2022年第十四章整式的乘除与因式分解知识点归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十四章 整式的乘除与因式分解1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项 . 例如：3 a a _；a 2a 2 _；3 a 5 b 2 a 8 b _3 x 2y 2 xy xy 2 4 x 2y 2 x 3 10 xy 2 x 3 _ _2同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法就： m,n 是正整数 . 同底数幂相乘,底数,指数 . _例如：a3 a_；aa2 a3在应用法就运算时 , 要留意以下几点 : 法就使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时,底数 a可以是一个详细的数字式字母,也可以是一个单项或多项式；指数是 1

2、时,不要误以为没有指数；不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加；而对于加法,不仅底数相同,仍要求指数相同才能相加；当三个或三个以上同底数幂相乘时,法就可推广为amanapamnp（其中 m、n、p均为正数）；公式仍可以逆用：amnaman（m、n均为正整数）3幂的乘方与积的乘方 1. 幂的乘方法就： m,n 是正整数 . 幂的乘方,底数,指数 . 例如： a 2 3 _； x 5 2_； a 4 3 a 3 3. 底数有负号时 , 运算时要留意 , 底数是 a与-a 时不是同底,但可以利用乘方法就化成同底,如将（ -a ）3化成 -a 3一般地 , a n

3、aa nn 当 当 nn 为偶数时为奇数时 ,. 4底数有时形式不同,但可以化成相同； 5要留意区分（ ab）n与（ a+b）n意义是不同的,不要误以为（a+b）n=a n+b n（a、b均不为零）； 6积的乘方法就：积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即abnanbn（n为正整数）； 7幂的乘方与积乘方法就均可逆向运用；4. 整式的乘法2、分别相乘, （ 1）. 单项式乘法法就 : 单项式相乘 , 把它们的对于只在一个单项式里含有的,连同它的作为；例如 : 2x 3y2x2y5 xy2 3xy 2xy21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选

4、学习资料 - - - - - - - - - a2b 3a2b2单项式乘法法就在运用时要留意以下几点：积的系数等于各因式系数积,先确定符号, 再运算肯定值； 这时简单显现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆；相同字母相乘,运用同底数的乘法法就；只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式；单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式； （ 2）单项式与多项式相乘2x去x3y5,再把所得的积ab；单项式与多项式相乘,就是用例如 :mabc23 ab 5 a2 b 2单项式与多项式相乘时要留意以下几点：单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数

5、与多项式的项数相同；运算时要留意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时,要留意运算次序； （ 3）多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的的,再把所得的积；乘以另一个多项式a例如 :x2x6 2x3yx2y1 ab2 bb a2多项式与多项式相乘时要留意以下几点：多项式与多项式相乘要防止漏项, 检查的方法是：在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积；多项式相乘的结果应留意合并同类项；对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘xa xb 2 xab xab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和, 常数项是两个因式中常数

6、项的积；对于一次项系数不为1 的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得mxa nxb 2 mnx mbma xab5. 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法法就 : 同底数幂相除 , 底数, 指数, 即2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 0,m、n都是正数 , 且mn. 2. 在应用时需要留意以下几点 : 法就使用的前提条件是“ 同底数幂相除” 而且0不能做除数 , 所以法就中 a 0. , 即0 a1 a0 , 任何不等于 0的数的 0次幂等于例如:1001,-2.50=-1, 就0 0无意义 .

7、 6整式的除法 1单项式除法单项式单项式相除,把、；分别,作为商的因式,对于只在被除式里含有的,就连同它的作为商的一个因式； 2多项式除以单项式除以,再把所得的多项式除以单项式,先把这个商,例如 :6 xy5xx8 a24 ab4 a20 a4b45 a23 b5 a2b2 a2c1b 2c1c22其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,式的项数相同,另外仍要特殊留意符号；7平方差公式所得商的项数与原多项 1平方差公式：两数与这两数的积,等于它们的, 即；例如：（4a1）（4a+1）=_；（3a2b）（2b+3a）=_；mn1 mn1= ；3x3x； 其结构特点是：公式左边是两个二项

8、式相乘,两个二项式中第一项相同,其次项互为相反数；公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差；8完全平方公式 1 完全平方公式：两数 _（或 _）的 _,等于它们的_,加上（或减去）它们的 _, 即 _ ；2 2例如：2 a 5 b _ _；x 3 y _ _2 2ab 2 _ _；2 m 1 _ _ 口决：首平方,尾平方,2倍乘积在中心； 2结构特点：公式左边是二项式的完全平方；公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 倍； 3在运用完

9、全平方公式时,要留意公式右边中间项的符号,以及防止出现ab 2a2b2这样的错误；添括号法就：添正不变号,添负各项变号,去括号法就同样9. 分解因式 1. 把一个 _ 化成几个整式的 _的形式 ,这种变形叫做把这个多 项式分解因式 . 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系 . 因式分解与整式乘法的区分和联系 : ,化为一个多项式 ; 1整式乘法是把几个整式相乘 2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 . 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法 1. 假如一个多项式的各项含有_,那么就可以把这个 _提出来 ,从而将多项式化成两个因式 _的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法 . 如:abac

10、n a bcx2x3x 2+12x 3+4xy1 例如 : 4xym a1 a 2. 概念内涵 : 1因式分解的最终结果应当是“ 积”; 2公因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ; 3提公因式法的理论依据是乘法对加法的安排律 ,即: ma mb mc m a b c 3. 易错点点评 : 1留意项的符号与幂指数是否搞错 ; 2公因式是否提“ 洁净”; 3多项式中某一项恰为公因式 2. 运用公式法,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉 . 1. 假如把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式 的方法叫做运用公式法 . .这种分解因式 2. 主要公式 : 1平方差公式 : _ 2完全平方

