20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.3 直线与圆的综合运用（解析版）.docx

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1、第三讲 直线与圆的综合使用【套路秘籍】-始于足下始于足下(1)几多何法：把圆心到直线的距离d跟半径r的大小加以比较：dr相离.(2)代数法：将圆的方程跟直线的方程联破起来形成方程组，使用判不式来讨论位置关系：0订交；0相切；0相离.【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一直线与圆的位置关系【例1】14圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是A相切B订交但直线只是圆心C订交过圆心D相离2在ABC中，假设asinAbsinBcsinC0，那么圆C：x2y21与直线l：axbyc0的位置关系是_3假设直线3x4ym0与圆x2y22x4y40不断有大年夜众点，那么实

2、数m的取值范围是_【答案】1B2相切30,10【分析】1由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=21-2-522+12=55，解得k940实数k的取值范围是940,+考向二直线与圆的弦长【例2】1直线xy20与圆x2y24订交于A，B两点，那么弦AB的长为_2已经清楚直线mx+y-3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点O为坐标原点，且AB=3，那么m=。【答案】1223【分析】1圆x2y24的圆心为点(0,0)，半径r2，圆心到直线xy20的距离d1，弦长AB22.2由于直线mx+y-3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点，且AB=3因此圆的半径为r=3，AB2=32由

3、点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为d=-3m2+12=3m2+1由垂径定理可得d2+AB22=r2代入可得9m2+1+34=3解方程可得m=3【套路总结】直线与圆弦长解题思路-垂定定理1把圆化成圆的标准方程寻出圆心跟半径r2使用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离3使用弦长公式【举一反三】1圆C：x2+y2-2x=0被直线y=3x截得的线段长为A2B3C1D2【答案】C【分析】圆C：x2+y2-2x=0的圆心为(1,0)，半径为1圆心到直线y=3x的距离为d=|3|3+1=32，弦长为21-(32)2=1，应选C。2.圆C：x2+y2-2x=0被直线y=x截得的线段长为A2B3C1D2【

4、答案】D【分析】由于圆C：x2+y2-2x=0的圆心为(1,0)，半径r=1；因此圆心(1,0)到直线y=x的距离为d=1-02=22，因此，弦长=2r2-d2=21-12=2.应选D3直线(m+1)x-my+3m+2=0被圆C:x2+y2=16所截的弦长的最小值为A25B6C211D8【答案】C【分析】直线(m+1)x-my+3m+2=0过定点M(-2,1)，当直线与CM垂直时弦长最短，圆的半径为4，圆心到定点M(-2,1)的距离为5，因此弦长的最小值为2r2-d2=216-5=211，应选:C.考向三切线征询题【例3】已经清楚圆C：(x1)2(y2)210，求称心以下条件的圆的切线方程(1

5、)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1)【答案】看法析【分析】(1)设切线方程为xyb0，那么，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，那么，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线歪率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.【举一反三】1.已经清楚P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_【答案】2【分析】如图，由题意知，圆x2y22x2y10的圆心是C(1,1)，半径为1，由PAPB易

6、知，四边形PACB的面积为(PAPB)PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小由于PA，故PC最小时PA最小，现在CP垂直于直线3x4y80，P为垂足，PC3，PA2，因此四边形PACB面积的最小值是2.2已经清楚圆的方程为x2+y2=1，那么在y轴上截距为2的圆的切线方程为Ay=x+2By=-x+2Cy=x+2或y=-x+2Dx=1或y=x+2【答案】C【分析】在y轴上截距为2且歪率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y=kx+2，那么2k2+1=1，因此k=1，故所求切线方程为y=x+2或y=-x+2.3已经清楚圆：x2+(y-1)2=2，那么过点1，2作该圆的切线方程为Ax+4y

7、-4=0B2x+y-5=0Cx=2Dx+y-3=0【答案】D【分析】按照题意，设圆：x2+(y-1)2=2的圆心为M，且M0，1，点N1，2，有12+(2-1)2=2，那么点N在圆上，那么过点N的切线有且只要1条；那么kMN=2-12-0=1，那么过点1，2作该圆的切线的歪率k=-1，切线的方程为y-2=-x-1，变形可得x+y-3=0，应选：D考向四圆上的点到直线距离最值【例4】圆x2y24x4y100上的点到直线xy80的最大年夜距离与最小距离的差是_【答案】5【分析】圆的方程可化为(x2)2(y2)2(3)2，圆心到直线的距离为23，故直线与圆订交，最小距离为0，最大年夜距离为325.综

