复变函数四川大学数学学院课程号.pdf
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1、1/4 课程号：20183140 课程名称：复变函数总学时：68 学分：4 先修课程：数学分析教案目的：熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解读函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解读函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解读开拓、调和函数等有较深入的了解。第一章 第一章复数与复变函数一、基本内容复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。二、基本要求1 1 熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题
2、。2 2 理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。3 3 充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。4 4 了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。三、建议课时安排（7学时）1复数、复数的模与幅角、复数的乘幂与方根 2 学时2复数在几何上的应用、复平面上的点集 2 学时3复变函数的概念、复变函数的极限与连续 2 学时4复球面与无穷远点心 1 学时第二章 第二章解读函数一
3、、基本内容复变函数的导数与微分，解读函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。二、基本要求1 1 理解复变函数的导数的概念，掌握解读函数的定义及其简单性质，熟练掌握解读函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。2 2 熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。3 3 掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解读分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有
4、多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解读分支的方法，会由已知单值解读分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。三、建议课时安排（11 学时）1解读函数的概念与柯西-黎曼条件 3 学时2指数函数、三角函数与双曲函数 2 学时3根式函数 2 学时4对数函数、一般幂函数与一般指数函数 2 学时2/4 5具有多个支点的多值函数、反三角函数与反双曲函数 2 学时第三章 第三章复变函数的积分一、基本内容复变函数的积分的定义、性质与计算，柯西积分定理及其推广，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解读函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，解读函数与调和函数的关系。二、基本要求1
5、1 理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。2 2 掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解读函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。3 3 熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解读函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。4 4 掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解读函数与调和函数的关系，掌握由解读函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。三、建议课时安排（10 学时）1复变函数的积分的定义、性质与计算 2 学时2柯西积分定理及其推广、不定积分 3
6、学时3柯西积分公式及其推论 3 学时4解读函数与调和函数的关系 2 学时第四章 第四章解读函数的幂级数表示法一、基本内容复数项级数及其基本性质，一致收敛的复变函数项级数及其性质，解读函数项级数的维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级数和函数的解读性，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，一些初等函数的泰勒展开式，解读函数零点的孤立性，解读函数的唯一性定理，最大模原理。二、基本要求1 1 理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数
7、项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解读函数项级数的维尔斯特拉斯定理。2 2 掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解读性。3 3 掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解读函数展开为幂级数。4 4 掌握解读函数零点的概念及具有零点的解读函数的表达式，掌握解读函数零点的孤立性与解读函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。三、建议课时安排（9学时）1复级数的基本性质 1 学时2幂级数的敛散性与和函数的解读性 2 学时3解读函数的泰勒展开式 3 学时4解读函数零
8、点的孤立性与唯一性定理 3 学时第五章 第五章解读函数的罗朗展式与孤立奇点一、基本内容双边幂级数，罗朗定理，解读函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式，孤立奇点的三种类型及其判别法，席瓦尔兹引理，关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解文档编码:CX4F9H2Y5E1 HJ1G4A6E3H1 ZS8V4P6T4V2文档编码:CX4F9H2Y5E1 HJ1G4A6E3H1 ZS8V4P6T4V2文档编码:CX4F9H2Y5E1 HJ1G4A6E3H1 ZS8V4P6T4V2文档编码:CX4F9H2Y5E1 HJ1G4A6E3H1 ZS8V4P6T4V2文档编码:CX4F9H2Y5E1 HJ1G
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15、理，理解罗朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解读函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。2 2 掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握席瓦尔兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。3 3 理解解读函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法。4 4 掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。三、建议课时安排（8学时）1解读函数的罗朗展式 3 学时2解读函数的孤立奇点 3 学时3解读函数在无穷远点的性质 1 学时4整函数与亚纯函数的概念 1 学时第六章 第六章留数理论及其应用一、基本内容留数的定义，留数定理，留数的求法，函数在无
16、穷远点的留数，用留数计算实积分，对数留数，幅角原理，儒歇定理。二、基本要求1 1 掌握留数的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法。2 2 掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分的方法，了解积分路径上有奇点的积分的求法。3 3 掌握关于解读函数零点与极点个数的定理，掌握幅角原理及其应用，掌握儒歇定理及其应用。三、建议课时安排（8学时）1留数与留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的留数 3 学时2用留数定理计算实积分 2 学时3对数留数、幅角原理与儒歇定理及其应用 3 学
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