2022年2011届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之十三 .pdf

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1、2010-2011 年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十三第十三章排列组合与概率一、基础知识1加法原理：做一件事有n 类办法，在第1 类办法中有m1种不同的方法，在第2 类办法中有 m2种不同的方法，在第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1 步有 m1种不同的方法，第2 步有m2种不同的方法，第n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。3排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的一个排

2、列，从n 个不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用mnA表示，mnA=n(n-1)(n-m+1)=)!(!mnn,其中 m,nN,mn,注：一般地0nA=1，0！=1，nnA=n!。4N个不同元素的圆周排列数为nAnn=(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用mnC表示：.)!(!)1(

3、)1(mnmnmmnnnCmn6组合数的基本性质：（1）mnnmnCC；（2）11nnmnmnCCC；（3）knknCCkn11；（4）nnkknnnnnCCCC2010；（5）111kmkkmkkkkkCCCC；（6）knmnmkknCCC。7定理 1：不定方程x1+x2+xn=r 的正整数解的个数为11nrC。证明 将 r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+xn=r 的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x1,x2,xn),将 xi作为第i个盒子中球的个数，i

4、=1,2,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将 r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1 个空格中选n-1 个，将球分n 份，共有11nrC种。故定理得证。推论 1 不定方程x1+x2+xn=r 的非负整数解的个数为.1rrnC推论 2 从 n 个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m可重组合，其组合数为.1mmnC8二项式定理：若nN+,则(a+b)n=nnnrrnrnnnnnnnbCbaCbaCbaCaC222110.其 中第r+1项Tr+1=rnrrnrnCbaC,叫二项式系数。9随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事

5、件。在大量重复进行同一试验时，事件 A发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0 p(A)1.10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有 m种，那么事件A的概率为p(A)=.nm11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么A1，A2，An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+An)=p(A1)+p(A2)+p(An).12对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为A。由定义知p(A)+p(

6、A)=1.13相互独立事件：事件A（或 B）是否发生对事件B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。14相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1，A2，An相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为p(A1?A2?An)=p(A1)?p(A2)?p(An).15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件

7、恰好发生k 次的概率为pn(k)=knC?pk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数 就是一个随机变量，可以取的值有0,1,2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi(i=1,2,)的概率 p(=xi)=pi，则称表x1x2x3xip p1p2p3pi为随机变量 的概率分布，简称 的分布列，称E=x1p1+x2p2+xnpn+为 的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D=(x1-E)2?p1+(x

8、2-E)2?p2+(xn-E)2pn+为 的均方差，简称方差。D叫随机变量 的标准差。文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z

9、7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9

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13、8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10

14、D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F1

15、0D8B9Z718二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为p(=k)=knkknqpC,的分布列为0 1 xiN p nnqpC00111nnqpCknkknqpCnnnpC此时称 服从二项分布，记作 B(n,p).若 B(n,p)，则 E=np,D=npq,以上 q=1-p.19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则 p(=k)=qk-1p(k=1,2,)，的分布服从几何分布，E=p1，D=2pq(q=1-p).二、方法与例题1乘法原理。例 1 有

16、 2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？解 将整个结对过程分n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1 种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3 种选择，这样一直进行下去，经n 步恰好结n 对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)(2n-3)3 1=.)!(2)!2(nnn2加法原理。例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？解 断路共分4 类：1）一个电阻断路，有1 种可能，只能是R4；2）有 2 个电阻断路，有24C-1=5 种可能；3）3

17、 个电阻断路，有34C=4 种；4）有 4 个电阻断路，有1 种。从而一共有 1+5+4+1=11 种可能。3插空法。例 3 10个节目中有6 个演唱 4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？解 先将 6 个演唱节目任意排成一列有66A种排法，再从演唱节目之间和前后一共7 个位置中选出4 个安排舞蹈有47A种方法，故共有4766AA=604800 种方式。4映射法。例 4 如果从 1，2，14 中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1 3,a3-a23，那么所有符合要求的不同取法有多少种？解 设 S=1,2,14，S=1，2，1

18、0；T=(a1,a2,a3)|a1,a2,a3S,a2-a13,a3-a2 3,T=(321,aaa)321321,|aaaSaaaS,若),(321Taaa，令4,2,332211aaaaaa，则(a1,a2,a3)T,这样就建立了从T到 T 的映射，它显文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z

19、7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9

20、Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B

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24、D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F1

25、0D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7然是单射，其次若(a1,a2,a3)T,令4,2,332211aaaaaa，则),(321Taaa，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|=310|CT=120，所以不同取法有120 种。5贡献法。例 5 已知集合A=1，2，3，10，求 A的所有非空子集的元素个数之和。解 设所求的和为x，因为 A的每个元素a，含 a 的 A的子集有29个，所以 a 对 x 的贡献为 29，又|A|=10。所以 x=1