11、公式 : _ _ 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）x214a29b216 x2yz 2a2 b 22 ab 2（2）m24 m49x26 xyy216x224x9ab 212 ab 36 3. 易错点点评 : 因式分解要分解究竟 .如x4y 4x2y 2x2y2就没有分解究竟 . 4. 运用公式法 : 1平方差公式 : 应是二项式或视作二项式的多项式; 二项式的每项 不含符号 都是一个单项式 或多项式 的平方 ; 二项是异号 .2完全平方公式 : 应是三项式 ; 其中两项同号 , 且各为一整式的平方 ;

12、仍有一项可正负 , 且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍. 3. 十字相乘法：型和 型的因式分解下面举例详细说明怎样进行分解因式；例 1、 因式分解；分析：由于解：原式 =（x+7）（x-8 ） 7x + -8x =-x 例 2、 因式分解；分析：该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解：原式=（2y+3）（ 3y+5）由于9y + 10y=19y 这类式子在很多问题中常常显现,其特点是：1 二次项系数是 1；2 常数项是两个数之积； 3 一次项系数是常数项的 两个因数之和5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - -

13、 - - 因此,运用这个公式,可以把某些二次项系数为 4. 因式分解的思路与解题步骤 : 1 的二次三项式分解因式1先看各项有没有公因式 ,如有 ,就先提取公因式 ; 2再看能否使用公式法 ; 3 最终看能否使用十字相乘法4因式分解的最终结果必需是几个整式的乘积一、挑选题（每题单元测试题 3 分,共 15 分）,否就不是因式分解 ; 1. 以下式子中,正确选项 . 3-28x3=x A.3x+5y=8xy B.3y2-y2=3 C.15 ab-15 ab=0 D.29x2. 当 a=-1 时,代数式 a+12+ a a+3的值等于 A.-4 B.4 C.-2 D.2 2y23. 如-4x2y

14、和-2xmy n 是同类项,就 m,n 的值分别是 A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4,n=0 4. 化简-x3 -x2 的结果正确选项 A.-x6B.x6C.x5D.-x55. 如 x2+2m-3x+16 是完全平方式,就m的值等于 A.3 B.-5 C.7. D.7 或-1 6、以下运算中,正确选项（）A、x2x3x6B、2x232 x5x2C、x23x8D、xy2x7、以下多项式中,能够因式分解的是（）A、2 xy2B、2 xxy2 yC、p2p1D、m2n248、分解因式a2 ab 的结果是（）A、a1b1bB、a1b2C、a1b2D、 1b1b9、

15、以下多项式能利用平方差公式分解的是（）A、2 xyB、x22 yC、2 xy2D、x2y210、在多项式x24 x4,1 16 a2,x21,x2xy2 y 中是完全平方式的有（A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个11、如a12,就a21的值为（）aa26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、2 B、4 C、0 D、4二、填空（每题 3 分,共 15 分）21. 化简： a 3 a 2b= ; a 2 2 a a 2 的结果是 _；2. 计 算 ： 4x 2+4x 2= ; 4x 2 -2xy= ; 2005

16、20045 2 2 5 _. 3.分解因式： a 2-25= ; a 3 2 a 2 a _ . 4、如 m x4,就 m 2 x _2 35、2 x 3 y _ 12 x y2 26、当 m=_时,多项式 4 x mxy 9 y 是一个完全平方式；27、如多项 式 x 2 ax 16 能写成 一个多项式 的平方 的 形式,就 a 的值为_；8、已知x2y4,xyx3,就x2y2_；9、假如xxk12成立,那么 k=_；2三、解答题（共 70 分）1运算（直接写出结果,共 10 分）a m a n=, a m n=, ab n=a a 3= m+n 2m+n 3= 10 3 5= b 3 4=

17、 2b 3= 2 a 3 2= -3x 4= 2运算与化简 . （共 18 分）13x 2y -2xy 3 ； 22 a 23 a 2-5b ；3-2 a 23 ab 2-5 ab 3. 45x+2y3x-2y. 53y+2y-4-3y-2y-3；（6）-320221 320223先化简,再求值（ 7 分）7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - a+b a-2b- a+2b a-b ,其中 a=2, b=-1 4把以下各式分解因式 . （共 18 分）1xy+ ay-by ； 23x a-b-2yb-a ；3m 2-6

18、m+9；4 4x 2-9y 2 5 x 4-1 ； 6 x 2-7x+10； 7 85解以下方程与不等式 每题 5 分, 共 10 分 13x7-x=18-x3x-15；（2） x+3x-7+8x+5x-1. 6. 已知 x-y=1,xy=3 ,求 x3y-2x2y2+xy3的值 .7 分 26、已知二次三项式ax2bx1与2x23 x1的乘积绽开式中不含3 x 项,也不含x 项,求 a、b 的值；27、已知3 x312x217x10能被mx2mx2整除,其商式为x5 n ,求 m、n的值；30、如一个三角形的三边长a,b,c,满意a222 bc22ab2 bc0,试判定三角形的外形；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 附加题 共 20 分 , 2已知 a m=2,a n=3,就 a m+n= . 1. 1如 x2n=4,x 6n= 3 如 x2+3x-1=0,就 x3+5x 2+5x+8= ；2.当 a,b 为何值时,多项式a 2+b 2-4a+6b+18 有最小值？并求出这个最小值. 3.在实数范畴内分解因式：1x25x3 2x26x8 3x22x1 4 x2x3 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页