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含参函数单调性教学案例修改稿.pdf

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1、含参函数单调性教学案例河北省昌黎汇文二中李建文设计思路：本节课是学生学习了导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数，基本掌握了利用导数知识判断函数的单调性及求函数的单调区间的方法，了解了导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具。为进一步加深对知识的理解和运用，设计一个微专题，对含有参数的函数的单调性问题进行多维探究，从对函数单调性研究，到已知函数单调性确定参数问题，来理解函数单调性与导数的关系，以及导数作为研究函数性质的工具性和重要性。【典例 1】已知函数3()1f xxax,若函数()f x是 R上的增函数，求实数a的取值范围；【解析】由已知2()30fxxa在（，）上恒成立(方法一

2、)min()fx=(0)f=-a0a0(方法二)23axxR对恒成立。而230 x0a变式 1：函数()fx不变，若函数()f x在区间1（，）上为增函数，求a的取值范围；【解析】等价于()0fx在1（，）恒成立，即230 xa在1（，）恒成立，即23ax的最小值 3，所以a的取值范围为,3变式 2：若函数()fx在区间(1,1)上为减函数，求a的取值范围；【解析】等价于()0fx在(1,1)恒成立，即230 xa，由23ax恒成立得3a，所以a的取值范围为3,变式 3：若函数()fx的单调递减区间为(1,1)，求a的值；【解析】1,1()0fx是方程的两个根，即313a所以3a.变式 4：若

3、函数()fx在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围【解析】等价于()0fx在(1,1)有解且非偶次重根，从而3013aa且，又0a时，2()30fxx，()fx单调，从而a的取值范围为0,3。变式 5：讨论()fx的单调性。【解析】2()3fxxa.1)当0a时，()0fx，()f x在 R上单调递增；2)当0a时，令230 xa，得33ax；当x33a或33ax时，()0fx；当3333aax时，()0fx。所以，()fx在（33,33aa）上为减函数，在（3,3a），3(,)3a上为增函数。综上，0a时，()f x在 R上单调递增；0a时，()f x在（33,33aa）上为减函数，在（3

4、,3a），3(,)3a上为增函数。【反思感悟】1、已知函数的单调性求参数的问题，通常转化为含参数的不等式恒成立问题，基本思想一是将参数视作常数直接求解，二是分离变量变为不含参数的间接求解，即转化为新产生的函数的“最值或值域”问题（本质是“确界”问题）。特别是超越函数，利用导数研究是很普遍的。2、含参数的函数的单调性，通常归结为含参数不等式的解集问题，需要针对具体情况进行讨论，并始终要注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准。【典例 2】（感悟高考-2016 全国卷 21 题第一问）已知函数2)1(2)(xaexxfx）（.讨论()f x的单调性；【解析】()(1)2(1)(1)(2)xx

5、fxxea xxea（i）当0a时，则当1x时，()0fx；当1x时，()0fx故函数()f x在(,1)单调递减，在(1,)单调递增（ii）当0a时，由()0fx，解得：1x或ln(2)xa若ln(2)1a，即2ea，则xR，()(1)()0 xfxxee故()f x在(,)单调递增若ln(2)1a，即2ea，则当(,ln(2)(1,)xa时，()0fx；当(ln(2),1)xa时，()0fx文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T

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8、7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M

9、5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L

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12、R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9故函数在(,ln(2)a，(1,)单调递增；在(ln(2),1)a单调递减若ln(2)1a，即2ea，则当(,1)(ln(2),)xa时，()0fx；当(1,ln(2)xa时，()0fx；故函数在(,1)，(ln(2),)a单调递增；在(1,ln(2)a单调递减【巩固练习】1、若函数32()f xxbxcxd的单调减区间为(1,2)，则bc【答案】3,62（转化为-1

13、,2 是导函数的两个零点，利用韦达定理即可求解）2、已知函数3()31f xxax（0a），在1x处取得极值，直线ym与()yf x的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。【答案】(3,1)解析：2()33fxxa，由已知，(1)0f，解得1a.3()31f xxx，利用导数求单调区间进而求得()(1)1,(1)3f xff的极大值极小值.结合图象可知m 的取值范围为(3,1).3、（2016 年高考新课标卷文科12 题）若函数1()sin2sin3f xxxax在(,)单调递增，则a的取值范围是。（A）1,1（B）11,3（C）1 1,3 3（D）11,3【答案】C 解析：2245()1c

