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含参变量的积分.pdf

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文档编号：56621330

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1、1 12.3.含参变量的积分教学目的掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u在矩形域(,)R axbu有定义，,u一元函数(,)f x u在,a b可积，即积分(,)baf x u dx存在.,u都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx.于是，积分(,)baf x u dx是定义在区间,的函数，表为()(,),bauf x u dx

2、u称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理 1.若函数(,)fx u在矩形域(,)R axbu连续，则函数()(,)bauf x u dx在区间,也连续.说明：若函数(,)fx u满足定理 1 的条件，积分与极限可以交换次序.定理 2.若函数(,)f x u与fu在矩形域(,)R axbu连续，则函数()(,)bauf x u dx 在区间,可导，且,u，有(,)()badf x uudxduu，或(,)(,)bbaadf x uf x u dxdxduu.简称积分号下可微分.说明：若函数(,)fx u满足定理 2 的条件，导数与积分可以交换次序.定理 3.若函数(,)fx u在矩形域(,

3、)R axbu连续，则函数()(,)bauf x u dx 在区间,可积，且2(,)(,)bbaaf x u dx duf x u du dx.简称积分号下可积分.说明：若函数(,)fx u满足定理 3 的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()aa ubb u.但,u，对应唯一一个积分（值）()()(,)b ua uf x u dx，它仍是区间,的函数，设()()()(,),b ua uuf x u dxu.下面给出函数()u在区间,的可微性.定理 4.若函数(,)f x u与fu在矩形域(,)R ax

4、bu连续，而函数()a u与()b u在区间,可导，,u，有(),()aa ub ab ub，则函数()()()(,),b ua uuf x u dx u在区间,u可导，且()()(,)()(),()(),()b ua udf x uudxf b uu b uf a uu a uduu二、例（I）例 1.求函数1220()ln()F yxydx 的导数(0)y解：0y，暂时固定，0，使1y，显然，被积函数22ln()xy与22222ln()yxyyxy在矩形域1(01,)Rxy都连续，根据定理2，有112222002()ln()yFyxydxdxyxy11200122arctan2tan1xd

5、yxatrcyyxy.因为0,0,y使1y，所以0y，有1()2tanFyatrcy.例 2.求0()ln(1cos),1I rrx dxr.文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 H

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11、4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B43 解：:1rr，暂时固定

12、，0k，使1rk，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos)f x rrx与cos1cosfxrrx在矩形区域(0,)Rxkrk连续，根据定理2，有00cos()ln(1cos)1cosxIrrx dxdxrrx=0011cos111(1)1cos1cosrxdxdxrrxrrx01.(0)1cosdxrrrrx设tan2xt（万能换元），有222222111cos(1)(1)11dxtdtdttrxrr trt=22221arctantan111211dtrxCrrrrtr从而，220021arctantan1cos1211dxrxrxrrr.于是，2().(0)1Irrr

13、rr（3）又有200lim()lim01rrIrrrr.将()Ir在0r做连续开拓.令(0)0.I函数()Ir在区间,k k连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有2211()()(lnln)1rI rdrrCrrrr2ln(11)rC.已知(0)0.I，有1ln 2ln2C.于是，22111()ln(11)lnln22rI rr.例 3.证明：若函数()f x在区间,a b连续，则函数文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4

14、S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8

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19、8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V

20、10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B44 11()()(),(1)!xnay xxtf t dtxa bn是微分方程()()()nyxf x 的解，并满足条件(1)()0,()0,()0ny ay aya.证明：逐次应用定理 4，求函数()y x的 n 阶导数，有2211()(1)()()()().()(1)!(1)!xnnay xnxtf t dtxtf xxnn=21()()(2)!xnaxtf t dtn，

21、31()()(),(3)!xnay xxtf t dtn(1)()(),xnayxf t dt()()()nyxf x，即函数()y x是微分方程()()()nyxf x 的解，显然，当 xa时，()()0,()0,()0ny ay aya.例 4.证明：若函数()f x存在二阶导数，函数()F x存在连续导数，则函数11(,)()()()22xatz atu x tf xatf xatF z dza是弦振动方程22222uuatx的解.证明：根据定理 4，有11()()()()()()22ufxatafxat aF xat aF xatata1()()()()22afxatfxatFxatF

