20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.8 空间向量在空间几何体的运用（二）（原卷版）.docx

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1、9.8空间向量在空间几多何体的使用二【套路秘籍】-始于足下始于足下一两条异面直线所成角的求法1.几多何法1定义：已经清楚两条异面直线，通过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择有关，把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角2图示2.向量法：设a，b分不是两异面直线l1，l2的倾向向量，那么l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，求法coscos二直线与破体所成角的求法1.几多何法1线面角的定义：破体的一条歪线跟它在破体上的射影所成的锐角叫做这条歪线跟谁人破体所成的角2图示2.向量法：设直线l的倾向向量为a，破体的法向量为n，直线l与破体所成的角为，a与n的夹角为，那么sin|cos|.三求

2、二面角的大小1.几多何法1定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分不作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的破体角2图示2.向量法(1)如图，AB，CD分不是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，那么二面角的大小，(2)如图，n1，n2分不是二面角l的两个半破体，的法向量，那么二面角的大小称心|cos|cosn1，n2|，二面角的破体角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一线线角【例1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是破体ABCD一致侧的两点，BE破体ABCD，DF破体ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证

3、明：破体AEC破体AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值【套路总结】求异面直线所成的角的方法一用向量法求异面直线所成角的一般步伐(1)选择三条两两垂直的直线树破空间直角坐标系；(2)判定异面直线上两个点的坐标，从而判定异面直线的倾向向量；(3)使用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值二几多何法-平移，平移后使两条直线订交，求角；稀有三种平移方法：开门见山平移；中位线平移尤其是图中出现了中点；补形平移法。【举一反三】1如图，正方体中，异面直线跟所成角的大小为ABCD或2三棱柱中，底面边长跟侧棱长都相当，那么异面直线与所成角的余弦

4、值为ABCD考向二线面角【例2】.如图，在四棱锥PABCD中，PA破体ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PNPB.(1)证明：MN破体PDC；(2)求直线MN与破体PAC所成角的正弦值【套路总结】线面角求法1.几多何法求线面角的一般步伐：(1)先寻歪足(2)通过歪线上一点作面的垂线一般根本上另一个端点，即作出垂足，连接歪足跟垂足，寻出线面角。留心：做垂线时根本上做线的垂线，然后证明是面的垂线。2. 空间向量求线面角1分不求出歪线跟它在破体内的射影直线的倾向向量，转化为求两个倾向向量的夹角(或其补角)；2通过破体的法向量来求，即求出歪线

5、的倾向向量与破体的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角的确是歪线跟破体所成的角.3如以下列图，设直线l的倾向向量为e，破体的法向量为n，直线l与破体所成的角为，两向量e与n的夹角为，那么有sin|cos|.【举一反三】1如图，在几多何体中，四边形为矩形，破体破体，破体，为棱的中点.证明：破体；求直线与破体所成角的正弦值.2如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，1证明：破体2求直线与破体所成角的正弦值考向三面面角【例3】如图，已经清楚直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1.(1)求AA1的长；(2)假设BP1，求二面角PA1CA的余弦值【套路总结】二面角

6、求法1.使用向量求空间角的步伐第一步：树破空间直角坐标系，判定点的坐标；第二步：求向量(直线的倾向向量、破体的法向量)坐标；第三步：打算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角留心结合理论图形揣摸所求角的大小2.寻与棱垂直的倾向向量法：分不在二面角的两个半破体内寻到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，那么这两个向量的夹角的大小的确是二面角的大小3.几多何法求二面角1定义法：从一条直线出发的两个半破体所形成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半破体叫做二面角的面，在棱上取点，分不在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小的确是二面角的破体角。2三垂线法：三垂线定理：在破体内的一

7、条直线，假设跟谁人破体的一条歪线的射影垂直，那么它也跟这条歪线垂直素日当点P在一个半破体上那么素日用三垂线定理法求二面角的大小。3补棱法：本法是针对在解形成二面角的两个半破体不清楚交线的求二面角题目时，要将两破体的图形补偿残缺，使之有清楚的交线称为补棱，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二破体不清楚的交线时，一般用补棱法处置4射影面积法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积跟该图形在另一个半破体上的射影图形面积的都可使用射影面积公式cos求出二面角的大小。【举一反三】1如图，在四棱锥中，已经清楚底面为菱形，为对角线与的交点，底面且1求异面直线与所成角的余弦值；2求破体与破体所成锐二面角的余

