2022年点线面位置关系.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系；难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：（1）公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为AL ；A LB BL = L ,A,BA C 公理 1 作用：判定直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ,使 A 、B 、C ；公理 2 作用：确定一个平面的依据；推论

2、： 一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面（3）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号表示为： P = =L,且 PL P L公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据（4）公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理： 假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么 这两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、异面直线所成角 的范畴是 0

3、0a c c b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 留意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定,与O的挑选无关,为简便,点 O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 0 , ；2 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作 ab； 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； 运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面

4、、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：名师归纳总结 （1）直线在平面内 有很多个公共点第 2 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用 a 来表示a a =A a 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；简记为：线线平行,就线面平行；符号表示：a b = a a b 2.2.2

5、 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；符号表示：名师归纳总结 a ab = P 第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b a b 2、判定两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行；简记为：线面平行就线线平行；符号表示：a a a b = b 作用：利用该定理可解决直线间的平

6、行问题；2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；符号表示： = a a b = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 练习巩固：名师归纳总结 1、如两个平面相互平行,就分别在这两个平行平面内的直线 d 就 a b第 4 页,共 17 页A.平行B.异面 C. 相交 D. 平行或异面2、以下结论中,正确的有 a 如 a , 就 a a 平面 ,b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平面 平面 ,a ,b , 就 a b平面 , 点 P ,a , 且 Pa,就a A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3、在空间四边

7、形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,如 AEEB=CFFB=13,就对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是 A.平行 B. 相交 C. 在内 D.不能确定4、a,b 是两条异面直线, A 是不在 a,b 上的点,就以下结论成立的是 d A.过 A有且只有一个平面平行于 a,b B. 过 A至少有一个平面平行于 a,b C.过 A有很多个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在5、已知直线 a 与直线 b 垂直 ,a 平行于平面 ,就 b 与 的位置关系是 A.b a B.bC.b 与 相交D.以上都有可能6、以下命题中正确的命题的个数为直线 l

8、 平行于平面 内的很多条直线,就l ; 如直线 a 在平面 外,就 a ; 如直线 a b, 直线 b , 就 a ; 如直线 a b,b平面 ,那么直线 a 就平行于平面 内的很多条直线 . A.1 B.2 C.3 D.4 7、以下命题正确的个数是 a 1 如直线 l 上有很多个点不在 内,就 l 2 如直线 l 与平面 平行, l 与平面 内的任意始终线平行3 两条平行线中的一条直线与平面平行,那么另一条也与这个平面平行4 如始终线 a 和平面 内始终线 b 平行,就 a A.0 个B.1 个 C.2 个 D.3 个8、已知 m、n 是两条不重合的直线, 、 、 其中真命题是 d 是三个两

9、两不重合的平面,给出以下四个命题：如 m ,m , 就 ; 如 , , 就 ; ,n ,如 m ,n ,m n, 就 ; 如 m、n 是异面直线, m ,m ,n就 . 名师归纳总结 - - - - - - -A.和B.和C.和D.和9、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 中点,F 为 BB1 中点,与 EF 平行的长方体的面有 c A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个10、对于不重合的两个平面 与 ,给定以下条件：存在平面,使得 、 都垂直于 ；存第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在平面 ,使 、 都平行于 ； 内有不共线

10、的三点到 的距离相等；存在异面直线l,M,使得 l ,l ,M ,M . 其中可以判定两个平面与 平行的条件有（b）C.3A.1个B.2个个 D.4 个二、填空题【共 4 道小题】1、在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱 A1B1、B1C1的中点, P是棱 AD上一点,AP= , 过 P、M、N的平面与棱 CD交于 Q,就 PQ=_. 参考答案与解析 :解析：由线面平行的性质定理知MN PQMN 平面 AC,PQ=平面 PMN平面 AC, MN PQ.易知 DP=DQ=.故. 答案：2、假如空间中如干点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点在空间的位置是 _.

