多面体外接球半径常见的5种求法.pdf
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1、多面体外接球半径常见的5 种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.知识回顾：1、球心到截面的距离d 与球半径 R及截面的半径 r 有以下关系2、球面被经过球心的平面截得的圆叫被不经过球心的平面截得的圆叫3、球的表面积表面积S；球的体积 V4、球心一定在过多边形（顶点均在球面上）外接
2、圆圆心且垂直此多边形所在平面的垂线上方法一：公式法例 1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为，则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有263,1,2936,384xxx hh正六棱柱的底面圆的半径12r，球心到底面的距离32d.外接球的半径221Rrd.43V球.小结：本题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.（R-球的半径；d-球心到球截面圆的距离，注意球截面圆通常是顶点在球上多边形的外接圆；r-顶点在球上多边形的外接圆的半径）方法二：多面体几何性质法例 2 已知
3、各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，则这个球的表面积是（）A.16 B.20 C.24 D.32解：设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有2416x，解得2x.22222242 6,6RR.这个球的表面积是2424R.选 C.小结：本题是运用“正四棱柱体（包括正方体、长方体）对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.方法三：补形法例 3：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有222
4、223339R.294R.故其外接球的表面积249SR.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222Rabc.PA、PB、PC两两垂直采用补形法文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1
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10、D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7方法四：寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥SABCD的底面边长和各侧
11、棱长都为2，点SABCD、都在同一球面上，则此球的体积为 .解设正四棱锥的底面中心为1O，外接球的球心为O，如图 3 所示.由球的截面的性质，可得1OOABCD平面.又1SOABCD平面，球心O必在1SO所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由22SASCAC，得222SASCAC.ASCAC是以为斜边的 Rt.12AC是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V球.小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该
12、方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.方法五：确定球心位置法例 5 在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512 B.1259 C.1256 D.1253文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2 HH3Z8F9J5U6 ZU6T1G9X9P7文档编码:CA4A7W5C7D2
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