2021年2021年2019-2020学年安徽省合肥市一六八中学高一(宏志班)上学期期末数学试题(含答案解析).pdf

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1、2019-2020 学年安徽省合肥市一六八中学高一（宏志班）上学期期末数学试题一、单选题1已知集合1,2A，集合 B 满足1,2,3AB?，则满足条件的集合B 有（）个A2 B 3 C4 D1【答案】C【解析】写出满足题意的集合B，即得解.【详解】因为集合1,2A，集合 B 满足1,2,3AB?，所以集合B=3,1,3,2,3,1,2,3.故选：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2函数22()44f xxx的定义域是（）A2,2B(2,2)C(,2)(2,)UD2,2【答案】D【解析】由题得224040 xx，解之即得解.【详解】由题得224040 x

2、x，解之即得 2,2x.所以函数的定义域为 2,2.故选：D【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3sin 570的值为（）A12B22C12D32【答案】A【解析】利用诱导公式化简即得解.【详解】1sin(360210)sin210sin(18030sin5)sin37002oooooo.故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4已知2,1ar，1,1br，则ar在br方向上的投影为（）A22B22C55D55【答案】A【解析】av在bv方向上的投影为1222a bbrrr，选

3、 A.5如图，正方形ABCD 的边长为2，动点 E 从 A 开始沿 A BC的方向以2 个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点 C 开始沿 CD 边以 1 个单位长/秒的速度运动到 D 点停止，则AEFV的面积 y 与运动时间x（秒）之间的函数图像大致形状是（）ABCD【答案】A【解析】先求出12x时，AEFV的面积 y 的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解.【详解】由题得12x时，2(1)22,42,2BExxCEx CFx DFx，所以AEFV的面积 y211142(22)(42)2(2)34222xxxxxx，它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A【点睛】本

4、题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6已知函数2sin06fxx的部分图象如图所示，则的值可以为()A1 B 2 C3 D4【答案】B【解析】由图可知2sin2,sin133636f，故2，选B.7若,都是锐角，且5cos5，3sin()5，则cos（）A2 525B2 55C2 525或2 55D55或525【答案】A【解析】先计算出cos，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为,都是锐角，且51cos52，所以,32又33sin52，所以2，所以24cos1sin522 5sin1cos5，coscoscoscossinsin2

5、 525，故选 A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大8已知函数2()log(1)7af xaxx在23，上是增函数，则实数a的取值范围是（）A5()4，B15(1)()94U，C(2)，D1(1)2)2U，【答案】A【解析】当1a时,2ux?17axx（）在2 3，上是增函数，且恒大于零，即132,152(1)4444270(2)0aaaaau当01a时,2ux?17axx（）在2 3，上是减函数，且恒大于零，即153,012(1)699970(3)0aaaaau，因此选A 点睛:1复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个

6、简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数即“同增异减”2函数单调性的性质(1)若 f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增增增，增减增，减减减，减增减；(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反9已知偶函数()f x 在0,)上单调递增，且(2)3f，则满足(23)3fx的x的取值范围是（）A15,22UB1 5,2 2C31,22UD3 1,2 2【答案】B【解析】由题得函数()f x 在(,0)上单调递减，且(2)3f，再根据函数的图象得到2232x，解不等式即得解.【

7、详解】因为偶函数()f x 在0,)上单调递增，且(2)3f，所以()f x 在(,0)上单调递减，且(2)3f，因为(23)3fx，所以2232x，所以1522x.故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10已知函数2110sin10sin2fxxx，,2xm的值域为1,22，则实数m的取值范围是()A,03B,06C,3 6D,6 3【答案】B【解析】由题得21()10(sinsin)2,42f xxxxmtsinx令则211()()10()2,(),1022f xg ttg ttt令得或，由 g(t)的图像，可知当102t时，f(x)

8、的值域为1,22，所以0.6m故选B.11已知函数1221,0()21,0 xxf xxxx，若关于 x 的方程22()(1)()20fxmf xm有五个不同实根，则m 的值是（）A0 或12B12C0 D不存在【答案】C【解析】令()tf x，做出()f x 的图像，根据图像确定至多存在两个t的值，使得yt与()yf x有五个交点时，t的值或取值范围，进而转为求方程22(1)20tmtm在t的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】做出()f x 图像如下图所示：令()tf x，方程22()(1)()20fxmf xm，为22(1)20tmtm，当0t时，方程()tf

9、x没有实数解，当0t或1t时，方程()tf x有 2 个实数解，当01t，方程有4 个实数解，当1t时，方程有3 个解，要使方程方程22()(1)()20fxmf xm有五个实根，则方程22(1)20tmtm有一根为 1，另一根为0 或大于 1，当1t时，有220,0mmm或12m，当0m时，20tt，0t或1t，满足题意，当12m时，231022tt，1t或12t，不合题意，所以0m.故选:C.【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.12已知ABCV中，ABACuu u ru uu r，|2ABACuuu ruu u r

