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28.计数方法(含答案)-(精品文档)_共8页.pdf

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1、-1-28.计数方法知识纵横所谓计数,通俗地说就是数数,即把我们研究的对象的个数数出来.当研究的对象比较简单,且数目也不大时,枚举法是最基本而又简单的方法,即把对象的所有可能一一列举出来,数出总数即可.当研究的对象比较复杂,且数目较大时,计数时常常要用到如下两原理:加法原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第 n 类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法.乘法原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有 m2种不同的方法做第 n 步有 mn种不同

2、的方法,那么完成这件事共有N=m1 m2 mn种不同的方法.例题求解【例 1】如图,从甲地到乙地共有4 条路可走,从乙地到丙地有 3 条路可走,从甲地到丙地有5 条路可走,那么从甲地到丙地共有 _条.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨从甲地到丙地可分两类办法:直达和转乙地.解:17 提示:共有 34+5=17(条)路可走【例 2】右图中的小方格是边长为1 的正方形,则从图中一共可以数出()个正方形.A.24 B.210 C.50 D.90 (2001 年“五羊杯”邀请赛题)思路点拨图中的正方形可以分成边长为1,边长为2,边长为 3,边长为 4 这 4 种类型,分别求出每种规格的正方形个数.解:

3、选 C 提示:边长为 1的正方形为46 个,边长为 2 的正方形有35 个,边长为 3的正方形有24 个,边长为 4 的正方形有13 个,共有 46+35+24+13=50(个)【例 3】我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?一般地,n 条直线最多有多少个交点?说明理由.思路点拨从特殊情况入手,由简到繁,深入思考,从中发现规律.解:提示:三条直线的情形:若平面上已有两条直线,再添一条直线,则这条直线和原来平面上的两条直线各有一个交点,所以有 1+2 个交点,同理,4 条直线的情形为在原来三条直线的基础上添加一条直线,共多

4、出 3 个交点,所以有 1+2+3 个交点.一般地,n 条直线丙乙甲精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 1 页，共 8 页 -2-Bn+1Bi+1BiAn+1An两两相交,其交点数为1+2+(n-1)=个.(1)2n n【例 4】由 0、1、2、3、4、5、6 这 7 个数字,可以组成 (1)多少个四位数,其中有多少个奇数,有多少个偶数?(2)多少个没有重复数字的四位数,其中有多少个奇数,有多少个偶数?思路点拨要确定四位数,必须一位一位来考虑,显然计数时,需要用乘法原理,(2)问与(1)问的差别在于,增加了“没有重复”的限制.解:提示:(1)这个四位数的最高位不是0,故最高位有6 种选

5、法(即选 16中的任一个数字),其余各位,可以从 06 这 7 个数字中任选,故共有 6777=2058 个四位数,在这些四位数中,奇数的个数也可用类似方法获得,有 6773=882个,偶数2058-882=1176个.(2)同理,没有重复数字的四位数有6654=720 个,其中奇数有3554=300个,其中偶数有720-300=420 个.【例 5】两条平行直线上各有n 个点,用这 n 对点按如下规则连接线段:同一直线上的点之间不连接,连接的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其他的交点.(1)画图说明当n=1,2,3时,连接的线段最多各有多少米?(2)由(1)猜想 n(n 为正整数)对点

6、之间连接的线段最多有多少条,证明你的结论;(3)当 n=2003 时,所连接的线段最多有多少条?(第 14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨把直线标记为L1,L2,它们上面的点从左到右分别为A1,A2,A3,An和B1,B2,B3,Bn,设这 n 对点之间连接的直线段最多有pn条,解题的关键是探讨pn+1与 pn的关系.解:(1)由下图可以看出,n=1 时,最多可以连接1 条线段,n=2 时,最多可以连接3条线段,n=3 时,最多可以连接5 条线段.n=1n=2n=3图图(2)猜想:对于正整数n,这 n 对点之间连接的直线段最多有2n-1 条.证明:将直线标记为L1、L2,它们上面的点从左到右排

7、列分别为A1,A2,A3,An和B1,B2,B3,Bn,设这 n 对点之间连接的直线段最多有Pn条,显然,其中必有 AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.当在 L1、L2上分别加上第n+1 个点时,不妨设这两个点在An与 Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn条直线段外,还可以连接An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连接AnBn+1,An+1Bn+1这两条线段.所以 Pn+1Pn+2,另一方面,设对于 n+1 对点有另一种连法:考虑图中以An+1为端点的线段,若以 An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个 in,使得对于任意的ji,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,B

8、i+1,Bi+2,Bn+1只能精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 2 页，共 8 页 -文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 Z

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14、K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2

15、F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10-3-与 An+1连接,不妨设 An+1Bi+1,An+1Bi+2,An+1Bn+1都已连接,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作:去掉 An+1Bi,连接 AnBi+1,得到新的连接图,而新的连接图满足要求且线段总数不变,将此操作一直进行下去,直到与 An+1连接的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点 Bn+1相关的线段只剩两条,即 AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余 Pn+1-2 条线段,而图形恰是n对点的连接图,所以 Pn+1-2P