8、弦值考向四角的使用【例4】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点假设，求证：；假设破体破体，且，点在线段上，试判定点的位置，使二面角大小为，并求出的值【举一反三】1.如图，已经清楚长方形中，为的中点将沿折起，使得破体破体1求证：；2假设点是线段上的一动点，征询点在何位置时，二面角的余弦值为2四棱锥中，底面是边长为2的菱形，正面底面，是中点，点在侧棱上求证：；假设是中点，求二面角的余弦值；是否存在，使破体？假设存在，求出的值；假设不存在，说明因由【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1如图，边长为1的菱形中，沿将翻折，掉掉落三棱锥，那么当三棱锥体积最大年夜时，异面直线与所成角的余弦值为AB

9、CD2在长方体中，点，分不是，的中点，那么异面直线与所成的角的正切值为_3如图，周围体ABCD中，O、E分不是BD、BC的中点，.1求证：破体BCD；2求异面直线AB与CD所成角的余弦值；3求点E到破体ACD的距离。4如以下列图，四棱锥中，破体，设的中点为，求证：破体；求与破体所成角的正弦值；求二面角的正弦值5如图，破体，是的中点1求证：破体；2求二面角的余弦值6如图，几多何体中，破体，为正三角形，为等腰直角三角形，为直角，破体破体，为的中点1求证：破体；2求二面角的余弦值7如以下列图，三棱锥中，破体破体，是边长为4的正三角形，是顶角的等腰三角形，点为的上的一动点1事前，求证：；2当直线与破体

10、所成角为时，求二面角的余弦值8.如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2所示(1)证明：CD破体A1OC；(2)假设破体A1BE破体BCDE，求直线BD与破体A1BC所成角的正弦值9.如图，四棱锥中，正面为等边三角形，且破体底面，1证明：；2点在棱上，且，假设二面角大小的余弦值为，务虚数的值10如图，在四棱锥中，破体破体，底面是平行四边形，且，1求证：；2假设底面是菱形，与破体所成角为，求破体与破体所成锐二面角的余弦值11在四棱锥中，底面是不时角梯形，底面，是上的点，且1假设，求异

11、面直线与所成角的大小；2当为何值时，二面角的余弦值为12如图，为正三角形，且，将沿翻折假设点的射影在上，求的长；假设点的射影在内，且直线与破体所成角的正弦值为，求的长13在四棱锥中，底面ABCD，ABDC，点E为棱PC中点。1证明：破体PAD；2求直线BE与破体PBD所成角的正弦值；3假设F为棱PC上一点，称心，求二面角的余弦值.14在如以下列图的几多何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，破体破体，且.求证：破体；求二面角的大小；已经清楚点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长15已经清楚正方形的边长为分不为的中点，以为棱将正方形折成如以下列图的的二面角，点在线段上1假设为的中点，且

12、直线，由三点所判定破体的交点为，试判定点的位置，并证明直线破体；2是否存在点，使得直线与破体所成的角为；假设存在，求现在二面角的余弦值，假设不存在，说明因由16如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，且，点为的中点，点为的中点.1证明：破体；2假设，求二面角的余弦值.17如图，已经清楚多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于破体ABC，ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.证明：AB1破体A1B1C1;求直线AC1与破体ABB1所成的角的余弦值；求破体AB1C1与破体ABC所成角的正弦值.18如图，四边形为矩形，破体破体，点在线段上.1求证：破体；2假设二面角的余弦值为，求的长度.19如以下列图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，底面，为的中点，.1求证：破体；2求异面直线与所成角的余弦值；3求与破体所成角的正弦值.20如图，在多面体中，破体破体.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段中点，.(1)求证：；(2)求直线与破体所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点N，使得直线破体？假设存在，求的值；假设不存在，请说明因由.