成32(2)212(2)2xtyt时，则3cos21sin2得56故直线l的倾斜角为56【变式 2】求直线34()45xttyt为参数的斜率。【答案】3434()4545xtxttytyt为参数455344ytkxt【变式 3】为锐角，直线31cos()232sin()2xtyt的倾斜角（）。A、B、2 C、2 D、23【答案】31cos()232sin()2xtyt，相除得23tan()tan()122yx，),2(2，倾角为2，选 C。【变式 4】已知直线1l的参数方程为1214xtyt，2l的参数方程为1252xtyt试判断1l与2l的位置关系【答案】解法一

9、：将直线1l化为普通方程，得y=2x+1，将2l化为普通方程，得122yx因为121212kk，所以两直线垂直解法二：由参数方程可知1l的方向向量是a1=（2，4），2l的方向向量是a2=（2，1），又 22+4(1)=0，12ll即两条直线垂直学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 2 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用例 2设直线的参数方程为53104xtyt（1）求直线的直角坐标方程；（2）化参数方程为标准形式【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t 的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y 值中t 的系数一定

10、为正【解析】（1）把53xt代入 y 的表达式，得4(5)103xy，化简得 4x+3y 50=0所以直线的直角坐标方程为4x+3y50=0（2）把方程变形为22222222335345(5)53444103410(5)534xttytt，令 u=5t，则方程变为3554105xuyu记3cos5，4sin5，直线参数方程的标准形式是：5cos10sinxuyu【总结升华】已知直线的参数方程为00 xxatyybt（t 为参数），由直线的参数方程的标准形式00cossinxxtyyt可知参数t 前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为2202222022axx

11、ab tabbyyab tab再令22cosaab，22sinbab，由直线倾斜角的范围，使在0，）范围内取值，并且把22ab t看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为00cossinxxtyyt（t 为参数）由上述过程可知，一般参数方程中的22ab t具有标准形式参数方程中参数t 的几何意义。举一反三：【变式1】写出经过点M0（2，3），倾斜角为43的直线l的标准参数方程，并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标.【答案】直线l的标准参数方程为43sin343cos2tytx即tytx223222（t 为参数）（1）设直线l上与已知点M0相距为 2 的点为 M 点，且 M 点对应的

12、参数为t,则|M0M|t|=2,t=2 将 t 的值代入(1)式当 t=2 时，M 点在M0点的上方，其坐标为（22，32）；当 t=-2 时，M 点在M0点的下方，其坐标为（22，32）.【变式 2】直线的参数方程 t331ytx能否化为标准形式？【答案】是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)t331ytx)3(1()3(133)3(1()3(11122222222tytx令 t=t22)3(1得到直线l参数方程的标准形式t233211ytxt 的几何意义是有向线段MM0的数量.【变式 3】化直线1l的普通方程13yx 0 为参数方程，并说明参数的几何意义,说明 t的几何

13、意义.【答案】令y=0,得x1，直线1l过定点(1,0).k31=33设倾斜角为，tg=33,=65,cos=23,sin=211l的参数方程为tytx21231（t 为参数）t 是直线1l上定点 M0（1，0）到 t 对应的点M(yx,)的有向线段MM0的数量.由(2)21(1)231tytx(1)、(2)两式平方相加,得222)1(tyxt22)1(yx t是定点M0（1，0）到 t 对应的点M(yx,)的有向线段MM0的长.学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 3 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用类型二、直线的标准参数方程的初步应

14、用例 3 设直线1l过点 A（2，4），倾斜角为56（1）求1l的参数方程；（2）设直线2:10lxy，2l与1l的交点为 B，求点 B 与点 A 的距离【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求较容易.【解析】（1）直线的参数方程为52cos654sin6xtyt，即322142xtyt（t 为参数）（2）如图所示，B点在1l上，只要求出B 点对应的参数值t，则|t|就是 B 到 A 的距离把1l的参数方程代入2l的方程中，得31241022tt，3172t，147(31)31t由 t 为正值，知|7(

