复变函数留数理论及其应用知识点总结.pdf
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1、第六章 留数理论及其应用1.留数1.（定理 6.1 柯西留数定理）：?(?)?=?(?(?),?)?=?2.（定理 6.2）：设 a 为 f(z)的 m 阶极点，?(?)=?(?)(?-?)?,其中?(?)在点 a 解析，?(?)?，则?(?(?),?)=?(?-?)(?)(?-?)!3.（推论 6.3）：设 a 为 f(z)的一阶极点，?(?)=(?-?)?(?),则?(?(?),?)=?(?)4.（推论 6.4）：设 a 为 f(z)的二阶极点?(?)=(?-?)?(?)则?(?(?),?)=?(?)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：?(?(?),)=?(?)?-=
2、-?-?即，?(?(?),)等于 f(z)在点的洛朗展式中?这一项系数的反号7.（定理 6.6）如果函数 f(z)在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为?,?,?,则 f(z)在各点的留数总和为零。注：虽然 f(z)在有限可去奇点 a 处，必有?(?(?),)=?，但是，如果点 为 f(z)的可去奇点（或解析点），则?(?(?),)可以不为零。8.计算留数的另一公式：2?(?(?),)=-?(?(?)?,?)2.用留数定理计算实积分一.?(?,?)?型积分 引入?=?注：注意偶函数二.?(?)?(?)?+-型积分1.（引理 6.1 大弧引理）：?上?+?(?)=?则?+
3、?(?)?=?(?-?)?2.（定理 6.7）设?(?)=?(?)?(?)为有理分式，其中?(?)=?+?-?+?+?(?)?(?)=?+?-?+?+?(?)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m2;（2）Q(z)没有实零点于是有?(?)?=?(?(?),?)?+-注：?+?(?)?+?-?可记为?.?.?(?)?+-三.?(?)?(?)?+-型积分3.（引理 6.2 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周?:?=?(?，?充分大)上连续，且?+?(?)=?在?上一致成立。则?+?(?)?=?4.（定理 6.8）：设?(?)=?(?)?(?)，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件
4、：文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3
5、G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C
6、7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W
7、8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9
8、Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A
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10、8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A53（1）Q 的次数比 P 高；（2）Q 无实数解；（3）m0 则有?(?)?=?(?(?)?,?)?+-特别的，上式可拆分成：?(?)?(?)+-?及?(?)?(?)+-?四.计算积分路径上有奇点的积分5.（引理 6.3 小弧引理）：?:?-?=?(?-?)?(
11、?)=?于?上一致成立，则有?(?)?=?(?-?)?五.杂例六.应用多值函数的积分3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数1.对数留数：?(?)?(?)?2.（引理 6.4）：（1）设 a 为 f(z)的 n 阶零点，则 a 必为函数?(?)?(?)的一阶极点，并且?(?)?(?),?=?;（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数?(?)?(?)的一阶极点，并且?(?)?(?),?=-?3.（定理 6.9 对数留数定理）：设 C是一条周线，f(z)满足条件：（1）f(z)在 C的内部是亚纯的；（2）f(z)在 C上解析且不为零。文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G
12、9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E1
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