11、 参考答案与解析 :共线或在与已知平面垂直的平面内3、如直线 a 和 b 都与平面 平行,就 a 和 b 的位置关系是 _. 参考答案与解析 :相交或平行或异面4、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 DD 1 中点,就 BD1 与过点 A,C,E 的平面的位置关系是 _. 参考答案与解析 :解析：如下列图,连结BD,设 BDAC=O,连结 BD1,在 BDD1中,E 为 DD 1 的中点, O 为 BD 的中点,OE 为 BDD1 的中位线 .OE BD1. 又 平面 ACE,OE 平面 ACE,BD1 平面 ACE. 答案：平行三、解答题【共 3 道小题】1、如图,直线 AC,

12、DF被三个平行平面 、 、 所截 . 是否肯定有 AD BE CF；求证：. 参考答案与解析 :解析：平面 但不肯定总有 AD BE. 同理不总有 BE CF. 平面 ,平面 与 没有公共点,名师归纳总结 过 A点作 DF的平行线,交 ,于 G,H两点, AH DF.过两条平行线AH,DF的平面,交平面 , , 于 AD,GE,HF.依据两平面平行的性质定理,有AD GE HF.第 6 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AGED为平行四边形 . AG=DE. 同理 GH=EF. 又过 AC,AH两相交直线之平面与平面 , 的交线为 BG

13、,CH.依据两平面平行的性质定理,有BG CH.在 ACH中,. 而 AG=DE,GH=EF,. 2、如图, ABCD 是平行四边形, S 是平面 ABCD 外一点, M 为 SC 的 中点. 求证： SA 平面 MDB. 参考答案与解析 :解析：要说明 SA 平面 MDB ,就要在平面 MDB 内找 一条直线与 SA 平行,留意到 M 是 SC的中点,于是可找 AC 的中点,构造与 SA 平行的中位线,再说明此中位线在平面 MDB 内,即可得证 . 证明：连结 AC交 BD于 N,由于 ABCD是平行四边形, 所以 N是 AC的中点 . 又由于 M是 SC的中点,所以 MN SA.由于 MN

14、 平面 MDB,所以 SA 平面 MDB. 3、如图 ,已知点 M、N 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两棱 A1A 与 A1B1的中点, P 是正方形 ABCD 的中心,求证： MN 平面 PB1C. 参考答案与解析 :证明：如图,连结 A AC,名师归纳总结 就 P为 AC的中点,连结 AB1,EDD 1FC 1M、N 分别是 A1A 与 A1B1的中点,FMN AB1. BH又平面 PB1C,平面G1APB1C,故 MN 面 PB1C. C4、如图,在正方体ABCDA B C D 中,E ,F 分别是棱 BC ,C D 1的中点,求证： EF / 平面BB D D B 1答案：证

15、明：如图,取D B 的中点 O ,连接 OF , OB ,OF平行且等于1B C , BE 平行且等于1B C ,22ADCOF平行且等于 BE ,就 OFEB 为平行四边形,第 7 页,共 17 页 EB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - EF/BO EF平面BB D D , BO 1 1平面BB D D ,1 1OFB 1C 1 EF / 平面BB D D D 1A 1CD5、如图,在四棱锥 PABCD 中,ABEABCD 是 平 行 四 边 形 ,M , N 分别是 AB , PC 的中点求证： MN / 平面 PAD 答案：证明：如图,取 CD

16、的中点 E ,连接 NE , ME M , N 分别是 AB , PC 的中点,NE/PD, ME/AD,LAPNC可证明 NE/ 平面 PAD , ME / 平面 PAD 又 NEMEE ,平面 MNE / 平面 PAD ,又 MN平面 MNE , MN / 平面 PAD DE2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义MB假如直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面 相互垂直,记作 ,直线 L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 L 的垂面；如图,直线与平面垂直时 , 它们唯独公共点 P叫做垂足； L p 2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与

17、此平面垂直；留意点： a 定理中的“ 两条相交直线” 这一条件不行忽视；b 定理表达了“ 直线与平面垂直” 与“ 直线与直线垂直” 相互转化的名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数学思想；2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、两个平面相互垂直的判定定理：垂直；一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；2

18、 性质定理： 两个平面垂直, 就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；一 挑选题 1. 已知直线 a , b 和平面,有以下四个命题：如 a/, a /b,就 b/；如 a, bA ,就与 b 异面；l； 如 m/,如, b,就；如,就 b/其中真命题的个数是（） 22. 已知直线 l平面,有以下几个判定： 如 ml ,就 m/； 如 m,就 m /就 ml ； 如 m /l,就 m上述判定中正确选项（） 3. 已知两个平面垂直,以下命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的很多条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面名师

