2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习.docx

《2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习.docx（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体几何学问点整理方法二：用面面平行实现；一直线和平面的三种位置关系：mm；l/l/l且 l,B1. 线面平行l方法三：用平面法向量实现；符号表示：l如 n 为平面的一个法向量,n2. 线面相交就 /；方法二：3.面面平行：l方法一：用线线平行实现；Anll/l符号表示：m/m 且相交/3. 线在面内l,ml符号表示：l,m 且相交用线面平行实现；二平行关系：l/1.线线平行：l mm/且相交/方法一：用线面平行实现；l,ml m三垂直关系：ll/ll/1. 线面垂直：ml /方法一：用线线垂直实现；CmmllAC方法二：用面

2、面平行实现；lABAll/ACABAC,ABmll/mm方法二：用面面垂直实现；方法三：用线面垂直实现；如l,m,就l /m；Aml方法四：用向量方法：llm ,l如向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,就CB2. 面面垂直：2.线面平行：l方法一：用线面垂方法一：用线线平行实现；直实现；l/mmAml/l名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ll学习必备欢迎下载二 线面角l1定义： 直线 l 上任取一点P（交点除外） ,作 PO于O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA在面内的射影,PAO 图方法二：运算所成二

3、面角为直角；中为直线 l 与面所成的角；3.线线垂直：P方法一：用线面垂直实现；lllmlPAAOmm2范畴：0, 90方法二：三垂线定理及其逆定理；OA当0时, l或l/当90 时, lPPO3求法：lAlOl方法一：定义法；步骤 1：作出线面角,并证明；方法三：用向量方法：步骤 2：解三角形,求出线面角；如向量 l 和向量 m 的数量积为0,就lm；三 二面角及其平面角三夹角问题；一异面直线所成的角： 1定义：在棱l 上取一点 P,两个半平面内分别作l 的垂线（射线） m、n,就射线 m 和 n 的夹角为二面角1 范畴：0, 90l的平面角；2求法：nP方法一：定义法；AOml步骤 1：平

4、移,使它们相交,找到夹角；nP步骤 2：解三角形求出角；常用到余弦定理2范畴：0, 180余弦定理：c3求法：cosa2b2c2ab方法一：定义法；2ab步骤 1：作出二面角的平面角三垂线定理 ,并证明；运算结果可能是其补角 步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角；方法二：向量法；转化为向量的夹角方法二：截面法；运算结果可能是其补角：步骤 1：如图,如平面POA 同时垂直于平面和,就cosABACABAC交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角；步骤 2：解三角形,求出二面角；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方

5、法三：坐标法P学习必备欢迎下载和等面积法；换点法 A；2线面距、面面距均可转化为点面距；3异面直线之间的距离O运算结果可能与二面角互补方法一：转化为线面距离；n1n2mn步骤一：运算cosn n2n 1n 2如图, m 和 n 为两条异面直线,n且m/,就异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面n 1n 2之间的距离；方法二：直接运算公垂线段的长度；方法三：公式法；步骤二： 判定与n n 2的关系, 可能相等或者互补；四距离问题；1点面距；方法一：几何法；PBaAmcdnbDmCAO如图, AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段,m/ m ,就异面直线m 和 n 之间的距离为：步骤

6、 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求；dc2a2b22abcos步骤 2：运算线段PO 的长度； 直接解三角形；等体积法A 1AC D C 1B B 1高考题典例名师归纳总结 考点 1 点到平面的距离A2 , D 为CC 中点第 3 页,共 9 页例 1 如图,正三棱柱ABCA B C 的全部棱长都为（）求证：AB 平面A BD；（）求二面角A DB的大小；（）求点 C到平面A BD 的距离1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC为正三角形,AOBCA C A DA 1

7、别 为B C,C C正三棱柱ABCA BC中,平面 ABC 平面BCC B ,AO 平面BCC B连结B O,在正方形 1BB C C中, O,D分O F 的中点,B OBD,AB 1BDD C 1在正方形ABB A 中,AB1A B,AB 平面A BDB AB 1于 F , 连 结（）设AB与A B 交于点 G ,在平面 1ABD中,作GFA D 1为二面角B的平面角AF,由（）得AB 平面A BD AFA D,AFG在AA D 1中,由等面积法可求得AF4 5,5又AG1AB 12,sinAFGAG2102AF4 545所以二面角AA D 1B 的大小为arcsin10E、D分别4（）A

8、BD中,BDA D5,A B2 2,SA BD6,SBCD1在正三棱柱中,A 到平面 1BCC B 的距离为 1 13 设点 C 到平面1A BD 的距离为 d 由VA 1BCDV CA BD 1,得1SBCD31SA BD 1d,d3 SBCD233SA BD 12点 C 到平面A BD 的距离为 122考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱SC 的长为 2,且垂直于底面 .为BC、AB的中点,求CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如下列图,取BD 的中点 F,连结 EF ,SF,CF ,EF 为BCD 的中位线,EF CD ,CD 面 S

9、EF ,CD到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载h233第 5 页,共 9 页的距离,设其为h,由题意知,BC42,D、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,CD26,EF1CD6,DF2,SC22VSCEF11EFDFSC116222333232在 RtSCE中,SESC 2CE223在 RtSCF 中,SFSC 2CF2424230又EF6 ,SSEF3由于VCSEFVSC

10、EF1SSEFh,即13h233,解得33C 1故 CD 与 SE 间的距离为233. 考点 3 直线到平面的距离例 3 如图,在棱长为2 的正方体AC 中, G 是 1AA 的中点,求 1BD 到平面GB 1D 1的距离 . 思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. D1O 1B 1解答过程 ：解析一BD 平面GB 1D 1,A 1BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求H C 点 O 平面GB 1D 1的距离 , G D B 1D 1A 1C 1,B 1D 1A 1A,B 1D 1平面A 1ACC 1, A O B 又B 1D 1平面GB 1D