15、31)AB【总结升华】（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点举一反三：【变式 1】已知直线113:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_。【答案】52。将1324xtyt代入245xy得12t，则5(,0)2B，而(1,2)A，得52AB【变式 2】已知直线l1过点 P(2，0)，斜率为34(1)求直线 l1的参数方程；(2)若直线 l2

16、的方程为x y50，且满足 l1 l2Q，求|PQ|的值【答案】(1)设直线的倾斜角为，由题意知tan 34，所以 sin 54，cos 53，故 l1的参数方程为tytx54532(t 为参数)(2)将tytx54532代入 l2的方程得：253t54t50，解得 t 5，即 Q(1，4)，所以|PQ|5【变式 3】求点 A（-1，-2）关于直线l：2x-3 y+1=0的对称点A 的坐标。【答案】由条件，设直线AA 的参数方程为x=-1-213t，y=-2+313t(t 是参数)，A 到直线 l 的距离 d=513，t=AA=1013，代入直线的参数方程得A(-3313，413)。【变式 4

17、】已知直线l过点 P（3，2），且与 x轴和 y 轴的正半轴分别交于A、B 两点，求|PA|PB|的值为最小时的直线l的方程【答案】设直线的倾斜角为，则它的参数方程为3cos2sinxtyt（t 为参数）由 A、B分别是 x 轴、y 轴上的点知yA=0，xB=0，0=2+t sin，即2|sinPAt；0=3+t cos，即3|cosPBt故2312|sincossin 2PAPB90180，当 2=270，即=135时，|PA|PB|有最小值学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 4 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用直线方程为23222

18、2xtyt（t 为参数），化为普通方程为x+y5=0类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用例 4.经过点33,2A，倾斜角为的直线l与圆 x2+y2=25 相交于 B、C两点（1）求弦 BC的长；（2）当 A 恰为 BC的中点时，求直线BC的方程；（3）当|BC|=8 时，求直线BC的方程；（4）当变化时，求动弦BC的中点 M 的轨迹方程【思路点拨】本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算【解析】取AP=t 为参数（P为l上的动点），则l的参数方程为3c

19、os3sin2xtyt，代入 x2+y2=25，整理得2553(2cossin)04tt=9(2cos+sin)2+550 恒成立方程必有相异两实根t1、t2，且 t1+t2=3(2cos+sin），12554tt（1）2212121 2|()49(2cossin)55BCttttt t（2）A 为 BC中点，t1+t2=0，即 2cos+sin=0，tan=2 故直线 BC的方程为32(3)2yx，即 4x+2y+15=0（3）2|9(2cossin)558BC，(2cos+sin)2=1，cos=0 或3tan4直线 BC的方程是 x=3 或 3x+4y+15=0（4）BC的中点 M 对应

20、的参数是123(2cossin)22ttt，点 M 的轨迹方程为33sin(2cossin)233sin(2cossin)22xy(0)，331cos2sin 2222331sin 2cos2422xy2233452416xy即点 M 的轨迹是以33,24为圆心，以3 54为半径的圆【总结升华】利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便举一反三：【变式 1】直线112()33 32xttyt为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为（）A(3,3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)【答案】D 2213(1)(3 3)1622

21、tt，得2880tt，12128,42tttt中点为11432333 342xxyy【变式 2】求直线23xtyt（t为参数）被双曲线221xy截得的弦长。【答案】把直线参数方程化为标准参数方程为参数）（23212ttytx学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 5 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用12321212222ttyx，得：代入0642tt整理，得：，则，设其二根为21tt642121tttt，10240644422122121ttttttAB从而弦长为【变式3】过点 P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线1,()1xtttyt

22、t为参数相交于A、B 两点，求线段AB的长【答案】直线的参数方程为332(12xssys为参数）曲线1(1xtttytt为参数）可以化为224xy将直线的参数方程代入上式，得26 3100ss设 A、B对应的参数分别为12ss，12126 310sss s，AB212121 2()4ssssss2 17例 5（2016 鞍山一模）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为=4cos，直线 l 的方程为（t 为参数），直线 l 与曲线 C 的公共点为T（1）求点 T 的极坐标；（2）过点 T 作直线 l1，若 l1被曲线 C 截得的线段长为2，求直线l