10、，点 M 是线段 BC（含端点）上的一点，且()1AMABACu uu u ruuu ruuu r，则|AMuuuu r的取值范围是（）A(0,1B10,2C1,12D1,12【答案】D【解析】如图所示，建立直角坐标系，则(0,)Bc，(,0)C b，(,)D b c，(,)M x y利用向量的坐标运算可得224bc再利用数量积运算()1AMABACuu uu ru uu ruuu rg，可得1bxcy利用数量积性质可得22222()()()xybcbxcy，可得1|2AMu uuu r再利用1xybc，221()()xycxybxybxcyxybcbc，可得221xy,，即可得出【详解】如图

11、所示，建立直角坐标系则(0,)Bc，(,0)C b，(,)D b c，(,)M x y|2ABACCBu uu ruuu ruuu rQ，ABACADuu u ruuu ru uu r，及四边形ABDC为矩形，|2ADCBuuu ruu u r224bcQ()1AMABACuuuu ruu u ru uu rg，1bxcy22|AMxyu uu u r22222()()()xybcbxcyQ，224()1xy 2212xy 即1|2AMuu uu rQ点M在直线BC上，1xybc221()()xycxybxybxcyxybcbc，bQ，0c，0 x，0y221xy,，即221xy,（当且仅当0

12、 x或0y时取等号），综上可得：1|12AMuuu u r剟故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题13若1eu r，2eu u r是夹角为60的两个单位向量，则122aeeu ru u rr，22beu u rr的夹角为_.【答案】30【解析】由题得|3ar，2|2|2beurr，再利用向量的夹角公式求解即得解.【详解】由题得1212|2|1443aeee eu ruru r urr，2|2|2beu rr所以122(2)233cos,22 32 3eeea bu ru ru rr r.所

13、以122aeeu ru u rr，22beu u rr的夹角为30.故答案为：30【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14已知1(0,),sincos,5则tan_.【答案】43【解析】因为1sincos5，所以12434sincos(0,)sin,costan25553Q15 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦g矢+2矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为23，弦长等于9m

14、 的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是_2m.【答案】27 32748.【解析】如下图所示，在Rt AOC中，求出半径,OA OC，即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为O，弦为AB，C为AB中点，连OC交弧为D，则OCAB，所以矢长为CD，在Rt AOC中，92AC，3AOC，所以923 3sin3OA，13 33 3,222OCOACD，所以弧田的面积为22113 33 327 327()(9()222248AB CDCD.故答案为：2732748.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.16设函数2()3f xxaxa，()g xx

15、a若不存在0 xR，使得00fx与00g x同时成立，则实数a 的取值范围是_.【答案】36a.【解析】当,()0 xa g x恒成立，不存在0(,)xa使得00fx与00g x同时成立，当xa时，()0g x恒成立，则需xa时，()0f x恒成立，只需xa时，min()0f x，对()f x 的对称轴分类讨论，即可求解.【详解】若xa时，()0g x恒成立，不存在0 xR使得00fx与00g x同时成立，则xa时，()0f x恒成立，即xa时，min()0f x，2()3f xxaxa对称轴为2ax，当2aa时，即min0,()()30af xf aa，解得30a，当2aa，即min0,()

16、af x为抛物线的顶点的纵坐标，min()0f x，只需24(3)0,26aaa，06a.若,()0 xa g x恒成立，不存在0(,)xa使得00fx与00g x同时成立，综上，a的取值范围是36a.故答案为:36a.【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题.三、解答题17已知2|8200Px xx，非空集合|11Sxmxm，若 S 是 P的子集，求m 的取值范围.【答案】0,3【解析】由28200 xx,，解得210 x剟根据非空集合|11Sxmxm剟，S是 P 的子集，可得2 111011mmmm,，解

17、得m范围【详解】由2820 0 xx,，解得210 x剟 2P，10非空集合|11Sxmxm剟又 S是 P 的子集，2 111011mmmm,，解得03m剟m的取值范围是0，3【点睛】本题考查了不等式的解法和充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平18已知向量(cos,sin)ar，(cos,sin)br，且ar，br满足关系|3|kabakbrrrr(0)k.（1）求向量ar，br的数量积用k 表示的解析式()f k；（2）求向量ar与br夹角的最大值.【答案】（1）21()(0)4kf kkk，（2）60【解析】（1）化简|3|kabakbrrrr即得

18、()f k；（2）设ar与br的夹角为，求出21cos(0)4kkk，再求函数的最值得解.【详解】（1）由已知|1abrr.|3|kabakbrrrrQ，22()3()kabakbrrrr222222|2|3|2|kaka bbaka bkbrr rrrrrr，2822ka bkr r，21()(0)4kf ka bkkr r.（2）设ar与br的夹角为，则21cos(0)4|a bka bkka br rr rrr，221111cos()44kkkk21124kk，当1kk即1k时，cos取到最小值为12.又0180，ar与br夹角的最大值为60.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，考查向