8、上可得，圆x2y24x4y100上的点到直线xy80的最大年夜距离与最小距离的差是505.【套路总结】圆上的点到开门见山距离最值的解题思路1把圆化成圆的标准方程寻出圆心跟半径r2使用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离3揣摸位置关系【举一反三】1设A为圆x2+y2-4x-4y-10=0上一动点，那么A到直线x+y-14=0的最大年夜距离为_【答案】82.【分析】A为圆x2+y2-4x-4y-10=0上一动点,将圆化简掉掉落x-22+y-22=18，圆心为2，2，点到直线的距离最大年夜时，的确是圆心到直线的距离再加上半径即可，按照点到直线的距离公式掉掉落2+2-142=52,r=32,距离的最大

9、年夜值为32+52=82.故答案为：82.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1“是“直线与圆相切的A充分不必要条件B需要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由于直线与圆相切，因此.因此“是“直线与圆相切的充分不必要条件.应选：A2直线xcos+ysin=1与圆(x-1)2+(y-1)2=9的位置关系是A相离B相切C订交D不克不迭判定【答案】C【分析】圆心到直线的距离d=|cos+sin-1|cos2+sin2=|2sin(+)-1|，圆的半径为3，0d2+13，即直线与圆订交，应选：C.3假设直线y=33x+2与圆C:x2+y2=4订交于A,B两点，那么线段A

10、B中点的坐标为A(-32,32)B(-32,-32)C(32,32)D(32,-32)【答案】A【分析】按照题意，设AB的中点为M，圆C：x2+y24的圆心为O，0，0，直线l：y=33x+2与圆C：x2+y24订交于A，B两点，那么直线OM与直线AB垂直，那么直线OM的方程为y=-3x，M为直线AB与直线OM的交点，那么有y=-3xy=3x3+2，解可得：x=-32y=32，那么M的坐标为-32，32；应选：A4直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，那么A-3B3CD【答案】A【分析】设，由按照圆的方程可知，为的中点按照双曲线中点差法的结论由点歪式可得直线AB的方程为将直线AB方程与

11、双曲线方程联破解得或，因此由圆的直径可解得应选A.5已经清楚直线l:x-3y=0与圆C:x2+(y-1)2=1订交于O,A两点，O为坐标原点，那么COA的面积为A34B32C3D23【答案】A【分析】由题意直线l，圆C均过原点，通过图形不雅观看可知COA为等腰三角形，且CO=CA=r=1，OCA=120，因此SCOA=12COCAsinOCA=121232=34.应选A.6已经清楚圆C:(x-3)2+(y-1)2=3及直线l:ax+y-2a-2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为_.【答案】x-y=0【分析】由l：l:ax+y-2a-2=0得ax-2+y-2=0不论a取何值，直

12、线l恒过点P2,212+12=20，a4.17.在破体直角坐标系xOy中，已经清楚圆C：x2y22，直线xby20与圆C订交于A，B两点，且|，那么b的取值范围是_【答案】【分析】设AB中点为M，那么|，即2OM2AM，即OMOA.又直线xby20与圆C订交于A，B两点，因此OM，而OM，因此，解得1b2，即b的取值范围是.18已经清楚圆C的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A，那么PA的最小值为_【答案】2【分析】方法一由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cos，sin)，那么A(cos，2cos

13、)，PA|2cossin|，PA的最小值为2.方法二由题意可知圆心(0,0)到直线xy2的距离d，圆C上一点到直线xy2的距离的最小值为1.由题意可得PAmin(1)2.19.已经清楚直线l：kxy2k0，圆C：x2y22x2y20.(1)求证：不论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；(2)假设k1，求直线l被圆C截得的弦长；(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？假设存在，求出实数k的值；假设不存在，请说明因由【答案】看法析【分析】(1)证明直线l的方程可化为k(x2)y0，因此直线l过定点(2,0)由于2202222020，故点(2,0)在圆C内，因此直线l与圆C恒

