20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.15 利用导数求参数范围（解析版）.docx

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1、第十四讲运用导数求参数范围【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一运用单调性求参数【例1】已经清楚函数f(x)x3ax1，假设f(x)为单调递增函数，务虚数a的取值范围【答案】a0【分析】由已经清楚得f(x)3x2a，由于f(x)在(，)上是单调增函数，因此f(x)3x2a0在(，)上恒成破，即a3x2对xR恒成破，由于3x20，因此只需a0.又由于a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，因此a0.【举一反三】1已经清楚函数f(x)x3ax1，假设f(x)在区间(1，)内为增函数，求a的取值范围【答案】a3【分析】由于f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函

2、数，因此f(x)0在(1，)上恒成破，即3x2a0在(1，)上恒成破，因此a3x2在(1，)上恒成破，即a3.2.已经清楚函数f(x)x3ax1，假设f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围【答案】看法析【分析】由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成破，得a3x2在x(1,1)上恒成破由于1x1，因此3x23，因此a3.即当a3时，f(x)在区间(1,1)上为减函数3.已经清楚函数f(x)x3ax1，假设f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的取值【答案】3【分析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(，)，1，即a3.4.已经清楚函数f(x)x3ax1，假设f(x)在区间(1,

3、1)上不单调，求a的取值范围【答案】0,3【分析】f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由f(x)0，得x(a0)，f(x)在区间(1,1)上不单调，01，即0a3.【套路总结】用导数研究函数的单调性1用导数证明函数的单调性证明函数单调递增减，只需证明在函数的定义域内02用导数求函数的单调区间求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增减区间。一般地，函数在某个区间可导，0在谁人区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，0在谁人区间是减函数3单调性的运用已经清楚函数单调性一般地，函数在某个区间可导，在谁人区间是增(减)函数【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式)

4、0不要带等号，最后求二者的交集，把它写成区间。已经清楚函数的增减区间，应掉掉落0，必须求带上等号。求函数的单调增减区间，要解不等式0，此处不克不迭带上等号。单调区间肯定要写成区间，不克不迭写成聚拢或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；假设一种区间有多个，中间不克不迭用“连接。【举一反三】1假设函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是ABCD【答案】C【分析】由题意知，即在上恒成破，由二次函数的性质，知在上，那么.应选C.2已经清楚函数在上不单调，那么的取值范围是ABCD【答案】D【分析】由得.由于函数在上不单调，因此在上存在零点，而，因此，解得.应选D.3.已经清楚函数，.假设

5、函数在其定义域上为增函数，求的取值范围.【答案】【分析】方法一：函数的定义域为，.函数在上单调递增，即对都成破，对都成破.事前，当且仅当，即时，取等号.，即，的取值范围为.方法二：函数的定义域为，.方程的根的判不式为.当，即时，现在，对都成破,故函数在定义域上是增函数.当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，只需对都成破.设，那么，得.故.综合得的取值范围为.考向二运用极值求参数【例2-1】已经清楚f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试揣摸x1是函数的极大年夜值点仍然极小值点，并说明因由【答案】看法析【分析】(1)f(x)3ax2

6、2bxc(a0)，x1是函数的极值点x1是方程3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1.函数f(x)在区间(，1)跟(1，)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数因此，x1是函数的极大年夜值点；x1是函数的极小值点【套路总结】函数极值的两类抢手征询题(1)求函数f(x)极值的一般解题步伐判定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的标志(2)按照函数极值情况

7、求参数的两个要领列式：按照极值点处导数为0跟极值这两个条件列方程组，运用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性【举一反三】1.已经清楚函数f(x)xalnx(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值【答案】xy20.；2看法析；【分析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2lnx，f(x)1(x0)，由于f(1)1，f(1)1，因此曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f

8、(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.学*科网又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大年夜值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大年夜值【例2-2】已经清楚f(x)x3bx2cx2.(1)假设f(x)在x1处有极值1，求b，c的值(2)在(1)的条件下，假设函数yf(x)的图象与函数yk的图象恰有三个差异的交点，务虚数k的取值范围【答案】看法析【分析】(1)f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxC由已经清楚得f(1)0，f(1)1