19、归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 过一个平面内任意一点作交线的垂线,就此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是（）A 4. 在正方形 ABCD 中, E ,F 分别是 AB 及 BC 的中点, M 是 EF 的中点, 沿 DE ,DF 及 EF 把DAE,DFC,EBF 折起使 A , B ,C 三点重合, 重合后的点记作 P ,那么在四周体 P DEF 中必有 （） DP 面 PEF DM 面 PEF PM 面 DEF PF 面 DEF5. 直线 a 不垂直于平面,就 内与 a 垂直的直线有（） 0 条 1条 很多条

20、 内全部直线6. 已知三条直线 m , n , l ,三个平面,下面四个命题中,正确选项（）/ m /ll mm /m / n m m / nn / n7. 在空间四边形 ABCD 中,如 AB BC , AD CD ,E 为对角线 AC 的中点, 以下判定正确选项 （）平面 ABD 平面 BDC 平面 ABC 平面 ABD平面 ABC 平面 ADC 平面 ABC 平面 BED8. ,是四个不同平面,如,就（）/ 且 / / 或 /这四个平面中可能任意两个都不平行 这四个平面中至多有一对平面平行9. 设 a , b 是异面直线,以下命题正确选项（）过不在 a, b 上的一点 P 肯定可以作一条

21、直线和 a , b 都相交过不在 a, b 上的一点 P 肯定可以作一个平面和 a , b 垂直过 a 肯定可以作一个平面与 b 垂直过 a 肯定可以作一个平面与 b 平行10. 设平面 平面,且 l ,直线 a,直线 b,且 a 不与 l 垂直, b 不与 l 垂直, 那么 a 与b （）可能垂直,不行能平行 可能平行,不行能垂直可能垂直,也可能平行 不行能垂直,也不能垂直二 填空题名师归纳总结 11 已知直线 a , b 和平面,且 ab , a,就 b 与的位置关系是 _ n；12. ,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同的直线,给出四个论断：m第 10 页,共 17 页；n；

22、m以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的一个命题 _13. 设 O 为平行四边形ABCD 对角线的交点,P为平面AC外一点且有PAPC , PBPD ,就 PO 与平面 ABCD 的关系是 _ 14. 设三棱锥 PABC 的顶点 P 在底面 ABC 内射影 O （在ABC内部,即过P 作 PO底面 ABC ,交PB于 O ）,且到三个侧面的距离相等,就O 是ABC的 _心. 4、如下列图,AB 是圆 O 的直径, C 是异于 A , B 两点的圆周上的任意一点,PA 垂直于圆 O 所在的平面,

23、就PAB,PAC,OABC,PBC中,直角三角形的个数是_A三 解答题16 已知平面,满意, al ,求证： lC的位置关系并17. 如图,已知平面,直线 a 满意, a,试判定直线a 与平面证明18. 如下列图, ABCD 为正方形, SAba平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交SB ,SC ,SD 于 E ,名师归纳总结 F ,G求证： AESB,AGSDASDFEBC第 11 页,共 17 页G- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19. 如下列图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形, PA底面 ABCD ,AEPD ,EF/CD,

24、AMEF 求证： MF 是异面直线 AB与 PC 的公垂线PEAFDM20. 如图,直角ABC所在平面外一点S ,且 SASBBCSC ,点 D 为斜边 AC 的中点1 求证： SD平面 ABC ；2 如 ABBC ,求证： BD面 SAC SADCB21. 如下列图,平面平面,3,BDl ,在 l 上取线段AB4, AC , BD 分别在平面和平面内,且 ACAB , DBAB ,AC12,求 CD 长CBA lD名师归纳总结 答案第 12 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一 挑选题 BBBAC;DDBDB 二 填空题11.b/或b

25、（ 1）或（ 1）（3）（4）（2）12. （ 2）（3）（4）13. 垂直 14. 内心 15.4 三 解答题名师归纳总结 - - - - - - -16 解：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面,与平面的交线,再利用面面垂直的性质定理证直线 l平面17 解：在内作垂直于与交线的直线 b ,由于,所以 b由于 a,所以 a/b又由于a,所以a/即直线 a 与平面平行18 答案：证明： SA平面 ABCD ,SABC又 ABBC , BC平面SABAE平面SAB,BCAE,SC平面AEFG,SCAE,AE平面SBC,AESB同理 AGSD 19 答案：证明：PA底面,PAAB已知ABAD ,A