23、1的极坐标方程【解析】（1）曲线 C 的直角坐标方程为x24x+y2=0将代入上式并整理得解得点 T 的坐标为其极坐标为（5 分）（2）设直线 l的方程为由（）得曲线C 是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l的距离为则，解得 k=0，或直线 l的方程为，或其极坐标方程为（R）举一反三：【变式 1】已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积。【答案】（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,

24、(31)2022tttt1 22t t，则点P到,A B两点的距离之积为2【变式 2】（2016 杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为=4cos（）求圆C 的直角坐标方程；（）设圆C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|【解析】（I）=4cos，2=4 cos，圆 C 的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（II）设点 A、B 对应的参数分别为t1，t2，将代入（x2）2+y2=4 整理

25、得，即 t1，t2异号|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 6 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用【变式 3】设 M、N是抛物线 y2=2px(p0)的对称轴上的相异两点，且|OM|=|ON|（O为坐标轴原点），过M、N作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P1、P2两点和 Q1、Q2两点.求证：|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|【答案】设点M、N的坐标为 M(a，0)，N(-a，0)(a0)，两平行线P1P2，Q1Q2的倾角为，则直线 P1P2的标准参数方程为cos()sinxat

26、tyt为参数代入抛物线方程y2=2px，得 t2sin2-2ptcos -2pa=0 由 t 的几何意义得同理 Q1Q2的参数方程为cos()sinxaty为参数得121222sinpaNQNQg|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|【巩固练习】一、选择题1下列可以作为直线2xy+1=0 的参数方程的是（）A13xtyt（t 为参数）B152xtyt（t 为参数）C132xtyt（t 为参数）D525555xtyt（t 为参数）2.（2016 春吉安期末）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l1：x-2y-1=0 和直线 l2：2-1xatyt(t 为参数)平行，则常数 a 的值为（）A.4 B

27、.0 C.2 D.-4 3曲线25()12xttyt为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,)(,0)52、B11(0,)(,0)52、C(0,4)(8,0)、D 5(0,)(8,0)9、4直线的参数方程为7cos276sin1tytx（t 为参数），则它的倾角为（）.A145 B76 C 7 D1495直线231xtyt（t 为参数）上对应t=0，t=1 两点间的距离是（）A1 B10 C10 D2 26直线tytx32(t为参数)上与点A(2，3)的距离等于1 的点的坐标是()A(1，2)或(3，4)B(2 2，32)或(2 2，32)C(2 22，322)或(2 22，322)D(0，1)

28、或(4，5)7（2016 春沈阳校级期末）直线2-1+1xtyt(t 为参数)被圆 x2+y2=9 截得的弦长等于（）A.125B.12 55C.925D.9 105二、填空题8.直线3()14xattyt为参数过定点 _.9.直线22()32xttyt为参数上与点(2,3)A的距离等于2的点的坐标是 _.10 直线1l的参数方程为1sin71cos7xtyt，直线2l的极坐标方程为cos24，则1l与2l的夹角为 _11（2015 湖北模拟）在直角坐标系中，参数方程为（t 为参数）的直线l，被以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为=2cos 的曲线 C 所截，则截得的弦长是三、解答

29、题学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 7 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用12.已知直线l过点 M0（1，3），倾斜角为3，判断方程tytx233211（t 为参数）和方程 t331ytx（t 为参数）是否为直线l的参数方程？如果是直线l的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.13.已知直线l经过点 P（1,33）,倾斜角为3，(1)求直线l与直线l：32xy的交点 Q与 P点的距离|PQ|；(2)求直线l和圆22yx16 的两个交点A，B与 P点的距离之积.14.设抛物线过两点A(1,6)和 B(1,2

