2017届河南省洛阳市高三上期中数学试卷文科解析版.docx

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1、2017届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=mZ|m3或m2，B=nN|1n3，则（ZA）B=（）A0，1，2B1，0，1C0，1D1，0，1，22在复平面内O为极坐标原点，复数1+2i与1+3i分别为对应向量和，则|=（）A3BCD53把函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ax=0Bx=Cx=Dx=4已知等比数列an的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A数列an的各项均为正数B数列an中必有小于的项C

2、数列an的公比必是正数D数列an中的首项和公比中必有一个大于15若=，则tan2的值为（）ABCD36函数y=ln的图象大致是（）ABCD7在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则（+）的最小值是（）A2B1C1D28定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x）且在5，6上是增函数，是锐角三角形的两个内角，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（cos）Df（cos）f（cos）9在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC=120，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A11BCD10已知函数，若方程f（x）a=0有三

3、个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（0，3）C（0，2）D（0，1）11已知数列Sn为等比数列an的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A22522B22532C210082D22016212设点P，Q分别是曲线y=xex（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在矩形ABCD中， =（1，3），则实数k=14已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列an满足a1=3，an+1=f（an），则a2016= x123f（x）32115一个几何体的三视图如图所示，该

4、几何体体积为16设，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若n，n，=m，则nm；若m，n，m，n，则；若，=m，n，nm，则n；m，mn，则n其中正确的命题序号为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（B）（1）求角B的大小；（2）若b=4，ABC的面积为，求a+c的值18已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）如果a1a5，求数列的前n项和19已知函数f（x）=x3

5、（a+1）x2+x（aR）（1）若a0，求函数f（x）的极值；（2）当a时，判断函数f（x）在区间0，2上零点的个数20已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，cos2x）（1）若x（，），+=，求cos4x；（2）设ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程+=m有且仅有一个实数根，求m的值21如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4（）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（）求四棱锥PABCD的体积22已知函数f（x）=x2（a+2）x+

6、alnx，其中aR（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率为1，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=mZ|m3或m2，B=nN|1n3，则（ZA）B=（）A0，1，2B1，0，1C0，1D1，0，1，2【考点】补集及其运算【分析】根据补集与交集的定义，进行计算即可【解答】解：集合A=mZ|m3或m2，全集为Z，ZA=mZ|3m2=2，1，0，1，又B=nN|1n3=0，1，2，则（ZA）B=0，1故选：C2在复平面内O为极坐标原点，复数1

7、+2i与1+3i分别为对应向量和，则|=（）A3BCD5【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数对应点的坐标，求解距离即可【解答】解：在复平面内O为极坐标原点，复数1+2i与1+3i分别为对应向量和，可得A（1，2），B（1，3），则|=故选：C3把函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ax=0Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：把函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位后，可得y=sin（2x）=cos

8、2x 的图象，再令2x=k，求得x=，kZ，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0，故选：A4已知等比数列an的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A数列an的各项均为正数B数列an中必有小于的项C数列an的公比必是正数D数列an中的首项和公比中必有一个大于1【考点】命题的真假判断与应用；等比数列的性质【分析】由等比数列的性质可知，故q必是正数，故选项C为真命题；由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由于a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题【解答】解：由等比数列的性质，a1a2a3a10=32a5a6=2，设公比

9、为q，则，故q必是正数，故选项C为真命题对于选项A，由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题故选C5若=，则tan2的值为（）ABCD3【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切【分析】由条件 求得tan=3，再根据tan2=，计算求得结果【解答】解：=，tan=3，则tan2=，故选：D6函数y=ln的图象大致是（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x（0，

10、1）时，ln0，从而排除C，从而得到答案【解答】解：函数y=ln，x+sinx0，x0，故函数的定义域为x|x0再根据y=f（x）的解析式可得f（x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D当x（0，1）时，0sinxx1，01，函数y=ln0，故排除C，只有A满足条件，故选：A7在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则（+）的最小值是（）A2B1C1D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出草图分析，由于在ABC中，O为中线AM上的一个动点，可得 ，则（+）=2，而|=|+|=22，利用均值不等式即可求得（+）的最小值