26、B面 PAD BAAE又AM/CD/EF,且 AMEF AEFM是矩形,AMMF又AEPD, AECD ,AE平面 PCD 又 MF/AE,MF平面 PCD MFPC MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线20 答案：证明： （）SASC, D 为 AC 的中点,SDAC连结 BD 在RtABC中,就 ADDCBD ADSBDS,SDBD又 ACBDD ,SD面 ABC （）BABC, D 为 AC 的中点,BDAC又由（）知 SD面 ABC ,SDBD于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线 BD面 SAC 21答 案 ： 解 ： 连 结 BC ACAB,AC, ACBD BDA

27、B,BD,BDBC CBD是直角三角形 在RtBAC中,BCAC2AB22 32 45 ,在Rt CBD中,CD2 52 1213CD长为 13第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 针对性练习：1. 如直线 a 不平行于平面,就以下结论成立的是（）A. 内全部的直线都与 a 异面； B. 内不存在与 a 平行的直线；C. 内全部的直线都与 a 相交； D. 直线 a 与平面 有公共点 . 2. 已知两个平面垂直,以下命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的很多条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另

28、一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线,就垂线必垂直于另一个平面 . 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0 3. 空间四边形 ABCD中,如 ABADACCB0CDBD ,就 AC 与 BD 所成角为A、30 B、45 C、60 D、904. 给出以下命题：（1）直线 a 与平面不平行,就 a 与平面内的全部直线都不平行；内的全部直线都不垂直；（2）直线 a 与平面不垂直,就 a 与平面（3）异面直线 a、b 不垂直,就过 a 的任何平面与 b 都不垂直；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4

29、）如直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,就 a 和 c 共面其中错误命题的个数为（）（A）0 （B） 1 （C）2 （D）3 5正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,与对角线 AC1异面的棱有（）条 A3 B4 C6 D8 6. 点 P为 ABC所在平面外一点, PO平面 ABC,垂足为 O,如 PA=PB=PC,就点 O是 ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心7. 如图长方体中, AB=AD=23 ,CC 1= 2 ,就二面角 D1 C1 C 1BDC的大小为（）A1 B1 D （A）30 0（B）45 0（C）60 0 （D）90 0 C A B 8. 直线

30、 a,b,c 及平面 , , , 以下命题正确选项（）A、如 a ,b ,c a, c b 就 c B、如 b , a/b 就 a/ C、如 a/ , =b 就 a/b D、如 a , b 就 a/b 9. 平面 与平面 平行的条件可以是（）A. 内有无穷多条直线与 平行； B. 直线 a/ ,a/C.直线 a , 直线 b , 且 a/ ,b/ D. 内的任何直线都与 平行10、 a, b 是异面直线,下面四个命题：过 a 至少有一个平面平行于 b； 过 a 至少有一个平面垂直于 b；至多有一条直线与 a,b 都垂直；至少有一个平面与 a,b 都平行；其中正确命题的个数是（） 二、填空题 （

31、本大题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分）11. 已 知 直 线a/ 平 面, 平 面/ 平 面, 就a与的 位 置 关 系为 . 12已知直线 a直线 b, a/ 平面 , 就 b 与 的位置关系为 . 13 如图, ABC是直角三角形,ACB=90 ,PA 平面 ABC,此图形中有 个直角三角形名师归纳总结 14. 、 是两个不同的平面, m、n 是平面 及 之外的两条不同直线 , P 第 15 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 给出四个论断： m n m n 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一

32、个命题： _. 三、解答题 （本大题共 3 小题,每道题 10 分,共 30 分）15如图, PA平面 ABC,平面 PAB平面 PBC 求证： ABBC P A C B 16 在三棱锥 S-ABC中,已知 AB=AC,O是 BC的中点,平面 SAO 平面 ABC 求证： SAB=SAC S C O 17如图, PA平面 ABC,AEPB,ABBC,AFPC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面 B AEF平面 PBC；（2）求二面角 PBCA 的大小；（3）求三棱锥 PAEF的体积 . P F E A C B 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案1.D； 2.C；3.D ；4.D；5.C ；6.B ；7.A ；8.D； 9.D；10.C 11. 平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.如就17. （ 2）45名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页