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2022年二用数学归纳法证明不等式2 .pdf

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1、第四讲数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式A 级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1Bn2 Cn3 Dn4 解析：由题意 n3 知应验证 n3.答案：C 2用数学归纳法证明“1121312n1n，(nN，n1)”时，由 nk(k1)不等式成立，推证nk1 时，左边应增加的项数是()A2k1B2k1 C2kD2k1 解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.故选 C.答案：C3用数学归纳法证明不等式1121412n112764(nN)成立，其初始值至少应取()A7B8 C9D10 解析：左边 1121412n1112n11

2、2212n1，代入验证可知 n 的最小值是 8.答案：B 4用数学归纳法证明“1n11n21n31nn1124(nN*)”时，由 nk 到 nk1 时，不等式左边应添加的项是()A.12（k1）B.12k112k2C.12k112k21k1D.12k112k21k11k2解析：当 nk 时，不等式为1k11k21kk1124.当 nk1 时，左边1（k1）11（k1）21（k1）（k1）1（k1）k1（k1）（k1）1k21k3 1kk12k112k2.比较 nk 与 nk1 的左边，可知应添加的项为12k112k21k1.文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O1

3、0V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O

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9、 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10答案：C 5若不等式1n11n212nm24对大于 1 的一切自然数n都成立，则自然数m 的最大值为()A12 B13 C14 D不存在解析：

10、令 f(n)1n11n212n，取 n2，3，4，5 等值发现 f(n)是单调递减的，所以 f(n)maxm24，所以由 f(2)m24，求得 m 的值故应选 B.答案：B 二、填空题6用数学归纳法证明2n1n2n2(nN)时，第一步的验证为_解析：当 n1 时，2111212，即 44 成立答案：21112127 在ABC 中，不等式1A1B1C9成立；在四边形 ABCD 中，不等式1A1B1C1D162成立；在五边形 ABCDE 中，不等式1A1B1C1D1E253成立猜想在 n 边形 A1A2An中，类似成立的不等式为_解析：由题中已知不等式可猜想：1A11A21Ann2（n2）(n3

11、且 nN*)文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10

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18、应用数学归纳法证明“11221321（n1）22n1n1(nN*)”时，从 nk 到 nk1，不等式左边增加的项是_解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从 12开始；二看“尾”，当 nk 时，尾项的分母为(k1)2，nk1 时尾项的分母为(k2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，(n1)这些数都是连续相差1 时因此，从nk到 nk1 只增加了一项，即1（k2）2(kN)答案：1（k2）2三、解答题9试证明：112131n2 n(nN)证明：(1)当 n1 时，不等式成立(2)假设 nk(k1，kN)时，不等式成立，即112131k2 k.那么 nk1 时

19、，112131k1k12 k1k12k（k1）1k1k（k1）1k1文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1

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26、1.这就是说，nk1 时，不等式也成立根据(1)(2)可知不等式对 nN成立10已知函数 f(x)13x3x，数列 an满足条件：a11，且 an1f(an1)，证明：an2n1(nN*)证明：由 f(x)13x3x，得 f(x)x21.因此 an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)当 n1 时，a11211，不等式成立(2)假设当 nk 时，不等式成立，即ak2k1，当 nk1 时，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又 k1，所以 22k2k1，所以 nk1 时，ak12k11，不等式成立根据(1)和(2)知，对任意 nN，an2n1 成立B 级能力提升1用数

27、学归纳法证明不等式1121312n1f(n)(n2，nN)的过程中，由 nk 到 nk1 时，左边增加了()A1 项Bk 项C2k1项D2k项解析：1121312k11 1121312k112k12k112k11，共增加了 2k项文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E

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33、K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP

34、1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10答案：D 2利用数学归纳法证明35（2n1）24（2n2）2n1时，n的最小取值 n0应为_解析：n01 时不成立，n02 时，32 3，再用数学归纳法证明，故 n02.答案：23已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 a112，an2SnSn10(n2)(1)判断1Sn是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S21S22 S2n1214n.(1)解：S1a112，所以1S12.当 n2 时，anSnSn1，即 SnSn12Sn

35、Sn1，所以1Sn1Sn12.故1Sn是以 2 为首项、2 为公差的等差数列(2)证明：当 n1 时，S211412141，不等式成立假设 nk(k1，且 kN)时，不等式成立，即 S21S22S2k1214k成立，则当 nk1 时，S21S22S2kS2k11214k14（k1）2文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10

36、 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y1

37、0 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y

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39、Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z

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42、5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q1012141k1（k1）21214k2k1k（k1）21214k2kk（k1）21214（k1）.即当 nk1 时，不等式成立根据可知对任意 nN不等式成立文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 ZM6O10V4S7Q10文档编码:CP1K9D1E7C4 HP8M2F5Z4Y10 Z

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4.3 金币

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