2022年高三数学大一轮复习指数与指数函数学案理新人教A版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思学案 7 指数与指数函数明白实数指数导学目标： 1. 明白指数函数模型的实际背景.2. 懂得有理指数幂的含义,幂的意义,把握幂的运算3懂得指数函数的概念,并把握指数函数的单调性与函数图象通过的特别点.4. 知道指数函数是一类重要的函数模型自主梳理1指数幂的概念1 根式n 次方等于 a n1 且 nN * ,那么这个数叫做a 的 n 次方根 也就是, 如假如一个数的x na,就 x 叫做 _,其中 n1 且 n N *. 式子 n a叫做 _,这里 n 叫做 _,a 叫做 _2 根式的性质当 n 为奇数时,正

2、数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a的 n 次方根用符号 _表示当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号 _表示,负的 n 次方根用符号 _表示正负两个 n 次方根可以合写成_ a0 n an_. a, a0,a,a0, m,nN *,n1正数的负分数指数幂是ma n_ a0, m,nN *,n1 0 的正分数指数幂是 _,0 的负分数指数幂无意义2 有理指数幂的运算性质a ra s _ a0,r ,sQ a r s_ a0,r ,sQ ab r _ a0,b0,r Q 3指数函数的图象与性质a1 0a0 时,

3、 _；当5 当 x0 时,_；当x0 时, _ x0 时, _ 6 在 , 上是7 在 , 上是_ _ 自我检测 1下列结论正确的个数是 3当 a0 且 a 13如下列图的曲线C1,C2,C3,C4 分别是函数x yax,yb,ycx x,yda,b,c,d 的大小关系是 Aab1cd Bab1dc Cba1cdDba1d1 , b0 , 且 A.6 B2 或 2 C 2 D2 52022 六安模拟 函数 f x axb的图象如图,其中a、b 为常数,就以下结论正确的 是 Aa1,b1,b0 C0a0 D0a1,b0 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料

4、 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思探究点一有理指数幂的化简与求值a0的结果是2变式迁移1化a3b3ab21143b a4b2aA.b aB abC.a bDa 2b探究点二指数函数的图象及其应用例 2已知函数 y1 3| x1| . 1 作出函数的图象 简图 ；2 由图象指出其单调区间；3 由图象指出当2x 取什么值时有最值,并求出最值y exex图 象大 致为变 式 迁移2022山 东函 数x 的exe 14,求 a 的探究点三指数函数的性质及应用例 3假如函数 ya 2x2a x1 a0 且 a 1 在区间 1,1 上的最大值是值变式迁移 3 20

5、22 龙岩月考 已知函数 f x 21 x11 2 x3. 1 求 f x 的定义域；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2 证明： f x f x ；3 证明： f x0. 分类争论思想的应用a例 12 分 已知 f x a 21 a xax a0 且 a 1 1 判定 f x 的奇偶性；2 争论 f x 的单调性；3 当 x 1,1 时 f x b 恒成立,求 b 的取值范畴【答题模板】解 1 函数定义域为 R,关于原点对称a又由于 f x a 21 axa x f x ,所

6、以 f x 为奇函数 3 分 2 当 a1 时, a 210,xx xxya 为增函数, ya 为减函数,从而 yaa 为增函数,所以 f x 为增函数 5 分 当 0a1 时, a 210,且 a 1 时, f x 在定义域内单调递增7 分 3 由2 知 f x 在 R上是增函数,在区间 1,1 上为增函数,f 1 f x f 1 ,2a a 1af xminf 1 a 21 a1a a 21a 1.10 分 要使 f x b 在 1,1 上恒成立,就只需 b 1,故 b 的取值范畴是 , 1 12 分 【突破思维障碍】本例第 23问是难点,争论f x 的单调性对参数a 如何分类,分类的标准

7、和依据是思维障碍之一【易错点剖析】a xa x有关,仍与a a 21的符号有关,如没考虑a a 21的符在2 中,函数的单调性既与号就会出错,另外分类争论完,在表达单调性的结论时,要综合争论分类的情形,假如没有一个总结性的表达也要扣分,在表达时假如不出现a 的题设条件中的范畴也是错误的1一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数 为分数进行运算, 便于用运算性质进行乘、除、乘方、 开方运算, 可以达到化繁为简的目的2比较两个指数幂大小时,尽量化同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,构造 同一指数函数,然后比较大小；当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图

8、象比 较大小名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3指数函数在同始终角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如下列图,就0cd1ab. 在 y 轴右侧, 图象从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧, 图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在 y 轴的左侧仍是右侧,底数按逆时针方向变大 满分： 75 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 1函数y2x的值域是 B1 ,A0 , C ,D 2,xy xa | x| 0 ab,5如关于 x 的方程 | a x1| 2a a0

9、,a 1 有两个不等实根,就 a 的取值范畴是 名师归纳总结 A0,1 1 ,B0,1 第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思C1 , D0 ,1 2 题号12345 答案二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 x3a,x0 且 a 1 是 R上的减函数,a x,x0就 a 的取值范畴是 _72022 江苏 设函数 f x xe x aex ,xR是偶函数,就实数 a_. 8如函数 f x a x1 a0 且 a 1 的定义域和值域都是 0,2,就实数 a 的值为_4三、解答题 共 38 分