11、【解答】解：由题意画出草图：由于点M为ABC中边BC的中点，（+）=2|O为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，|=|+|=22（当且仅当“”时取等号），得|1，又2=2|2，则（+）的最小值为2故选：A8定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x）且在5，6上是增函数，是锐角三角形的两个内角，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（cos）Df（cos）f（cos）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据已知条件能够得到f（x）是周期为2的周期函数，且在0，1上单调递减，再根据，为锐角三角形的两个锐角即可得到1sincos0，从而根据f（x

12、）在0，1上的单调性即可得出f（sin）f（cos）【解答】解：由f（x+1）=f（x）得，f（x+2）=f（x）；f（x）是以2为周期的周期函数；f（x）是R上的偶函数，且在5，6上是增函数；f（x）在6，5上为减函数；f（x）在0，1上为减函数；，是锐角三角形的两个锐角；+；，（0，）sinsin（）=cos且sin，cos（0，1）；f（sin）f（cos）故选：C9在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC=120，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A11BCD【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】求出BC，利用正弦定理可得ABC外接圆的半径，从而可求该

13、三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积【解答】解：AC=2，AB=1，BAC=120，BC=，三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，SA平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心则有该三棱锥的外接球的半径R=，该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4（）2=故选：D10已知函数，若方程f（x）a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（0，3）C（0，2）D（0，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】结合方程f（x）=a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得

14、解答【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）故选D11已知数列Sn为等比数列an的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A22522B22532C210082D220162【考点】等比数列的前n项和【分析】由Sn为等比数列an的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题【解答】解：数列Sn为等比数列an的前n项和，S8=2，S24=14，=2，=14，由得到：q8=2或q8=3（舍去），=2，则a1=2（q1），S

15、2016=22532故选：B12设点P，Q分别是曲线y=xex（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】对曲线y=xex进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可【解答】解：点P是曲线y=xex上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xex上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离由y=（1x）ex ，令y=（1x）ex =1，解得x=0，当x=0，y=

16、0时，点P（0，0），P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，dmin=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在矩形ABCD中， =（1，3），则实数k=4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据题意，画出图形，利用=0，列出方程，求出k的值【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中， =（1，3），=（k1，2+3）=（k1，1），=1（k1）+（3）1=0，解得k=4故答案为：414已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列an满足a1=3，an+1=f（an），则a2016=1 x123f（x）321【考点】数列与函数的综合【分析

17、】由题意可知，a1=3，分别求得a2，a3，a4，求得an=，即可a2016【解答】解：an+1=f（an），a1=3a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，an=，a2016=1故答案为：115一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V=故答案为：16设，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若n，n，=m，则nm；若m，

18、n，m，n，则；若，=m，n，nm，则n；m，mn，则n其中正确的命题序号为【考点】命题的真假判断与应用【分析】由线面平行的性质定理可知该命题正确；由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，m和n是两条相交直线；由面面垂直的性质定理可知该命题正确；n可能在平面内【解答】解：对于，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故正确；对于，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故不正确；对于，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故正确；对于，n可能在平面内，故不正确故答案为

19、：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（B）（1）求角B的大小；（2）若b=4，ABC的面积为，求a+c的值【考点】余弦定理的应用；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化简bcosA=（2c+a）cos（B），通过两角和与差的三角函数求出cosB，即可得到结果（2）利用三角形的面积求出ac=4，通过由余弦定理求解即可【解答】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（B），所以sinBcosA=（2sinCsinA）cosB所以sin（A+B）=2sinCcosBc

