3D数学知识.pdf

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1、3D数学知识简介三维坐标系（3D Coordinate System）三维坐标是把二维的平面坐标推广到三维空间中，在三维坐标中，点（x,y,z）的齐次坐标为（nx,ny,nz,n），其中 n 为任意不为0 的数，规范化的齐次坐标为（x,y,z,1），与之相对应，三维变换的变换矩阵为44 矩阵。在三维空间中，我们通常使用右手坐标系（Right-Handed Coordinate System），因为它符合数学上的习惯，而在计算机图形学中，我们会使用左手坐标系（Left-Handed Coordinate System），因为它比较符合日常习惯。其实，我们可以任意的旋转这些坐标系，而图形仍然保持不

2、变。常见的坐标系如下：屏幕坐标系：相对于显示器的原点的2D坐标系本地坐标系：相对于对象的原点的3D坐标系世界坐标系：相对于3D 世界的原点三维坐标系对齐(视点)坐标系：世界坐标系的变换，观察者的位置在世界坐标系的原点。点（Point）点是在某一个坐标系中使用坐标值指定的位置。因此，点到坐标原点之间的距离与坐标系的选择有关。点P在坐标系A 中的坐标为（0,0,0），而在坐标系B中的坐标则为（x,y,z）。向量（Vector）向量是指两点的差值，具有大小和方向，即给定两点，就能唯一确定一个向量，向量的大小和方向与坐标系的选择无关。向量V=（Vx,Vy,Vz）=P1P2=（x2-x1,y2-y1,z

3、2-z1）其中，Vx，Vy 和Vz分别为向量V在 x，y 和 z 轴上的投影，称为向量V的 x 分量（x component），y 分量（y component）和 z 分量（z component）。该向量的大小为：向量 V 与 x，y 和 z 轴形成的方向角（Direction Angle）：，和，其中 cos，cos 和 cos 称为方向余弦（Direction Cosine）。向量加法：V1+V2=（V1x+V2x,V1y+V2y,V1z+V2z）向量标量乘：aA=（aVx,aVy,aVz）向量标量积：V1V2=V1x+V2x,V1y+V2y,V1z+V2z向量积（叉积）：V1V2=（

4、V1yV2z-V1zV1y,V1zV2x-V1xV2z,V1xV2y-V1yV2z）=|Ux Uy Uz|V1x V1y V1z|V2x V2y V2z|注：其中Ux,Uy,Uz 分别表示沿x 轴，y 轴和 z 轴的单位向量。在以后的编程中，我们经常会用到向量积。矩阵（Matrix）矩阵是由若干个数值构成的矩形阵列，这些数值通常为实数，称为矩阵的元素。如果一个矩阵的行和列数相同，我们则称该矩阵为方阵（Square Matrix），而只有一行或者一列的矩阵用常用向量表示，例如：x,y,z称为行向量（Row Vector），|x|y|则称为列向量（Colume Vector）。|z|矩阵加法：|A

5、11 A12 A13|B11 B12 B13|A11+B11 A12+B12 A13+B13|A21 A22 A23|+|B21 B22 B23|=|A21+B21 A22+B22 A23+B23|A31 A32 A33|B31 B32 B33|A31+B31 A32+B32 A33+B33|矩阵标量乘：|A11 A12 A13|nA11 nA12 nA13|n|A21 A22 A23|=|nA21 nA22 nA23|A31 A32 A33|nA31 nA32 nA33|文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H

6、8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A

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10、F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE

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13、,z,1|1 0 0 0|0 1 0 0|0 0 1 0|tx ty tz 1|三维缩放的矩阵表示为：x,y,z,1=x,y,z,1|sz 0 0 0|0 sy 0 0|0 0 sx 0|0 0 0 1|绕 x 轴旋转的矩阵表示为：x,y,z,1=x,y,z,1|1 0 0 0|0 cos sin 0|0-sin cos 0|0 0 0 1|文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1

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20、O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6绕 y 轴旋转的矩阵表示为：x,y,z,1=x,y,z,1|cos 0-sin 0|0 1 0 0|sin 0 cos 0|0 0 0 1|绕 z 轴旋转的矩阵表示为：x,y,z,1=x,y,z,1|cos sin 0 0|-sin