9、.解得b1，c5.阅历证，b1，c5符合题意(2)由(1)知f(x)x3x25x2，f(x)3x22x5.由f(x)0，得x1，x21.当x变卦时，f(x)，f(x)的变卦情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)增函数极大年夜值减函数极小值增函数按照上表，当x时函数取得极大年夜值且极大年夜值为f()，当x1时函数取得极小值且极小值为f(1)1.按照题意结合上图可知实数k的取值范围为(1，)【举一反三】1.已经清楚函数f(x)x34x4.试分析方程af(x)的根的个数【答案】看法析【分析】f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)由f(x)0，得x2或x2.当x变卦时，

10、f(x)，f(x)的变卦情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大年夜值极小值当x2时，函数取得极大年夜值f(2).当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增按照函数单调性、极值情况，它的图象大年夜抵如以下列图结合图象：当a或a时，方程af(x)有一个根当a时，方程af(x)有三个根当a或a时，方程af(x)有两个根考向三运用最值求参数【例3-1】已经清楚函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)假设f(x)在区间2,2上的最大年夜值为20，求它在该区间上的最小值【答案】看法析【分析】(

11、1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a.f(2)f(2)因此有22a20，a2.f(x)x33x29x2.在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2上单调递增又由于f(x)在2，1上单调递减，f(2)跟f(1)分不是f(x)在区间2,2上的最大年夜值跟最小值f(1)13927.f(x)在区间2,2上的最小值为7.【例3-2】设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)假设对于任意的x0,3，都有f(x)c2成破，求c的取值范围【答案

12、】看法析【分析】(1)f(x)6x26ax3b，由于函数f(x)在x1及x2时取得极值，因此f(1)0，f(2)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.因此，当x1时，f(x)取极大年夜值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98C因此当x0,3时，f(x)的最大年夜值为f(3)98C由于对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成破，因此98cc2，解得c1或c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)【套路总结】不等式恒成破征询题常用的解题方法【

13、举一反三】1设f(x)ax33ax2b(a0)在区间1,1上的最大年夜值为3，最小值为1，求a，b的值【答案】看法析【分析】f(x)3ax26ax3ax(x2)，令f(x)0，得x0或x2，那么函数f(x)在1,1上的单调性及极值情况如下表所示：x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)b4a极大年夜值b2af(0)b3，又f(1)b4a，f(1)b2af(1)，f(1)b4a1，a1.a，b的值分不为1,3.2已经清楚f(x)x3x22x5，当x1,2时f(x)a恒成破，务虚数a的取值范围【答案】看法析【分析】f(x)x3x22x5，f(x)3x2x2.令f(x)0，即3x2x20，x1

14、或x.当x变卦时，f(x)及f(x)的变卦情况如下表：x1，)(，1)1(1,2f(x)00f(x)当x时，f(x)取得极大年夜值f()；当x1时，f(x)取得极小值f(1)，又f(1)，f(2)7.f(x)在x1,2上的最小值为f(1).要使f(x)a恒成破，需f(x)mina，即a.所务虚数a的取值范围是(，)考向四构造函数【例4】1已经清楚函数为定义在实数集上的奇函数，且事前，其中是的导函数，假设，那么ABCD2已经清楚函数是上的可导函数，事前，有，那么函数的零点个数是_.【答案】1A21【分析】(1)由于是奇函数，那么，那么不等式为，即.设，那么是偶函数，又，因此是上的减函数，是上的增

15、函数，又，因此，即应选A(2)令，得.设，那么，时，有，时，有，即事前，现在函数单调递增，；事前，现在函数单调递减，结合函数的图象，可知在区间上函数跟的图象有一个交点，即的零点个数是.【举一反三】1.定义域为的可导函数的导函数为，且称心，那么不等式的解集为ABCD【答案】C【分析】构造函数，那么，在上单调递减，又等价于，从而.2已经清楚定义在上的可导函数称心，假设，那么实数的取值范围是_【答案】【分析】令,那么,故函数在上单调递减,又由题设知，那么,故,即【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1假设函数f(x)x32cx2x有极值点，那么实数c的取值范围为_【答案】【分析】假设函数f(x