30、)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线 y=2x+7 被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.15.（2015 锦州一模）已知直线l 经过点 P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点A，B，求点 P到 A，B 两点的距离之积【答案与解析】1【答案】C【解析】题目所给的直线的斜率为2，选项 A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可以排除A、D两项；B、C 两若中直线斜率均为2，但 B项中直线的普通方程为2xy+3=0，故选 C。2.【答案】A【解析】直线l2的普通方程为2x-ay-a=0，因为直线l1的斜率为11k=2，直线

31、 l2的斜率为22k=a，所以12=2a，解得 a=4，故选 A。3【答案】B 【解析】当0 x时，25t，而12yt，即15y，得与y轴的交点为1(0,)5；当0y时，12t，而25xt，即12x，得与x轴的交点为1(,0)24【答案】D；【解析】由题)72tan(7cot76sin7cos12tanxy,因0,故914,应选.5【答案】B 【解析】因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数 t 不个有几何意义，故不能直接由10=1 来求距离，应将t=0，t=1分别代入方程得到两点坐标（2，1）和（5，0），由两点间距离公式来求出距离，即22(25)(10)10。6【答案】C 【解析】由(

32、t)2(t)212，t227【答案】B【解析】直线的普通方程为x-2y+3=0，圆的圆心为（0,0），半径为 r=3，所以圆心到直线的距离33 5d=55，弦长为2212 52 r-d=5，故选 B。8【答案】(3,1)；【解析】143yxa，(1)4120yax对于任何a都成立，则3,1xy且9【答案】(3,4),或(1,2)；【解析】222212(2)(2)(2),22tttt10【答案】328【解析】直线1l的参数方程可化为591cos1()cos1414591sin1()sin1414xttytt。其倾斜角为914。直线2l的倾斜角为34。1l与2l的夹角为93314428。11.【答

33、案】【解析】由题意知，直线l 的倾斜角为30，并过点 A（2，0）；曲线 C 是以（1，0）为圆心、半径为1 的圆，且圆 C 也过点 A（2，0）；设直线l 与圆 C 的另一个交点为B，在 RtOAB 中，12.【解析】由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l的的普通方程0333yx，所以，以上两个方程都是直线l的参数方程，其中tytx233211 cos=21,sin=23，是标准形式，参数t 是有向线段MM0的数量.，而方程 t331ytx是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 8 页，共 9 页 -此文档来源于网络，如有

34、侵权请联系网站删除只供学习交流用13.【解析】(1)直线l经过点 P（1,33）,倾斜角为3,直线l的标准参数方程为3sin333cos1tytx，即tytx2333211（t 为参数）代入直线l：32xy得032)2333()211(tt整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l与直线l的交点 Q所对应的参数值，根据参数t 的几何意义可知：|t|=|PQ|,|PQ|=4+23.(2)把直线l的标准参数方程为tytx2333211（t 为参数）代入圆的方程22yx16，得16)2333()211(22tt,整理得：t28t+12=0，=82-4 120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则

35、 t1t2=12 根据参数 t 的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆22yx16 的两个交点A,B 所对应的参数值，则|t1|=|PA|,|t2|=|PB|,所以|PA|PB|=|t1 t2|=12 14.【解析】由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a，2）方程为(y 2)2=2P(x a)(P0)点 B(1,2)在抛物线上，(22)2=2P(1a)aP=8P 代入得(y 2)2=2Px2P+16 将直线方程y=2x+7化为标准的参数方程tg=2,为锐角，cos=51,sin=52得tytx525511（t 为参数）直线与抛物线相交于A，B,将代入并化简得：75212542tPt0，由=355)6(42P0,可设方程的两根为t1、t2，又|AB|=t 2t 1222114)(tttt41043544)212(52P=(410)2化简，得(6 P)2=100 P=16 或 P=-4(舍去)所求的抛物线方程为(y 2)2=32x48 15.【解析】（1）直线的参数方程为，即（2）把直线代入 x2+y2=4，得，t1t2=2，则点 P 到 A，B 两点的距离之积为2学习资料总结-名师归纳欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 9 页，共 9 页 -