19、量夹角的计算和函数最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19已知函数()sin()f xAx0,0,|2A，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设0 x，且方程()f xm 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和.【答案】（1）()2sin26f xx，（2）21m或12m；当(2,1)m时，两根之和43；当(1,2)m）时，两根之和3.【解析】（1）观察图象可得：2A，根据(0)1f求出，再根据11()012f可得=2可得解;（2）如图所示，()2sin(2)16f 作出直线ym方程()f xm有两个不同的实数根转化为：函数()2s

20、in(2)6f xx与函数ym图象交点的个数利用图象的对称性质即可得出【详解】（1）观察图象可得：2A，因为 f(0)=1,所以12sin1,sin,|,226Q.因为1111()0,2sin()012126f，由图象结合五点法可知，11(0)12，对应于函数y=sinx 的点(2,0)，所以112,2126()2sin(2)6f xx（2）如图所示，()2sin(2)16f作出直线ym方程()f xm 有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f xx与函数ym图象交点的个数可知：当21m时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线23x对称，两根和为43当12m时，此时两个函数图象有两

21、个交点，关于直线6x对称，两根和为3【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、方程思想、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知定义域为R 的函数10(2)10()1010 xxxxaaf x是奇函数.（1）求 a 的值；（2）求不等式9()11ff x的解集.【答案】（1）1a；（2）1(lg3,)2.【解析】（1）利用奇函数的必要条件，(0)0f，求出1a，进而再验证此时()f x 为奇函数；（2）91()()112ff xf，要用函数的单调性，将复合不等式转化，所以考虑()f x 分离常数，化简为22()1101xf x，判断()f x 在R是增函数，可得不等式1()2f

22、x，转化为求指数幂不等式，即可求解.【详解】（1）函数10(2)10()1010 xxxxaaf x是奇函数，(0)0,220,1faa，10101010(),()()10101010 xxxxxxxxf xfxfx，1a=；（2）22210101012()11010101101xxxxxxxf x，令9()11f x，解得12x，9()11ff x化为1()()2ff xf，2101xyQ在R上增函数，且0y，所以()f x 在R是增函数，1()()2ff xf等价于2121(),121012xf x，21103,2lg3,lg32xxx，所以不等式的解集为1(lg3,)2.【点睛】本题考查

23、函数的奇偶性求参数，要注意应用奇偶性的必要条件减少计算量，但要进行验证；考查函数的单调性应用及解不等式，考查计算、推理能力，属于中档题.21如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC，ABC，02，设ABC的面积为1S，正方形的面积为2.S(1)用表示1S和2S；(2)当变化时，求12SS的最小值及此时角的大小.【答案】（1）2121sincossincos41sincosSS，；（2）最小值944，【解析】（1）在Rt ABC中，可用,R表示,AB AC，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS的长度，从

24、而可得2S.（2）令sin2t，从而可得21144,0,14ttStS，利用4,0,1sttt的单调性可求12SS的最小值.【详解】（1）在Rt ABC中，cos,sinABAC，所以11sincos2S，02，.而BC边上的高为sincossincos1，设APS斜边上的为1h，ABC斜边上的高为2h，因APSABC:，所以12sincossincoshPSPSBCh，故sincos1sincosPS，故222sincos1sincosSPS，02，.（2）212221sincos2sin 224sin 2sincos1si1sincos2sincosncosSS，令sin2,0,1tt，则

25、212214444ttSttS.令4,0,1sttt，设任意的1201tt，则121 2121 240ttttsst t，故4,0,1sttt为减函数，所以min5s，故m12in94SS，此时1t即4.【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.22设函数2()|1|f xxxa，aR.（1）若方程()3f xx在区间(1,2)上有解，求a 的取值范围.（2）设2()log14xag x，若对任意的12,(0,2)x x，都有12214g xfxa，求

26、 a 的取值范围.【答案】（1）(1,2)；（2）4log 65,2.【解析】（1）(1,2)x，2()13f xxxax有解，即2210 xxa在(1,2)上有解，设2()21h xxxa，对称轴为1x，只需(1)0(2)0hh，解不等式，即可得出结论；（2）根据题意只需maxmin21()()4g xf xa，分类讨论去绝对值求出min()fx，利用函数单调性求出max()g x或()g x取值范围，转化为求关于a的不等式，即可求解.【详解】（1）()3f xx在区间(1,2)上有解，2()13f xxxax整理得2210 xxa在区间(1,2)上有解，设2()21h xxxa，对称轴为1

27、x，(1)20(2)10haha，解得12a，所以 a 的取值范围.是(1,2)；（2）2()|1|f xxxa当221301,()1()24xf xxxaxa，13()()24f xfa；当221512,()1()24xf xxxaxa，()(1)1f xfa，min3(0,2),()4xf xa，设()14,(0,2)x auxx是减函数，且()0u x在(0,2)恒成立，2()log14xag x在(0,2)上是减函数，()g x在0 x处有意义，2()(0)log14ag xg，对任意的12,(0,2)x x，都有12214g xfxa，min210420fxagu即226log(1 4)20aaa，6241420aaa解得4log 652a，a的取值范围是4log 65,2.【点睛】本题考查方程零点的分布求参数范围，考查对数函数的图像和性质的综合应用，要注意对数函数的定义域，函数恒成立问题，属于较难题.