复合函数的零点问题.pdf

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1、精品资料欢迎下载复合函数的零点问题I 题源探究黄金母题【例 1】设函数1,0,()11,11xxaafxxaxa（a为常数且0,1a）若0 x是ffxx的零点但不是fxx的零点，则称0 x为()f x的二阶周期点，求函数()f x的二阶周期点【答案】函数()f x有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaa【解析】2222221,0,1(),(1)()1(),1,(1)1(1),11.(1)xxaaaxaxaaaff xxa axaaax aaxaa当20 xa时，由21xxa解得0 x，由于00f，故0 x不是fx的二阶周期点；当2axa时，由1()(1)axxaa解得21axaa

2、2(,),aa因222211()1111aaafaaaaaaaaa，故21axaa是()f x的二阶周期点；当21axaa时，由21()(1)xaxa解得12xa2(,1)a aa，因精彩解读【试题来源】2013 年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题第 1 页，共 25 页精品资料欢迎下载111112122faaaa故12xa不是()f x的二阶周期点；当211aax时，1(1)(1)xxaa解得211xaa

3、2(1,1)aa，因22221111()(1)11111afaaaaaaaaa，故211xaa是()f x的二阶周期点综上：函数()f x有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaaII 考场精彩真题回放【例 2】【2017 年高考江苏卷】设()f x 是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1)上，2,(),xxDf xxxD其中集合1,*nDx xnnN，则方程()lg0f xx的解的个数是 【答案】8【解析】由于()0,1)f x，则需考虑110 x的情况在此范围内，xQ且xZ时，设*,2qxp qppN，且,p q互质若lg xQ，则由lg(0,1)x，可设*lg,2nxm n

4、mmN，且,m n互质因此10nmqp，则10()nmqp，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg xQ因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大【难点中心】解答此类问题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题第 2 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 Z

5、S2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6

6、J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档

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11、10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3精品资料欢迎下载图中交点除1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且1x处11lg1ln10ln10 xx，则在1x附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8【例 3】【2015 年高考天津】已知函数22,2,2,2,

12、xxfxxx函数2g xbfx，其中bR，若函数yfxg x恰有 4个零点，则b的取值范围是（）A7,4 B 7,4 C 70,4 D 7,24【答案】D【解析】由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0 x xfxxx，222,0()(2)42,0222(2),2xxxyf xfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyf xfxxxxx()()()(2)yf xg xf xfxb，所以yfxg x恰有 4 个零点等价于方程()(2)0f xfxb有 4 个不同的解，即函数yb与函数()(2)yf xfx的图象的4 个公共点，由图象可知724b第 3 页，共

13、25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档

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20、过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为yfg x2复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值例如：已知22,xfxg xxx，计算2gf【解析】2224f，2412gfg3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值例如：已知2xfx，22g xxx，若0gf x，求x由上例可得，要想求出0gf x的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义4函数的零点：设fx的定义域为D，若存在0 xD，使得00fx，则称0 x

21、x为fx的一个零点5复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程0gfx根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为0gf x的根的个数IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大【技能方法】求解复合函数ygfx零点问题的技巧：第 4 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2

22、F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8

23、Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码

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28、Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3精品资料欢迎下载（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出,fxg x的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx的方程0gf x中fx解的个数，再根据个数与fx的图像特点，分配每个函数值ifx被几个x所对应，从而确定ifx的取值范围，进而决定参数的范围【易错指导】1函数零点忽视单调性的存

29、在例如：若函数f(x)在区间 2，2 上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2，2)内有一个零点，则f(2)f（2）的值()A大于 0 B 小于 0 C等于 0 D 不能确定解答：若函数f(x)在(2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(2)f（2）0，因此选D易错警示：警示 1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区

30、间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(2，2)内有一个零点时，f(2)f（2）的符号不能确定2要注意对于在区间a，b 上的连续函数f(x)，若 x0是 f(x)的零点，却不一定有f(a)f(b)0，即f(a)f(b)0仅是 f(x)在a，b 上存在零点的充分条件，而不是必要条件注意以下几点：满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点由函数)(xfy在闭区间,a b上有零点不一定能推出)(af)(bf0，如图所示所以)(af)(bf0是)(xfy在闭区间,a b上

31、有零点的充分不必要条件注意：如果函数在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间,a b上是一个单调函数，那么当)(af)(bf0时，函数在区间),(ba内有唯一的零点，即存在唯一的(,)ca b，使0)(cf如果函数在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，并且有)(af)(bf0，那么，函数在区间),(ba内不一定没有零点如果函数在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间),(ba内有零点时不fxfxfxfxfxfxfx第 5 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7

32、B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N1

33、0Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS

34、2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J

35、8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编

36、码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C

37、5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10

38、N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3精品资料欢迎下载一定有)(af)(bf0，也可能有)(af)(bf0V举一反三触类旁通【例 1】【2018 四川绵阳一诊】函数满足，且当时，若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4 个交点，则的取值集合为（）A B C D【答案】C【例 2】【2018 南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在

39、上的偶函数，且，当时，若在区间内关于的方程（且）有且只有 4 个不同的根，则实数的取值范围是（）A B C D【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a 的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B，点C下面穿过就有4 个零点，所以解得，选 D【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与 y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有

40、4 个交点，求出参数a的范围第 6 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B

41、4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10

42、Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2

43、F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8

44、Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码

45、:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5

46、S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3精品资料欢迎下载【例 3】【2018 河南天一大联考】已知函数若关于的方程有3 个实数根，则实数的取值范围是（）A

47、B C D【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有 3 个，实数的取值范围是，选 D【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等【例 4】【2018 广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数3log,034,3xxfxxx，若函数2h xfxmx有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A1,12 B1,1,2 C1,1,2 D1,12【答案】A A（0，2），B（3，1），C（4，0），则g（x）的图象介

48、于直线AB和AC之间，介于kABm kAC，可得12第 7 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5

49、S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N

50、9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B