16、)x32cx2x有极值点，那么f(x)3x24cx10有两个不等实根，故(4c)2120，解得c或c0恒成破已经清楚af(2)，bf(3)，c(1)f()，那么a，b，c的大小关系为_(用“连接)【答案】ca0，即函数g(x)单调递增又af(2)g(2)，bf(3)g(3)，c(1)f()g()，由于123，因此g()g(2)g(3)，即cab.3.已经清楚定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.假设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是_(用“连接)【答案】cab【分析】设g(x)，那么g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，因此g(x)0，即函数g

17、(x)在区间(，0)内单调递减由于f(x)为R上的偶函数，因此g(x)为奇函数，其定义域为(，0)(0，)，因此函数g(x)在区间(0，)内单调递减由0ln2e3，可得g(3)g(e)g(ln2)，即cab.4.已经清楚定义在(0，)上的函数f(x)称心xf(x)f(x)(m2019)f(2)，那么实数m的取值范围为_【答案】(2019,2021)【分析】令h(x)，x(0，)，那么h(x).xf(x)f(x)0，h(x)(m2019)f(2)，m20190，即h(m2019)h(2)m20190，解得2019m0时，有0的解集是_【答案】(，2)(0,2)【分析】当x0时，0，(x)在(0，

18、)上为减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，现在x2f(x)0.又f(x)为奇函数，在(，0)上，当x0，现在x2f(x)0.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)6.假设f(x)x2alnx在(1，)上单调递增，那么实数a的取值范围为_【答案】(，2【分析】由f(x)x2alnx，得f(x)2x，f(x)在(1，)上单调递增，2x0在(1，)上恒成破，即a2x2在(1，)上恒成破，当x(1，)时，2x22，a2.7.已经清楚函数f(x)alnxx2(a6)x在(0,3)上不是单调函数，那么实数a的取值范围是_【答案】(0,2)【分析】函数f(x)2xa6.假设函数f(x)al

19、nxx2(a6)x在(0,3)上单调递增，那么f(x)2xa60在(0,3)上恒成破，即a2在(0,3)上恒成破，令函数g(t)t，t(1,4)，那么g(t)4,5)，a2；假设函数f(x)alnxx2(a6)x在(0,3)上单调递减，那么f(x)2xa60在(0,3)上恒成破，即a2在(0,3)上恒成破，函数g(t)t，t(1,4)，那么g(t)4,5)，a0，当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时，实数a的取值范围是(0,2)8.已经清楚函数f(x)(xa)lnx(aR)，假设函数f(x)存在三个单调区间，那么实数a的取值范围是_【答案】【分析】f(x)lnx(xa)lnx1，假设函数

20、f(x)存在三个单调区间，即f(x)0有两个不等正实根，即ax(lnx1)有两个不等正实根，转化为ya与yx(lnx1)的图象有两个差异的交点，ylnx2，令lnx20，即x，即yx(lnx1)在上单调递减，在上单调递增ymin，当x时，y0得函数的增区间是(，2)跟(2，)，由y0，得函数的减区间是(2,2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，因此有k12k1或k12k1，解得3k1或1k3.11函数f(x)在定义域R内可导，假设f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，那么a，b，c的大小关系为_(用“连接)【答案】cab【分析】由题意

21、得，当x0，f(x)在(，1)上为增函数又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，即cab.12.已经清楚函数f(x)lnx，g(x)ax22x(a0)(1)假设函数h(x)f(x)g(x)存在单调减区间，求a的取值范围；(2)假设函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围【答案】看法析【分析】(1)h(x)lnxax22x，x(0，)，因此h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调减区间，因此当x(0，)时，ax2有解设G(x)，因此只需aG(x)min即可而G(x)21，因此G(x)min1.因此a1.又由于a0，因此a的取值

22、范围为(1,0)(0，)(2)由于h(x)在1,4上单调递减，因此当x1,4时，h(x)ax20恒成破，即a恒成破由(1)知G(x)，因此aG(x)max，而G(x)21，由于x1,4，因此，因此G(x)max(现在x4)，因此a，又由于a0，因此a的取值范围是(0，)13,。已经清楚函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3跟0.(1)求f(x)的单调区间；(2)假设f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大年夜值【答案】看法析【分析】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex0，因此yf(x)的零点的确是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)标志一样又由于a0，因此当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，因此函数f(x)在区间5，)上的最大年夜值是5e5.