16、n.由此我们得到Pn+1=Pn+2,而 P1=1,P2=3,所以 Pn=1+2(n-1)=2n-1.(3)当 n=2003 时,P2003=4005(条).学力训练一、基础夯实1.第一个口袋中装2 个球,第二个口袋中装4 个球,第三个口袋中装5 个球,所有三个口袋中的球各不相同.(1)从口袋中任取一个球,共有 _种不同的取法.(2)从三个口袋中各取一个球,有_种不同的取法.2.如图,在四个正方形拼接成的图形中,以 A1、A2、A3、A10这十个点中任意三点为顶,共能组成 _个等腰直角三角形.(2003年泉州市中考题)（第 2 题）（第 4 题）3.画一条直线,可将平面分成2 个部分,画 2 条

17、直线,最多可将平面分成4 个部分,那么,画 6 条直线最多可将平面分成_个部分.(第 14 届“希望杯”邀请赛试题)4.一条信息可通过如图的网络线由上(A 点)往下向各站点传送.例如信息到b2点可由经a1的站点送达,也可由经a2的站点送达,共有两条途径传送,则信息由A点到达 d3的不同途径共有().A.3 条 B.4条 C.6条 D.12条 (2003年南宁市中考题)5.如图,图中不同的线段的条数有().A.52 条 B.63条 C.141条 D.154条精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 3 页，共 8 页 -文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K

18、4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F

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25、条直线任两条都相交,交点数最多有a 个,最少有 b 个,则 a+b 等于().A.42 B.41 C.21 D.22 (2003年北京市竞赛题)7.如图,在表板上有4 个开关,如果相邻的2 个开关不能同时是关的,那么所有不同的状态有().A.4 种 B.6种 C.8种 D.12种 (第 15 届江苏省竞赛题)8.如图,左右相邻两点,上下相邻两点之间距离都等于1 厘米,把这些点连接起来,作为三角形的顶点,那么可以组成多少个直角三角形?9.用数字 0,1,2,3,4可以组成多少个 (1)四位数?(2)四位偶数?(3)没有重复数字的四位数?(4)没有重复数字的四位偶数?精品资料-欢迎下载-欢迎下载

26、名师归纳-第 4 页，共 8 页 -文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8

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30、K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7

31、 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8

32、B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F

33、10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10-5-二、能力拓展10.5 人站成一排照相,其中一人必须站在中间,有_种站法.11.在 1 到 300 这 300 个自然数中,不含有数字3 的自然数有 _个.12.跳格游戏:如图,人从格外只能进入第1 格;在格中,每次可向前跳1 格或 2 格,那么人从格外跳到第6 格可以有 _种方法.(第 15 届江苏省竞赛题)（第 12 题）（第 13 题）13.如图,由 18 个边长相等的正方形组成的长方形ABCD 中,包含“”在内的长方形及正方形一共有_个.(北京市“迎春杯”竞赛题)14.如图,正方形被分成9 个相同的小正方形,一共 16 个

34、顶点,以其中不在同一直线上的3 个顶点为顶点,可以构成三角形,在这些三角形中,与阴影面积相等的三角形有_个.5467832（第 14 题）（第 15 题）（第 16 题）15.如图,一共能数出()个长方形(正方形也算作长方形).A.64 B.63 C.60 D.48 (2000年“五羊杯”竞赛题)16.如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指数轮子上的一个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数字为b,数对(a,b)所有可能的个数为n,其中 a+b 恰好偶数的不同数对的个数为m,则等于().mn A.B.C.D.(2000

35、年山东省竞赛题)12165123417.(2002 年重庆市竞赛题)如图,从 A点 B点(只从左向右,从上到下),共有()种不同的走法.A.24 B.20 C.16 D.12 BA精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 5 页，共 8 页 -文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文

36、档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K

37、4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F

38、7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC

39、8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10

40、F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:

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42、C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10-6-18.平面上 5 个圆最多能把平面分成多少个部分?一般地,n 个圆最多能把平面分成多少个部分?19.5 个人站成一排照相.(1)若甲、乙两人必须相邻,则有多少不同的站队方法?(2)若甲、乙两人必不相邻,则有多少不同的站队方法?三、综合创新20.(第 11 届“希望杯”邀请赛试题)将编号为 1,2,3,4,5的 5 个小球放

43、入编号为1,2,3,4,5的 5 个盒子中,每个盒子中只放入一个.(1)一共有多少种不同的方法?(2)若编号为1的球恰好放在1 号盒子中,共有多少种不同的放法?(3)若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)共有多少种不同的放法?精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 6 页，共 8 页 -文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8

44、 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4

45、I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档

46、编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4

47、K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7

48、 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8

49、B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F

50、10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10文档编码:CF8T4I10F10W8 HC8B1G1X2F7 ZB9J3K4K10C10-7-答案1.2+4+5=11(种),2 45=40(种)2.243.22 提示:一般地 n 条直线最多将平面分为2+2+3+n=1+1+2+n=(n2+2n+2)部分.4.C125.D 提示:水平方向上的一类线段共有(6+5+4+3+2+1)4=84(条)(只考虑线段BC上

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4.3 金币

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