21、 cos 0 0|0 0 1 0|0 0 0 1|反射（Reflection）反射变换也称为对称（Symmetric）变换或镜像（Mirror Image）变换，三维反射变换可以相对于反射轴（Reflection Axis）进行，也可以相对于反射平面进行。相对于反射轴的三维反射变换是通过将图形绕反射轴旋转180来实现的。相对于 xy 平面的反射变换矩阵为：|1 0 0 0|0 1 0 0|0 0 1 0|0 0 0 1|相对于 yz 平面的反射变换矩阵为：文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X

22、4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8

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29、 0|0-1 0 0|0 0 1 0|0 0 0 1|错切（Shear）错切变换会改变图形的形状。相对于 x 轴的错切变换矩阵为：|1 0 0 0|shY 1 0 0|shz 0 1 0|0 0 0 1|相对于 y 轴的错切变换矩阵为：|1 shX 0 0|0 1 0 0|文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4

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33、3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N

34、6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH1

35、0O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4

36、D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6|0 shz 1 0|0 0 0 1|相对于 z 轴的错切变换矩阵为：|1 0 shX 0|0 1 shY 0|0 0 1 0|0 0 0 1|从简单的平移、缩放和旋转等可以延伸到复合平移、复合缩放、复合旋转、固定点缩放等概念，这些就要靠读者自己查阅资料了，在这里我就不多讲了。三维转换（3D Tran

37、sform）最常见的转换有以下三种类型：1、世界坐标系转换：通过这种转换方式，可以改变3D物体的位置、大小、角度等等。就是改变3D世界中的物体位置相关的特性；2、透视转换：透视转换决定了三维场景如何透视到二维平面上。包括观察三维世界摄象机镜头的观察范围等属性；3、观察坐标系转换：这种转换方式决定了三维世界中观察者的位置，观察方向等属性。投影变换（Projection Transformation）投影变换就是将维数为n 的点变换成维数小于n 的点。我们会用到的就是将三维空间中的点变换成二维平面上的点。要对三维物体进行投影变换，首先要在三维空间中选择一个点，称为投影中心（Center of Pr

38、ojection）；再定义一个不经过投影中心的平面，称为投影平面（Projection Plane）；从投影中心向物体的没一点引射线，这些射线称为投影线（Projection Ray），投影线与投影平面的交点集合就称为三维物体在二维投影平面上的投影。文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N

39、6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH1

40、0O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4

41、D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8

42、HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10

43、X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编

44、码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K

45、1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6投影可以分为两大类，即透视投影（Perspective Projection）和平行投影（Parallel Projection）；如果投影中心到投影平面的距离是有限的，那么投影线是从投影中心发出的无数条射线，这种投影称为透视投影；如果投影中心到投影平面的距离越来越远，那么投影线就越来越趋于平行，当投影中心到投影平面的距离为

46、无穷远的时候，投影线为一组平行线，这种投影称为平行投影。透视投影（Perspective Projection）设投影中心为PC（XC，YC，ZC），投影平面为Z=ZP平面（ZP ZC），即投影平面平行与xy平面（垂直于z 轴）并且不经过投影中心，三维空间中的点P（x,y,z）在投影平面上的透视投影为点 PP（XP，YP，ZP）。则透视投影矩阵为：|ZP-ZC 0 XC -XCZP|0 ZP-ZC YC -YCZP|0 0 ZP -ZCZP|0 0 1 -ZC|如果投影中心PC在坐标原点，投影平面仍然是Z=ZP平面，即 XC=YC=ZC=0，那么透视投影矩阵变成：|1 0 0 0|0 1 0

47、0|0 0 1 0|0 0 1/zP 0|如果投影中心PC在 z 轴上，投影平面是xy 平面，即XC=YC=0，那么透视投影矩阵变成：|1 0 0 0|文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码

48、:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1

49、V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4

50、ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z10X4D5F4 ZH10O9K1V1N6文档编码:CS3A10X3V10H8 HE5Z1