26、029.另解 A的 k 元子集共有kC10个，k=1,2,10，因此，A 的子集的元素个数之和为)(101029919091010210110CCCCCC1029。6容斥原理。例 6 由数字 1，2，3 组成 n 位数(n 3)，且在 n 位数中，1，2，3 每一个至少出现1 次，问：这样的n 位数有多少个？解 用 I 表示由 1，2，3 组成的 n 位数集合，则|I|=3n，用 A1，A2，A3分别表示不含1，不 含2，不 含3 的 由1，2，3 组 成 的n 位 数 的 集 合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。所以由

27、容斥原理|A1A2A3|=|32131AAAAAAjijiii=3 2n-3.所以满足条件的n 位数有|I|-|A1A2A3|=3n-32n+3 个。7递推方法。例 7 用 1，2，3 三个数字来构造n 位数，但不允许有两个紧挨着的1 出现在 n 位数中，问：能构造出多少个这样的n 位数？解 设能构造an个符合要求的n 位数，则 a1=3，由乘法原理知a2=33-1=8.当 n3 时：1）如果 n 位数的第一个数字是2 或 3，那么这样的n 位数有 2an-1；2）如果 n 位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2 或 3，这样的 n 位数有 2an-2，所以 an=2(an-1+an-2)(

28、n 3).这里数列 an的特征方程为x2=2x+2，它的两根为x1=1+3,x2=1-3,故 an=c1(1+3)n+c2(1+3)n,由a1=3,a2=8得3223,323221cc，所以.)31()31(34122nnna8算两次。例 8 m,n,rN+，证明：.022110mrnrmnrmnrmnrCCCCCCCCCmn 证明 从 n 位太太与m位先生中选出r 位的方法有rmnC种；另一方面，从这 n+m人中选出 k 位太太与r-k位先生的方法有krmknCC种，k=0,1,r。所以从这n+m人中选出r 位的方法有0110mrnrmnrmnCCCCCC种。综合两个方面，即得式。文档编码:

29、CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码

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35、7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z79母函数。例 9 一副三色牌共有32 张，红、黄、蓝各10 张，编号为1，2，10

36、，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k 的牌计为 2k分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。解 对于n1,2,2004,用 an表示分值之和为n 的牌组的数目，则an等于函数f(x)=(1+02x)2?(1+12x)3?(1+102x)3的展开式中xn的系数（约定|x|1），由于f(x)=x11(1+02x)(1+12x)?(1+102x)3=)1()1)(1(11123xxx3=)1()1)(1(111222xxx3。而0 2004211，所 以an等 于22)1)(1(1xx的 展 开 式 中xn的

37、系 数，又 由 于22)1)(1(1xx=211x?2)1(1x=(1+x2+x3+x2k+)1+2x+3x2+(2k+1)x2k+,所以 x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5+(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,从而，所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009.10组合数knC的性质。例 10 证明：kmC12是奇数(k 1).证 明 kmC12=kkkkmmmmmm222211221)112()22)(12(令i=it2?pi(1 i k)，pi为奇数，则iitmititmppppmiiiii22222，它的分子、分母均为奇数，因kmC12是整数，所以它只能是

38、若干奇数的积，即为奇数。例 11 对 n2,证明：.422nnnnC 证明 1）当 n=2 时，2224C=642；2）假设n=k 时，有 2kkkC24k,当 n=k+1 时，因为.1)12(2!)!1()!12(2)!1()!1()!1(221)1(2kkkkCkkkkkkkkC又1)12(22kk4，所以 2k+1121)1(22442kkkkkkkCCC.所以结论对一切n2 成立。11二项式定理的应用。文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ

39、7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:C

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45、档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7例 12 若 nN,n 2，求证：.3112nn 证 明 首 先,2111112210nnnnnnnnCnCnCCn其 次 因 为)2(111)1(1!1!)1()1(1kkkkkkknknnnnCkkkn，所 以nn112+.313111312121112

46、1122nnnnCnCnnnn得证。例 13 证明：).(110nmhCCCmnhknkhmkn 证明 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中hmknC是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。hkC是(1+y)k的展开式中yk的系数。从而hmknC?hkC就是(1+x)n-k?(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。于是，hknkhmknCC0就是nkkknyx0)1()1(展开式中xm-hyh的系数。另 一 方 面，nkkknyx0)1()1(=yxyCxCyxyxnkkknnkkknnn10110111)1()1()1()1(=101nkkknxC?yxy

47、xkk=101nkknC(xk-1+xk-2y+yk-1)，上式中，xm-hyh项的系数恰为11mnC。所以.110mnnkhkhmknCCC12概率问题的解法。例 14 如果某批产品中有a 件次品和 b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n 件产品，问：恰好有k 件是次品的概率是多少？解 把 k 件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n（即所有的可能结果）。设事件 A表示取出的n 件产品中恰好有k 件是次品，则事件 A所包含的基本事件总数为knC?akbn-k，故所求的概率为p(A)=.)(nknkknbabaC例 15 将一枚硬币掷5 次，正面朝上恰

48、好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5 次恰好有k 次正面朝上的概率为kkpC5(1-p)5-k(k=0,1,2,5)，由题设4153225)1()1(ppCppC，且 0p1，化简得文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10

49、D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F1

50、0D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F10D8B9Z7文档编码:CQ7O10L6O7Z9 HF4A2B5N7J4 ZL10F