11、1平面A 1ACC 1GB 1D 1,两个平面的交线是O1G, 作OHO 1G于 H,就有 OH平面GB 1D 1,即 OH 是 O 点到平面GB 1D 1的距离 . 在O1 OG中,SO 1OG1O1 OAO1222. 22又SO1 OG1OHO 1G13OH2,OH236. 22即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 解析二BD 平面GB 1D 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载, BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求点B 平面GB 1D 1的距离 . 设点 B 到平面GB 1D 1的距离为 h,

12、将它视为三棱锥BGB 1D 1的高,就VBGB 1D1VD 1GBB1,由于SGB1D 112236,VD 1GBB11122242323h426,63即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 小结 ：当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是依据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角AOC可以通过 RtAOB以直线 AO 为轴旋转例 4 如图,在 RtAOB中,OAB,斜边AB4 Rt6得到,且二面角BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点AD（I）求

13、证：平面 COD平面 AOB；（II）求异面直线AO 与 CD 所成角的大小解答过程 ：（I）由题意, COAO , BOAO ,BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,zOEBCOBO ,又AOBOO,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOBAO,A C（II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DECDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角D在 RtCOE中,COBO2,OE1BO1,CECO2OE252又DE1AO3在 RtCDE中,tanCDECE515xCOBy2DE33异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctan153小结 ：

14、求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直名师归纳总结 线上挑选“ 特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二；补形法：把空间第 6 页,共 9 页图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特殊留意异面直线所成的角的范畴：0 , . 2考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 S ABCD中,底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC

15、底面 ABCD 已知ABC 45,AB 2,BC 2 2,SA SB 3S（）证明 SA BC ；（）求直线 SD与平面 SAB所成角的大小C解答过程：（） 作 SOBC,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC B 底 面D AA B,得 SO 底面 ABCD 由于 SA SB,所以 AO BO ,S又ABC 45, 故A O B 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,AOBO,由三垂线定理,得 SABCC OB（）由（）知 SABC,依题设 ADBC,D A故 SAAD,由 AD BC 2 2,SA 3,AO 2,2得 SO 1,SD 11SA B 的面积 S 1 1 AB SA 2 1 A

16、B 22 2连结 DB ,得DAB 的面积 S 2 1 AB AD sin135 22设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于 V D SAB V S ABD,得 1h S 1 1 SO S,解得 h 23 3设 SD 与平面 SAB所成角为,就 sin h 2 22SD 11 11所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为 arcsin 2211小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1）先判定直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,名师归纳总结 运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.

17、 C P C Q A Q 考点 6 二面角CB ,例 6如图,已知直二面角PQ, APQ , B,C, CABAP45,直线 CA 和平面所成的角为 30 （I）证明 BCPQ（II）求二面角 BACP 的大小B P H A 第 7 页,共 9 页过程指引 ：（I）在平面内过点 C 作 COPQ于点 O ,连结 OB O B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由于,PQ ,所以 CO,又由于 CA CB ,所以 OA OB 而 BAO 45,所以 ABO 45,AOB 90,从而 BOPQ,又 COPQ,所以 PQ 平面 OBC 由于

18、 BC 平面 OBC ,故 PQBC（II）由（ I）知, BOPQ,又,PQ ,BO,所以 BO 过点 O 作 OHAC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BHAC故BHO 是二面角 B AC P 的平面角由（ I）知, CO,所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角,就 CAO 30,不妨设 AC 2,就 AO 3,OH AO sin 30 32在 RtOAB 中 ,ABO BAO 45, 所 以 B O A O 3, 于 是 在 RtBOH 中 ,BO 3t a n BHO故二面角 B AC P 的大小为 arctan2 OH 32小结 ：此题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是

19、确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发觉棱；解法二就是利用平面对量运算的方法,这也是解决无棱二面名师归纳总结 角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面对量运算的方法求出二面角的大小A 1. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图,已知ABCDA B C D 是棱长为 3的正方体,D 1点 E 在AA 上,点 F 在CC 上,且AEFC11C 1B 1E垂 足 为（1）求证：E, , ,D1四点共面；FMA（2）如点 G 在 BC 上,BG2

20、,点 M 在BB 上, GMBF,CDHGB3H ,求证： EM 平面BCC B ；第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载D 1B 1A 1第 9 页,共 9 页（3）用表示截面EBFD 和侧面BCC B 所成的锐二面角的大小,求tan过程指引 ：（1）如图,在DD 上取点 N ,使DN1,连结 EN , CN ,就AEDN1,CFND 12C1由于 AEDN,ND1CF,所以四边形ADNE ,CFD N 都为平行四FNME边形从而ENAD,FD1CNDA又由于 ADBC,所以 ENBC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此CHGB推知 CNBE,从而FD1BE因此,E, ,F,D 1四点共面（2）如图, GMBF,又 BMBC,所以BGMCFB,BMBGtanBGMBGtanCFBBGBC231CF32BF于是EHM由于 AEBM,所以 ABME 为平行四边形,从而ABEM又 AB 平面BCC B ,所以 EM 平面BCC B （3）如图,连结 EH 由于 MHBF,EMBF,所以 BF 平面 EMH ,得 EH是所求的二面角的平面角,即EHM由于MBHCFB,所以MHBMsinMBHBMsinCFBBMBCCF21323223,tanEM13MHBC213- - - - - - -