14、有两个交点(2)解当k1时，直线l的方程为xy20，圆C：x2y22x2y20的圆心C(1,1)，半径r2.圆心C到直线l的距离d，因此直线l被圆C截得的弦长为222.(3)解存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)由kxy2k0与x2y22x2y20消元得(k21)x2(4k22k2)x4k24k20，x1,2，因此x1x2，x1x2.由于以线段AB为直径的圆过原点，因此x1x2y1y20，因此(k21)x1x22k2(x1x2)4k20，因此(k21)2k24k20，因此k1.20已经清楚圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)假设点P

15、运动到(1,3)处，求现在切线l的方程；(2)求称心条件PMPO的点P的轨迹方程【答案】看法析【分析】把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的歪率不存在时，现在l的方程为x1，C到l的距离d2r，称心条件当l的歪率存在时，设歪率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，那么2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，称心条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，那么PM2PC2MC2(x1)2(y2)24，PO2x2y2，PMPO，(x1)2(y2)24x2y2，拾掇，得2x4y10，点P的轨迹方

16、程为2x4y10.21已经清楚直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，征询在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明因由【答案】看法析【分析】(1)设圆心C(a,0)，那么2，解得a0或a5(舍)因此圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的歪率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，x1,2，因此x

17、1x2，x1x2.假设x轴平分ANB，那么kANkBN，即0，那么0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，亦即2t0，解得t4，因此当点N坐标为(4,0)时，能使得ANMBNM总成破22已经清楚圆C:(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1,0)1假设l1与圆C相切，求l1的方程；2假设l1的倾歪角为4，l1与圆C订交于P,Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；3假设l1与圆C订交于P,Q两点，求三角形CPQ的面积的最大年夜值，并求现在l1的直线方程【答案】1x=1或3x-4y-3=0；2y=x-1或y=7x-7【分析】(1)假设直线l1的歪率不存在,那么直线x=1,圆的圆心坐标(

18、3,4),半径为2,符合题意假设直线l1歪率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已经清楚直线l1的距离等于半径2,即:|3k-4-k|k2+1=2,解之得k=34.所求直线方程是:x=1,或3x-4y-3=0.(2)直线l1方程为y=x-1，PQCM,CM方程为y-4=-(x-3),即x+y-7=0.y=x-1x+y-7=0,x=4y=3，M点坐标(4,3)(3)直线与圆订交,歪率确信存在,且不为0,设直线方程为kx-y-k=0,那么圆心到直线l1的距离d=|2k-4|1+k2.又三角形CPQ面积S=12d24-d2=d4-d2=4d2-d4=-d

19、2-22+4当d=2时,S取得最大年夜值2，d=|2k-4|1+k2=2，k=1，或k=7.直线方程为y=x-1,或y=7x-7.23已经清楚C：x2+y2+Dx+Ey-12=0关于直线x+2y-4=0对称，且圆心在y轴上.1求C的标准方程；2已经动点M在直线y=10上，过点M引C的两条切线MA、MB，切点分不为A,B.记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；证明直线AB恒过定点.【答案】1x2+y-22=162Smin=163证明看法析【分析】1由题意知，圆心C-D2,-E2在直线x+2y-4=0上，即-D2-E-4=0，又由于圆心C在y轴上，因此-D2=0，由以上两式得：D=0，E=-4

20、，因此x2+y2-4y-12=0.故C的标准方程为x2+y-22=16.2如图，C的圆心为0,2，半径r=4，由于MA、MB是C的两条切线，因此CAMA，CBMB，故MA=MB=MC2-r2=MC2-16又由于S=2SACM=4MA=4MC2-16，按照破体几多何知识，要使S最小，只要MC最小即可.易知，当点M坐标为0,10时，MCmin=8.现在Smin=464-16=163.设点M的坐标为a,10，由于MAC=MBC=90，因此M、A、C、B四点共圆.其圆心为线段MC的中点Ca2,6，MC=a2+64，设MACB所在的圆为C，因此C的方程为：x-a22+y-62=16+a24，化简得：x2