22、 xat222()()()()22uaafxatfxatFxatFxatt11()()()()22ufxatfxatF xatF xatxa2211()()()()22ufxatfxatFxatFxatxa文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8

23、 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5

24、B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B

25、4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:

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29、Q9N8N8 ZH8B5B10V8B45 于是，22211()()()()22uafxatfxatFxatF xatxa222uax即(,)u x t是弦振动方程22222uuatx的解例 5.求积分10,0lnbaxxdxabx.解法一应用积分号下积分法.解：函数()lnbaxxy xx的原函数不是初等函数，函数()y x在 0 与 1 没定义，却有极限0lim0lnbaxxxx.11111limlimlim()1lnbababaxxxxxbxaxbxaxbaxx.将函数()y x在 0 与 1 作连续开拓，即0,0,(),01,ln,1.baxxxy xxxbax从而，函数()y x在区

30、间0,1连续.已知()lnlnbbaybyaaxxxy xx dyxx而函数(,)yf x yx 在闭矩形域(01,)Rxayb连续，根据定理 3，有111000lnbabbyyaaxxdxx dy dxx dx dyx1101ln111ybbaaxdybdyyya.解法二应用积分号下微分法.解：设10(),lnyaxxydxaybx文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:C

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32、Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10

33、HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q

34、9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8

35、ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B

36、10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4

37、文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B46 根据定理 2，有11110001()ln11yayyyxxxydxx dxxyy.两端求不定积分，有()ln(1).1dyyyCy令ya，有()0ln(1)aaC，即ln(1).Ca于是，1()ln(1)ln(1)ln.1yyyaa令yb，有101()ln.ln1baxxbbdxxa三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u在区域(,)D axu有定义。,a，无穷积分(,)af x u dx都收敛，即,u都对应唯一一个

38、无穷积分（值）(,)af x u dx.于是，(,)af x u dx是区间,的函数，表为()(,),auf x u dxu，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u是参变量.定义设uI，无穷积分(,)af x u dx收敛，若000,(0,AAAuI通用）有(,)(,)(,)AaaAf x u dxf x u dxf x u dx则称无穷积分(,)af x u dx在区间 I 一致收敛。例 6.证明：无穷积分dxuexu0在区间 a,b(a0)一致收敛.证明：设0A,求无穷积分（将 u 看做常数）xuAuedx设1,xut dxdtu有1xuttAaAAaAauedxuedte d

39、teu已知,aub有文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10

40、V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档

41、编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4

42、R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7

43、V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ

44、4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N

45、8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B47 xuAuAaAuedxee0,使不等式Aae成立，解得11lnAa。取011ln.Aa于是，00110,ln,AAAua ba有xuAaAued

46、xe即无穷积分0(,)f x u dx在区间,a b一致收敛.定理 5（柯西一致收敛准则）无穷积分0(,)f x u dx在区间 I 一致收敛0(,)f x u dx010200,0,AAAAAuI与，有21(,)AAf x u dx.定理 6.若0,BxBuI有(,)()f x uF x，且无穷积分()aF x dx 收敛，则无穷积分0(,)f x u dx在区间一致收敛。例 7.证明：无穷积分20uxedx在区间,)a一致收敛(0)a证明：,),ua有22uxaxee已知无穷积分20axedx收敛，根据定理6，则无穷积分20uxedx在区间,)a一致收敛.例 8.证明：无穷积分221cos

47、 xydxxy在 R一致收敛证明：yR，有222cos1xyxyx.已知无穷积分211dxx，则无穷积分221cosxydxxy在 R一致收敛。定理 7.若函数(,)f x u在区域),(IuxaD(a0)，连续且(,)(,)xaF x uf t u dt在 D有界，即0,(,)Cx uD，有(,)(,)xaF x uf t u dtC则当0时，无穷积分dxxuxfa),(在区间 I 一致收敛.文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10

48、 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9

49、Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8

50、 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5B10V8B4文档编码:CN4R8D8Z7V10 HQ4S9Q9N8N8 ZH8B5

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4.3 金币

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