20、osB=B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2ac=16a+c=2 18已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）如果a1a5，求数列的前n项和【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】（1）根据等差数列的定义，设出公差d，利用S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列建立关系式，求解公差d和a1，即可得数列an的通项公式；（2）求出等差数列Sn；数列的通项公式；裂项相消法求解前n项和【解答】解：（1）由题意：数列an是等差数列，设公差d，首项为a1，S5=4a3+6，则：S

21、5=4a3+6=5a1+，a1+2d=6又a2，a3，a9成等比数列（a1+2d）2=（a1+d）（a1+8d）da1=d2由，可得：a1=2，d=2或a1=6，d=0故得数列an的通项公式为an=2n或an=6（2）a1a5an=2nSn=na1+=n2+n；则：数列的通项公式： =；数列的前n项和为： =；故得数列的前n项和为19已知函数f（x）=x3（a+1）x2+x（aR）（1）若a0，求函数f（x）的极值；（2）当a时，判断函数f（x）在区间0，2上零点的个数【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间

22、，从而求出函数的极值即可；（2）根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出在0，2上的零点个数即可【解答】解：（1）f（x）=a（x1）（x），a0，1，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：x1或x，f（x）在（，）递减，在（，1）递增，在（1，+）递减，f（x）极小值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=（a1）；（2）f（1）=（a1），f（2）=（2a1），f（0）=0，a时，f（x）在0，1递增，在1，2递减，故f（0）=0，f（1）=（a1）0，f（2）=（2a1）0，f（x）在0，1，（1，2上各有1个零点，即在0，2上2个零点20已知向量=（sin2x，cos2x），=

23、（cos2x，cos2x）（1）若x（，），+=，求cos4x；（2）设ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程+=m有且仅有一个实数根，求m的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（I）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到，结合同角三角函数的关系算出，再进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小（II）根据余弦定理与基本不等式算出，从而可得，即函数y=的定义域为再利用正弦函数的图象研究y=的单调性，可得当或时，有唯一的x与y=对应，由此即可得到满足条件的实数m的值【解答】解：（），=又，；由于

24、，可得，由此可得：=；（）b2=ac，由余弦定理可得：，B是三角形的内角，即由（I）可得=，由，可得，当x（0，时，y=为单调增函数；当x（，时，y=为单调减函数当时，y=1；当时，y=，此时只有一个x与y=对应，即直线y=m和有一个公共点若关于x的方程有且仅有一个实数根，实数m的值为1或21如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4（）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（）求四棱锥PABCD的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（I）欲证平面MBD平面PAD，根据面面垂直的

25、判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD平面PAD；（II）过P作POAD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO平面ABCD，从而PO为四棱锥PABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可【解答】解：（）证明：在ABD中，由于AD=4，BD=8，所以AD2+BD2=AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD（）解：过P作POAD交AD于O，由于平面P

26、AD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD是边长为4的等边三角形因此在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故22已知函数f（x）=x2（a+2）x+alnx，其中aR（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率为1，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线斜率k，结合已知可求

27、a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+），要判断函数的单调区间，需要判断导数f（x）的正负，分类讨论：分（1）当a0时，（2）当0a2时，（3）当a=2时，（4）当a2时四种情况分别求解【解答】解：（）由f（x）=x2（a+2）x+alnx，可知，函数定义域为x|x0，且f（x）=2x（a+2）+由题意，f（2）=4（a+2）+=1，解得a=2（）f（x）=2x（a+2）+=（x0）令f（x）=0，得x1=1，x2=（1）当a0时，0，令f（x）0，得x1；令f（x）0，得0x1则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+）（2）当01，即0a2时，令f（x）0，得0x或x1则函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+）令f（x）0，得x1则函数f（x）的单调递减区间为（，1）（3）当=1，即a=2时，f（x）0恒成立，则函数f（x）的单调递增区间为（0，+）（4）当1，即a2时，令f（x）0，得0x1或x，则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+）令f（x）0，得1x则函数f（x）的单调递减区间为（1，）16 / 16