10、已知定义域为R的函数 f x 2 2 x1a是奇函数xbax912 分2022 衡阳模拟1 求 a,b 的值；22t f 2 t2k0 恒成立,求 aa11 a 的 n 次方根根式根指数被开方数2 na nananaa2.1 n a m110 2 ar srs aarb r3.1 R20 ,mn a man30,1 4 y1 0y1 50 y1 6 增函数7 减函数自我检测名师归纳总结 33第 6 页,共 10 页1B 只有正确中a0,a30,所以a22 a 3；中, n 为奇数时且 a1, b0, a b1,0 abd1,1 ab0. - - - - - - -精选学习资料 - - - -

11、- - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5D 由 f x a xb 的图象可以观看出,函数 f x a xb 在定义域上单调递减,所以0a1；函数 f x a xb 的图象是在 f x a x的基础上向左平移得到的,所以 b0. 课堂活动区例 1解题导引1. 指数幂的化简原就1 化负数指数为正指数；2 化根式为分数指数幂；3 化小数为分数2指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂,指幂,即尽量化成与题目表示形式一样且统一的最简结果也不要既有分母又含有负解a,b 是方程的两根,而由9x 282x90 解得 x11 9, x2 9,且 ab,故

12、a1 9,b9,1 化去负指数后求解a1b11 a1abab. 82 9 . 1 a7145a1. bab 1ab11ababa1 9,b9, a b82 9,即原式2 原式a71a31 a8115232332a3262322a1 9,原式 3. 3 1 1变式迁移 1 C 原式a 2 b a 61 b 31ab 2a 3 b 33 1 1 1 1a 2 6 13 b 13 23ab 1ab. 例 2 解题导引 在作函数图象时,第一要争论函数与某一基本函数的关系,然后通过平移、对称或伸缩来完成解y1 方法一由函数解析式可得1 3| x1| 1x1,x 1,33 x1,x1.其图象由两部分组成：

13、名师归纳总结 一部分是： y1 3x x0向左平移 1个单位第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思y 1 3 x1 x 1 ；另一部分是： y3x x0向左平移 1个单位 y3x 1 x1 如下列图方法二 由 y 13 | x|可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称,故先作出 y 13 x 的1图象,保留 x0 的部分, 当 x0 时,e 2 2x10,且随着 x 的增大而增大,x2故 y1e 2x 11 且随着 x 的增大而减小, 即函数 y 在0 , 上恒大于 1 且单调递减 又函数 y

14、是奇函数,故只有 A 正确 例 3 解题导引 1. 指数函数 ya xa0 且 a 1 的图象与性质与 a 的取值有关, 要特别留意区分 a1 与 0a1 时, t a1,a ,ymaxa22a114,解得 a3,满意a1；2 当 0a1 时, t a,a1 ,ymax a122a1 114,解得 a1 3,满意 0a0 时, 2 x1, x 30,所以 21 x11 2 x30. 由于 f x f x ,所以当 x0. 综上所述, f x0. 课后练习区名师归纳总结 1B 由 y2x中x 0,所以 y2x201,即函数的值域为1 , 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习

15、资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2D 函数的定义域为x x| xR,x 0 ,且 yxa | x|a x,x0. 当 x0 时,函数ax, x0是一个指数函数,其底数 a 满意 0a1,所以函数递减；当 x0 时,函数图象与指数函数 ya x的图象关于 x 轴对称,函数递增 3D 函数定义域为 R,关于原点对称,4x1 14xf x 2x2xf x ,f x 是偶函数,图象关于 y 轴对称 4A 当 x0 时, 02 x1,此时 f x 2 x；当 x0 时, 2 x1,此时 f x 1. xx 2 x,所以 f x 1 2 x5D 方程 | a

16、 x1| 2a 有两个不等实根可转化为函数 y | a x1| 与函数 y2a 有两个不同交点,作出函数 y| a x 1| 的图象,从图象观看可知只有 02a1 时,符合题意,即10a 2. 16 3, 1 解析 据单调性定义,f x 为减函数应满意：0a1,13aa 0,即 3a1 时, f 2 2,a 212,a3,体会证符合题意；当 0a1 时, f 0 2,即 11 2,无解a3. 9解 1 f x 是定义域为 R的奇函数,1bf 0 0,即 2a0,解得 b1, 2分 2 x1从而有 f x 2 x1a. 又由 f 1 f 1 知121214a1a,解得 a2. 经检验 a 2 适

17、合题意,所求 a、b 的值分别为 2、1. 4分 2 x1 1 12 由1 知 f x 2 x1222 x1. 由上式易知 f x 在 , 上为减函数 6分 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又因 f x 是奇函数,从而不等式 f t 22t 2t2k. 12即对一切 t R有 3t22t k0. 从而判别式 412k0,解得k1 3. 分 10解方法一1 由已知得3 a 218. 3a2. alog 32. 4分 2 此时 g x 2x4 x,8设 0x10 恒成立, 分 x 2 x 1 x 2 x 1 0 0即 0 在 x , 1 上恒成立,x12即 a4 x 在 x , 1 上恒成立 6分 x12 1 1又由于4 x 2 2x 2 x,1设 t 2 x,1x1, t 21 1 1且函数 f t t 2t t 2 24 t 2 1在 t 2时,取到最大值x1 1 12 3 2 x2即 x1 时,4 x 的最大值为4, 12分 a3 4. 14分 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页