14、os2coscoscos333fxxaxxax.由已知，须()0fx在 R上恒成立，令c o stx，转化成245033tat在1,1恒成立，即()h t=245033tat恒成立，进而只需(1)0(1)0hh且，解得1133a，选 C.4、（2017 全国卷11）已知函数211()2()xxf xxxa ee有唯一零点，则a=A12B13C12D1【答案】C文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2

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21、Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9【解析】试题分析：函数的零点满足2112xxxxa ee，解法 1、设11xxg xee，则211111111xxxxxxegxeeeee，当0gx时，1x，当1x时，0gx，函数g x单调递减，当1x时，0gx，函数g x单调递增，1x当时，函数取得最小值(1)2g，2()2h xxx设，当1x时，函数取得最小值-1，若0,a函数()h x与函数()ag x没有交点，若0a，(1)(1)

22、agh时，函数()h x与函数()ag x有一个交点，即121,2aa解得.故选 C.解法 2、令1tx，则2()()()1,ttf xtta eetR.易知()t为偶函数，因为有唯一零点，1(0)0,2a从而.选 C 5、（2016 年山东高考）设f(x)=xlnx ax2+(2a 1)x，aR.()令 g(x)=f(x)，求 g(x)的单调区间；()已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.解析：()由ln22,fxxaxa可得ln22,0,g xxaxa x，则1122axgxaxx，当0a时，0,x时，0gx，函数g x单调递增；当0a时，10,2x

23、a时，0gx，函数g x单调递增，1,2xa时，0gx，函数g x单调递减.文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y

24、4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2

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30、调递减区间为1,2a.()由()知，10f.当0a时，0fx，fx单调递减.所以当0,1x时，0fx，fx单调递减.当1,x时，0fx，fx单调递增.所以fx在 x=1 处取得极小值，不合题意.当102a时，112a，由()知fx在10,2a内单调递增，可得当当0,1x时，0fx，11,2xa时，0fx，所以fx在(0,1)内单调递减，在11,2a内单调递增，所以fx在 x=1 处取得极小值，不合题意.当12a时，即112a时，fx在(0,1)内单调递增，在1,内单调递减，所以当0,x时，0fx，fx单调递减，不合题意.当12a时，即1012a，当1,12xa时，0fx，fx单调递增,当1,x

31、时，0fx，fx单调递减，所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a.6、（2016 年全国 I 卷高考）已知函数错误！未找到引用源。.(II)若错误！未找到引用源。有两个零点，求a的取值范围.【解析】（）（i）当0a时，由（）知，函数()fx在(,1)单调递减，在(1,)单调递增文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4

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35、7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M

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38、CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9又(1),(2)fe fa，取实数b满足0b且ln2ab，则223()(2)(1)()022af bba ba bb()f x有两个零点（ii）若0a，则()(2)xf xxe，故()fx只有一个零点（iii）若0a，由（I）知，当2ea，则()f x在(1,)单调递增，又当1x时，()0f x，故()f x不存在两个零点；当2ea，则函数在(ln(2),)a单调递增；在(1,ln(2)a单调递减又当1x时，()0f x，故不存在两个零点

39、综上所述，a的取值范围是0,【教学反思】1、本节课通过一个不太复杂的含参数三次函数的单调性问题的探究，充分调动学生思维，以较少的运算量，较多的思维量完成本课题的教学任务，让学生掌握导数解决函数单调性相关问题的方法。典例 1 通过不断改变设问，让学生全方位了解高考命题角度、概念的理解和应用，逐步引导学生对问题的观察、思考、比较、猜想和探究，帮助学生经历数学概念和方法的形成、发展过程，形成正确的数学学习观。典例 2 是 2016 年高考新课标文科21 题第一问，考查的是超越函数。通过高考原题，让学生感悟高考。2、倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，变式练习让学生独立思考之后通过投影、板书形式展示

40、解题成果，锻炼了学生表达能力，展示讲解的过程能同时暴露学生思维过程及书写是否规范，期间发现学生多种思考角度，及时给予指正表扬，激发学生思考积极性。3、巩固练习第4 题的解法2 会让人耳目一新，通过观察函数结构特点，采取换元的方法，构造出一个偶函数，回避了复杂的分类讨论。但是不具有普适性。4、学生对多项式函数掌握情况较好，对超越函数心存畏惧，需加强指导。文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F1L9文档编码:CZ10Y4R10Z2T8 HS4Z3D9Z2R7 ZT6M5G5F

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4.3 金币

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