2021年江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记.pdf

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1、1/23 第 20 讲函数与方程一课标要求：1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数

2、为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。二次函数)0(2acbxaxy的零点：），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两

3、个零点；），方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

4、二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax）；精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 1 页，共 23 页2/23 若)(1xf)(bf0，f(x)在区间p，q上的最大值M，最小值m，令x0=21(p+q)。若ab2p，则f(p)=m，f(q)=M；若pab2x0，则f(ab2)=m，f(q)=M；若x0ab2q，则f(p)=M，f(a

5、b2)=m；若ab2q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0 的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0 的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb二次方程f(x)=0 在区间(p，q)内有两根;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb二次方程f(x)=0 在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。四典例解析题型 1：方程的根与函数零点例 1方程 lgx+x=3的解所在区间为（）A(0，1)B(1，2

6、)C(2，3)D(3，+)题型 2：零点存在性定理例 2若函数)(xfy在区间 a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf；B若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf；C若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf；精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 2 页，共 23 页文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档

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10、2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5

11、S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B

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13、B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S2文档编码:CD4B1H7W4B6 HV3U2L10N10Q8 ZT5R10X8B5S23/23 D若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf；题型 3：二分法的概念例 3方程0)(xf在0，1 内的近似解，用“二分法”计算到445.010 x达到精确度要求。那么所取误差限是（）A0.05 B0.005 C0.0

14、005 D 0.00005 解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.010 x时，精度达到445.010 x。此时差限是 0.0005，选项为C。点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。题型 4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 4 借助计算器，用二分法求出xx32)62ln(在区间（1，2）内的近似解（精确到 0.1）。解析：原方程即023)62ln(xx。令23)62ln()(xxxf，用计算器做出如下对应值表x 2 1 0 1 2 f(x)2.5820 3.0530 27918 1.0794 4.6974 观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点1x=

15、1.5，且00.1)5.1(f，从而，可知零点在（1，1.5）内；再取区间中点2x=1.25，且20.0)25.1(f，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；同理取区间中点3x=1.375，且0)375.1(f，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1 后都是 1.3。故结果是1.3。点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例 5设f xaxbxc a20，方程f xx0的两个根xx12,满足1210 xxa.当xx01,时，证明xf xx1。证

16、明：由题意可知)()(21xxxxaxxf，axxx1021,0)(21xxxxa,当xx01,时，xxf)(。又)1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf,011,0221axaxaxxx且1)(xxf,综上可知，所给问题获证。变式 已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；（2）如果21x，212xx，求b的取值范围.精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 3 页，共 23 页文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P

17、8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1

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24、 上是增函数，求实数的取值范围。解析：()设函数yfx 的图象上任意一点00,Q xy关于原点的对称点为,P x y，则00000,2.0,2xxxxyyyy即点00,Q xy在函数yfx的图象上22222,2yxxyxxg xxx，即故()由21210g xfxxxx，可得当1x时，2210 xx，此时不等式无解。当1x时，2210 xx，解得112x。因此，原不等式的解集为11,2。（）212 11h xxx1411,1h xx当时，在上是增函数，111.1x当时，对称轴的方程为）111,1.1当时,解得）111,10.1当时,解得0.综上，点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本

25、性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 4 页，共 23 页文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y

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31、9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K95/23 五思维总结1函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方

32、程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。（1）二次函数的一般式cbxaxy2)0(c中有三个参数cba,.解题的关键在于：通过

33、三个独立条件“确定”这三个参数。（2）数形结合：二次函数0)(2acbxaxxf的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数0)(2acbxaxxf在区间2,(ab和区间),2ab上分别单调，所以函数xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(xf在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。【课后提高】1、设方程2210 xx的根为,则（）A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)2、方程223xx的实数解的个数为()A2 B3 C1 D4 3、函数()26lnf xxx的

34、零点一定位于下列哪个区间()A.(1,2)B.(2,3)C.3,4 D.4,54、若方程2ax2x1=0 在 x（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是（）Aa1 C 1a1 D070，得 n9.4，取 n=10。所以到 2010 年可以收回全部投资款。变式 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图210 中（2）的抛物线表示.（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）；（2）认定市场售价减去种植

35、成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 9 页，共 23 页文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2

36、ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档

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38、Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X

39、2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9

40、文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G

41、10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K910/23（注：市场售价和种植成本的单位：元102，g，时间单位：天）题型 4：指数、对数型函数例 5有一个湖泊受污染，其湖水的容量为

42、V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。用)0()0()(perpgrptgtvr，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），)0(g表示湖水污染初始质量分数。（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析rpg)0(时，湖水的污染程度如何。解析：（1）设210tt，因为)(tg为常数，)()(21tgtg，即0)0(21tvrtvreerpg，则rpg)0(；（2）设210tt，)()(21tgtg)0(21tvrtvreerpg=2112)0(ttvrtvrtvreeerpg因为0)0(r

43、pg，210tt，)()(21tgtg。污染越来越严重。点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数1,10aa两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”变式 现有某种细胞100 个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1 个细胞分裂成2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301）.五思维总结1将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数

44、增长等不同函数类型增长的含义。2怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心

45、整理-欢迎下载-第 10 页，共 23 页文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8

46、I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:CP3F1G9G10Y2 HL3S7P8J1X2 ZY8I4B1F6K9文档编码:

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