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2021年指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解).pdf

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文档编号：56640683

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1、指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质：（1）,mnm naaam nZ（2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3 a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn,1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn,1说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na；若0a则0na，若oa则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8

2、的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn,10000n；式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa4 a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann5例题分析：例 1求下列各式的值：（1）338（2）210（3）443（4）例 2已知,0baNnn,1，化简：nnnnbaba（二）分数指数幂精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 1 页，共 10 页1分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成

3、分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）nkknaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa，4554544aaa，2323aa4545aa即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即10,rsrsa aaar sQ20,srrsaaar sQ30,0,rrraba babrQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0

4、的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，aa.例 2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；例 3计算下列各式：（1）3451255（2）2320aaaa（三）综合应用精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 2 页，共 10 页文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10

5、B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H

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7、K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B

8、10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P

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10、E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI

11、5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9例 1化简：11555xxx.例 2化简：)()(41412121yxyx.例 3已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx；（2）3322xx.二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0 x时1y（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例

12、1求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 3 页，共 10 页文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4

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15、V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10

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19、）试证明：对于任意,()a f x在R为增函数；（2）试确定a的值，使()f x为奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做 a 为底N 的对数，记作bNalog，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即baN，logaNbaNb指数式Nab底数幂指数对数式bNalog对数的底数真数对数说明：1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0（负数与零没有对数）2对任意0a且1a,都有01alog 10a，同样：log1aa3如果把baN中的b写成logaN，则有logaNaN（对数恒等式）3介绍两种特殊的对数：常用对数：以10 作底10log

20、N写成lg N自然对数：以e作底为无理数，e=2.71828，logeN写成ln e例 2（1）计算：9log 27，精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 4 页，共 10 页文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W

21、4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:C

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24、1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码

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26、 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xx

27、x（3）求底数：3log 35x，7log 28x4对数的运算性质：如果a 0，a 1，M 0，N 0，那么（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnM nR例 3计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；5换底公式：logloglogmamNNa(a 0,a 1；0,1mm)证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abb

28、a；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）证明：（1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam例 4计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 5 页，共 10 页文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8

29、V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10

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32、K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B

33、10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P

34、5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4

35、E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9例 5已知18log9a，185b，求36log45（用a,b 表示）例 6设1643tzyx，求证：yxz2111四、对数函数1对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。（

36、3）对数函数性质列表：1 1 2xy2logyxyx（图 1）1 1 1()2xy12logyxyx（图 2）精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 6 页，共 10 页文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K

37、8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B1

38、0B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5

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40、9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5

41、B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1

42、P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9图象1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1

43、,0)，即当1x时，0y（4）在（0，+）上是增函数（4）在(0,)上是减函数例 1求下列函数的定义域：（1）2logxya；例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（3）log 5.1a，log 5.9a.例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；例 4已知log 4log 4mn，比较m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，44loglognm，1mn当01m，01n时，得44110l

44、oglogmn，44loglognm，01nm当01m，1n时，得4log0m，40log n，01m，1n，01mn综上所述，m，n的大小关系为1mn或01nm或01mn(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 7 页，共 10 页文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P

45、5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4

46、E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI

47、5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL

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49、W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:CI5B10B4L8U3 HL1P5H5T1V4 ZS1W4E9K8V9文档编码:

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4.3 金币

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