2021年高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程.pdf

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1、第四章圆与方程知识点与习题1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设 M（x,y）为 A上任意一点，则圆的集合可以写作：P=M|MA|=r 2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外;当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内;（2）一般方程022FEyDxyx（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （0422FED）当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2

2、ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设 直 线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆 心baC,到l的 距 离 为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交

3、与Clrd|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 1 页，共 11 页（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3)过 圆 上一 点 的切 线 方 程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆 上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两 圆 半径的和（差），与圆心距（d）

4、之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆 C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆 C2公共弦所在的直线方程；若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆 C2的公切线的方程；若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意

5、一点向两个圆引切线，得到的 切线长相等（反之，亦成立）6、已知一直线与圆相交，求弦的长度代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用 两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用 两点间的距离公式求弦长两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24 条外切1+23 条相交|1-2|1+22 条内切|1-2|1 条内含|1-2|0 条|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 2 页，共 11 页文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2

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8、4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6

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13、)=0 （）若圆 C1与圆 C2交于 P1、P2点，那么，方程（）代表过P1、P2两点的圆的方程。若圆 C1与圆 C2交于 P点（一个点），则方程（）代表过P点的圆的方程。9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论10、空间直角坐标系1、点 M对应着唯一确定的有序实数组),(zyx，x、y、z分别是 P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组),(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点

14、M 的坐标都可以用有序实数组),(zyx来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M),(zyx，x叫做点 M的横坐标，y叫做点 M的纵坐标，z叫做点 M的竖坐标。11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),(1111zyxP到点),(2222zyxP之间的距离公式22122122121)()()(zzyyxxPP|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 3 页，共 11 页文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10

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22、在的直线方程为()A3xy50 B3xy7 0Cx3y50 Dx3y1 0解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，2)，由直线的两点式方程得y212x121，即 3xy 50.答案：A3若直线(1 a)xy10 与圆x2y22x0 相切，则a的值为()A1，1 B2，2C1 D 1解析：圆x2y2 2x 0 的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得|1 a01|1a2 1 1，即|a 2|a121，平方整理得a 1.答案：D4经过圆x2y210 上一点M(2，6)的切线方程是()Ax6y10 0 x2y100Cx6y10 0 D2x6y10 0解析：点M(2，6)在圆x2y210 上，kOM62，

23、过点M的切线的斜率为k63，故切线方程为y663(x2)，|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 4 页，共 11 页文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6

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30、)B(3，3，1)C(3，3，1)D(3,3,1)解析：点M(3，3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)答案：D6 若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，2,5)关于y轴对称的点，则|AC|()A5 C10 解析：依题意得点A(1，2，3)，C(2，2，5)|AC|212 2225 3213.答案：B7若直线ykx1 与圆x2y21 相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为坐标原点)，则k的值为()或3 和2解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线ykx 1 的距离为12，11k212，k3.答案：C8与圆O1：x2y24x4y70 和圆O2：x2y24x10y1

31、30 都相切的直线条数是()A4 B3C2 D1解析：两圆的方程配方得，O1：(x2)2(y 2)21，O2：(x2)2(y5)216，圆心O1(2,2)，O2(2,5)，半径r11，r24，|O1O2|2225225，r1r2 5.|O1O2|r1r2，两圆外切，故有3 条公切线答案：B|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 5 页，共 11 页文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G

32、9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3

33、 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4

34、文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F

35、9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2

36、H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8

37、B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M

38、1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B49直线l将圆x2y22x4y0 平分，且与直线x2y0 垂直，则直线l的方程是()A2xy0 B2xy2 0Cx2y30 Dx2y3 0解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k2，l的方程为y22(x1)，即 2xy 0.答案：A10圆x2y2(4m2)x2my4m2 4m1 0 的圆心在直线xy40 上，那么圆的面积为()A9 B C2 D 由m的值而定解析：x2y2(4m2)x2my4m24m10，x(2m1)2(ym)2m2.圆心(2m1，m

39、)，半径r|m|.依题意知2m1m40，m1.圆的面积S12.答案：B11当点P在圆x2y21 上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A(x 3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x 3)24y21解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，则xx132，yy12，x12x3，y1 2y.又点P(x1，y1)在圆x2y21 上，(2x 3)24y21.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x3)24y21.答案：C12曲线y14x2与直线yk(x2)4 有两个交点，则实数k的取值范围是()A(0，512)B(512，)

40、C(13，34 D(512，34解析：如图所示，曲线y14x2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 6 页，共 11 页文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:C

41、T6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP

42、5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2

43、S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码

44、:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9

45、HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 Z

46、T2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4变形为x2(y1)24(y1)，直线yk(x2)4 过定点(2,4)，当直线l与半圆相

47、切时，有|2k 41|k212，解得k512.当直线l过点(2,1)时，k34.因此，k的取值范围是5120.故方程表示圆心为(k，2k5)，半径为5|k1|的圆设圆心的坐标为(x，y)，则xk，y 2k5，消去k，得 2xy50.这些圆的圆心都在直线2xy50 上(2)证明：将原方程变形为(2x 4y10)k(x2y210y20)0，上式对于任意k 1 恒成立，2x 4y100，x2y210y20 0.解得x1，y 3.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 10 页，共 11 页文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3

48、 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4

49、文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F

50、9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2H3 ZT2S10A9D8B4文档编码:CT6V4M1F9G9 HP5Q6V2B2