21、+y2-ax-12y+20=0，由于AB是C跟C的大年夜众弦，因此x2+y2-4y-12=0x2+y2-ax-12y+20=0，两式相减得ax+8y-32=0，故AB方程为：ax+8y-32=0，当x=0时，y=4，因此直线AB恒过定点0,4.24已经清楚圆C:x2+y2+2x-4y+1=0.1假设过点(1,1)的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；2已经清楚点P（x，y)为圆上的点，求z=(x-2)2+(y+2)2的取值范围【答案】1y=1或4x+3y-7=0.23Z7【分析】1圆C的方程可化为（x+1）2+y-22=4且23=24-d2d=1.；易知歪率不存在时不称心题意，设直线

22、l:kx-y-k+1=02k+1k2+1=1k=0或k=-43那么直线的方程为y=1或4x+3y-7=0.2设Q(2，-2)，那么PQ=x-22+（y+2)2Zmax=QC+2=7;Zmin=QC-2=33Z725如图，圆M:(x-2)2+y2=1，点P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分不为A、B1假设t=1，求切线所在直线方程；2求AB的最小值；3假设两条切线PA,PB与y轴分不交于S、T两点，求ST的最小值【答案】1y=1，3x+4y-1=0；2ABmin=423322【分析】1由题意，切线歪率存在，可设切线方程为y-1=k(x+1)，即kx-y+k+1

23、=0，那么圆心M到切线的距离d=3k+1k2+1=1，解得k=0或-34，故所求切线方程为y=1，3x+4y-1=0；2连接PM,AB交于点N，设MPA=MAN=，那么AB=2AMcos=2cos，在RtMAP中，sin=AMPM=1PM，PM3，(sin)max=13，(cos)min=223，ABmin=423；3设切线方程为y-t=k(x+1)，即kx-y+k+t=0，PA,PB的歪率为k1,k2，故圆心M到切线的距离d=3k-tk2+1=1，得8k2-6kt+t2-1=0，k1+k2=34t，k1k2=t2-18，在切线方程中令x=0可得y=k+t，故ST=(k1+t)-(k2+t)=

24、k1-k2=(k1+k2)2-4k1k2=t2+84，STmin=22，现在t=0，故ST的最小值为2226已经清楚圆C:x2+y2-2x-4y-12=0跟点A3,0，直线l过点A与圆交于P,Q两点(1)假设以为PQ直径的圆的面积最大年夜，求直线l的方程；(2)假设以为PQ直径的圆过原点，求直线l的方程【答案】1x+y-3=0；2y=x-3【分析】1圆C:x2+y2-2x-4y-12=0可化为圆C:(x-1)2+(y-2)2=17，那么圆心为1,2以为PQ直径的圆的面积最大年夜直线l过圆心1,2直线l过A3,0直线l的方程为x+y-3=02设直线l的歪率不存在时，显然不成破；当歪率存在时，设直

25、线l方程为y=kx-3以为PQ直径的圆的方程为x2+y2-2x-4y-12+kx-y-3k=0将0,0代入圆，拾掇可得-12-3k=0圆心坐标为1-k2,2+2，代入y=kx-3，可得2+2=k1-k2-3由可得=-4，k=1直线l的方程为y=x-327已经清楚圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-21假设直线l与圆O相切，求k的值；2假设直线l与圆O交于差异的两点A，B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；3假设k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点【答案】1k=1；2-3，-11，3；3直线CD过定点12，-1【分析】1圆O：x

26、2+y2=2，直线l：y=kx-2直线l与圆O相切，圆心O0，0到直线l的距离等于半径r=2，即d=-2k2+1=2，解得k=12设A，B的坐标分不为x1，y1，x2，y2，将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，拾掇，得1+k2x2-4kx+2=0，x1+x2=4k1+k2，x1x2=21+k2，=-4k2-81+k20，即k21，当AOB为锐角时，OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-2kx2-2=1+k2x1x2-2kx1+x2+4=6-2k21+k20，解得k23，又k21，-3k-1或1k3故k的取值范围为-3，-11，33由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设Pt，12t-2，其方程为xx-t+yy-12t+2=0，x2-tx+y2-12t-2y=0，又C，D在圆O：x2+y2=2上，两圆作差得lCD：tx+12t-2y-2=0，即x+y2t-2y-2=0，由x+y2=02y+2=0，得x=12y=-1，直线CD过定点12，-1