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2022年2001考研数三真题及解析 .pdf

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文档编号：56633305

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1、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1)设生产函数为QAL K,其中Q是产出量,L 是劳动投入量,K 是资本投入量,而A,均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为(2)某公司每年的工资总额比上一年增加20的基础上再追加2 百万.若以tW表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则tW满足的差分方程是_(3)设矩阵111111,111111kkAkk且秩(A)=3,则k=(4)设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为 1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式-6PXY.(5)设总体 X服从正态分布2(0,0.2),N而1215,XXX是来自总体 X的简单

2、随机样本，则随机变量221102211152XXYXX服从 _分布，参数为_ 二、选择题(1)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又()lim1,xafxxa则()(A)x=a 是f(x)的极小值点.(B)x=a 是f(x)的极大值点.(C)(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点.(2)设函数0()(),xg xf u du其中21(1),012(),1(1),123xxf xxx则g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续(3)设1112131414131211212223242423

3、222113132333434333231414243444443424100010100,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa210000010,01000001P其中A 可逆,则1B等于()(A)112A PP(B)112PA P(C)112PP A(D)121P A P.(4)设A 是n 阶矩阵，是n维列向量.若秩0TA秩(A)，则线性方程组()(A)AX=必有无穷多解()BAX=必有惟一解.()C00TAXy仅有零解()D00TAXy必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数

4、等于()(A)-1(B)0(C)12(D)1 三、(本题满分 5 分)设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:2xyexy和0sin,xzxtedtt求dudx四、(本题满分 6 分)已知f(x)在(-,+)内可导,且lim(),xfxe lim()lim()(1),xxxxcf xf xxc求c的值.五、(本题满分 6 分)求二重积分221()21xyDyxedxdy的值,其中D 是由直线y=x,y=-1及x=1围成的平面区域六、(本题满分 7 分)已知抛物线2ypxqx(其中p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的

5、平面图形的面积为S.(1)问p和q为何值时，S达到最大?(2)求出此最大值.七、(本题满分 6 分)设f(x)在区间 0,1 上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).xfkxef x dxk证明：存在(0,1),使得1()2(1)().ff文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C

6、2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10

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12、S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8文档编码:CT5F10U4Q3U9 HN7V2Q5K4Y10 ZU8S6L10C2O8八、(本题满分 7 分)已知()nfx满足1()()nxnnfxfxxe(n为正整数)且(1),nefn求函数项级数1()nifx之和.九、(本题满分 9 分)设矩阵11111,1.112aAaa已知线性方程组AX=有解但不唯一,试求:(1)a的值;(2)正交矩阵 Q,使TQ AQ为对角矩阵.十、(本题满分 8 分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，ijA是ijn nAa中元素ija的代数余子式(i,j=

13、1,2,n)，二次型1211(,).nnijnijijAf x xxx xA(1)记12(,),nAx xx把1211(,).nnijnijijAf x xxx xA写成矩阵形式，并证明二次型()f X的矩阵为1A;(2)二次型()Tg XX AX与()f X的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分 8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为 5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(2)=0.977,其中(x)是标准正态分布函数).十二、(本题满分 8 分)设

14、随机变量 X 和Y 对联和分布是正方形G=(x,y)|1 x3,1y3上的均匀分布，试求随机变量U=X-Y 的概率密度().p u文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6

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21、数学三试题解析一、填空题(1)【答案】【使用概念】设yfx在x处可导，且0fx，则函数y关于x的弹性在x处的值为EyxxyfxExyfx【详解】由QAL K，当1Q时，即1AL K，有1,KAL于是K关于L的弹性为：EKELLKK11dALLdLAL111ALLAL(2)【答案】11.22tW【详解】tW表示第t年的工资总额，则1tW表示第1t年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得tW满足的差分方程是：11(1 20)21.22tttWWW(3)【答案】-3【详解】方法 1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，

22、故对A进行初等变换111111111111kkAkk11111001(1)2,3,410101001kkkkkkk行分别加到行文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P1

23、0J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM

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29、kkkk列分别加到 1列可见只有当k=-3时，r(A)=3.故k=-3.方法 2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式0A.由111111111111kkAkk11111001(1)2,3,410101001kkkkkkk行分别加到行311101002,3,400100001kkkk列分别加到 1列3(3)(1)0,kk解得k=1或k=-3.当k=1时，1 1 111 1 111 1 111 1 11A111100001(1)2 3 400000000行分别加到，行可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k=-3.(4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：2()()D X

30、PXE X期望和方差的性质：()E XYEXEY；()2cov(,)D XYDXX YDY【详解】把XY看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.故()220E XYEXEY又相关系数的定义：cov(,)(,)X YX YDXDY则cov(,)(,)(0.5)141X YX YDXDY()2cov(,)12(1)43D XYDXX YDY所以由切比雪夫不等式：文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 Z

31、M3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6

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33、编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU1

34、0U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z

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37、10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L92()316()663612D XYPXYPXYE XY(5)【答案】F；(10,5)【所用概念】1.F分布的定义：12XnFYn其中21()Xn22()Yn2.2分布的定义：若1,nZZ相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N，则221()niiZn3.正态分布标准化的定义：若2(,)ZN u，则(0,1)ZuN【详解】因为2(0,2)1,2,15iXNi，将其标准化有0(0,1)22iiXX

38、N，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222XXXX由样本的独立性可知，2210122XX与22151122XX相互独立.故，根据F分布的定义22101221102222111515112210(10,5).2225XXXXYFXXXX故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布.二、选择题(1)【答案】B【详解】方法 1：由()lim1,xafxxa知lim()xafx()limxafxxaxa()limlimxaxafxxaxa1 00又函数()f x的导数在xa处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0fa

39、，于是有文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档

40、编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU1

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43、4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P

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45、M3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9()()()()limlim1,xaxafxfafxfaxaxa即()0fa，()10fa，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x在0 x处具有二阶导数且

46、0()0fx，0()0fx，当0()0fx时，函数()f x在0 x处取得极大值.知xa是()f x的极大值点，因此，正确选项为(B).方法 2：由()lim1,xafxxa及极限保号性定理：如果0limxxfxA，且0A(或0A)，那么存在常数0，使得当00 xx时，有0fx(或0fx)，知存在xa的去心邻域，在此去心邻域内()0fxxa.于是推知，在此去心邻域内当xa时()0fx；当xa时()0.fx又由条件知()f x在xa处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()fx在0 x处连续，且在0 x的某去心领域内可导，若00,xxx时，()0fx，而00,xxx时，()0fx，则()fx在

47、0 x处取得极大值，知()f a为()f x的极大值.因此，选(B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g(x)的表达式.当01x时，21()(1)2f xx，有()g x0 xfu du201(1)2xudu3001162xxuu311,62xx当12x时，1()(1)3f xx，有0()()xg xf u du101()()xf u duf u du120111(1)(1)23xuduudu1132010111116263xxuuuu221136x即3211,0162()211,1236xxxg xxx因为311112lim()lim623xxg xxx，211212lim()lim13

48、63xxg xx，文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G

49、9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编

50、码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10U6Q9Z8W3 HO4J4J6P10J5 ZM3N5D6G9L9文档编码:CU10

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4.3 金币

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