2022年高中数学必修四知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点必修四数学公式概念第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1、一般地,全部与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合. Sk360,kZ. 90k180,kZ与角终边垂直的角的集合：S1.1.2 弧度制2、如图,圆 O 的半径为 1,的长等于 1,AOB 就是 1 弧度的角；ll3、角 的弧度数的肯定值是：r 变形：l r r其中 半径 r ,圆心角,弧长 l . 4、特殊弧度数度01530452607590120135150弧度0126435235122346度1802102252402703003153

2、30360弧度7 6543571124323465、弧长公式：lr1 2lr1 2r“ 弧度” 与“ 度” 运算公式：弧度度180度弧度1806、扇形面积公式：S扇形1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数名师归纳总结 1、如图：OPryx2y20x3、三角函数值的符号第 1 页,共 14 页正弦：sin余弦：cosrr正切：tanyx0x2 三角函数定义域定义域三角函数sinR - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos2名师总结Z精品学问点_ + R tank ,k_ + 4、诱导公式一si n k2s i n,0 2,内的三角函数值；c

3、 o s k2c o s,t a n k2t a n,其中kZ.利用公式一,可以把任意角的三角函数值,转化为5、三角函数线如图,sinyMP,cosxOM,tanATyx6、特殊角的三角函数名师归纳总结 角度030456090120135150180270360sin0 1231321010正弦222222cos1 3031012112余弦222222tan0 3不存30不存03311正切在在33第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结x精品学问点xcosx. x=y 补充 1、如图,角平分线落在一、 三象限线y 上方,就 s

4、in补充 2、如图,当0,2时, sintan证明：SOPAS 扇形OPASOATAT1OAOM1OA21 2OA22MPATsintan1.2.2 同角三角函数的基本关系7、平方关系：sin2cos2sin1变形：sin21cos2,cos21sin228、商数关系：变形：2sinsintansintancos,coscostan112 tan2 cossin29、推导公式：tan212 tan2cos2sinsincos12cossincos1.3 三角函数的诱导公式公式二：s i n,公式三：s i n,公式四：s i n,si ns i ns i nc o sc o s,c o sc

5、o s,c o sc o st a nt a n.t a nt an.t ant a n.公式五：c o s,公式六：c o s,si n2s i n2c o s 2s i n,c o s2s i nt an21 t a n.t an21.t a n1.4 三角函数图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1、正弦、余弦函数图象名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点2、在正弦和余弦函数中,起关键作用的五个点的坐标为：ysinx,x0 ,2：0 ,0,2,1,0,3 2,1,2,0ycos ,x0

6、,2：,01,2,0,130,2,121.4.2 正弦函数、余弦函数的性质3、对于函数 f x,假如存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f x T f x,那么函数 f x 就叫做周期函数 、非零常数 T 就叫做这个函数的周期；函数 y A sin x 及函数 y A cos x 的周期 T 2. 4、重要推论（1）如函数faxffaax,就ffx关于xa对称；如函数faxx,就x关于点,a0对称 . （2）与周期相关的结论名师归纳总结 fxaffx,就函数fx的一个周期T2a；kZ时, y 取最小值1. 第 4 页,共 14 页fxa1,就函数fx的一个周期T2a

7、；xfxaff1,就函数fx的一个周期T2a；xfxaxb,就函数fx的一个周期Tab；fxa1fx,就函数fx的一个周期T4a；1fxfx关于xa和xb对称,就fx周期T2ab；fx关于a ,0和b ,0对称,就fx周期T2ab；a ,fx关于0和xb对称,就fx周期T4ab. 5、正弦函数ysinx的定义域为R；值域为1, 1 . 当x22kkZ时, y 取最大值 1；当x22k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、余弦函数ycosx名师总结精品学问点的定义域为 R ；值域为1, 1 . 当x2 kkZ时, y 取最大值1；当x2 kkZ时, y

8、取最小值1. 7、奇偶性由诱导公式sinxsinx,cosxcosx可知：正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数；8、对称性（1）正弦曲线对称中心坐标为k,02k0Z；对称轴方程是xkx2kZ. （2）余弦曲线对称中心坐标为k,kZ；对称轴方程是kkZ. 9、单调性（1）正弦函数 y sin x 在 2 k , 2 k k Z 上都是增函数, 其值从 1增大2 2到 1；在 2 k , 3 2 k k Z 上都是减函数,其值从 1 减小到 1. 2 2（2）余弦函数 y cos x 在 2 k , 2 k k Z 上都是增函数,其值从 1增大到 1；在 2 k , 2 k k Z 上都是减函数,其

9、值从 1 减小到 1. 1.4.3 正切函数的性质与图像10、正切函数的图像 11、正切函数 y tan x 的定义域是：x x k , k Z . 212、周期性由诱导公式tanxtanx ,xR, x2k,kTZ可知,正切函数是周期函数,周期是. 13、奇偶性由诱导公式,tanxtanx ,xR,x2kkZ可知,正切函数是奇函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14、单调性：正切函数在开区间名师总结,2精品学问点kZ内都是增函数；2kk15、值域：正切函数的值域为 R. 1.5 函数 y A sin x 的图

10、像1、对 y sin x, x R 图像的影响函数 y sin x（0 ）的图像,可以看做是把 y sin x 的图像上各点向左 （0 ）或向右（0 ）平移 个单位得到的； （可简记为左“” 右“” ）2、0 对 y sin x 图像的影响函数 y sin x 的图像上点的横坐标缩短 1 或伸长 0 1 到原先的1 倍（纵坐标不变）而得到的；3、 AA0对yAsinx图像的影响上全部点的纵坐标伸长函数yAsinx的图像,可以看做是把ysinx A1 或缩短0A1 到原先的 A 倍（横坐标不变）而得到；k2kZ4、yAsinx,x0,A0 ,0的性质（1）对称轴：令sinx1,即x2k,x（2）

11、对称中心：令sinx0,xk,xk,22 kk,0kZ（3）最值：ymax1 ,x22 k,ymin,1x名师归纳总结 （4）单调区间：A ,均大于 0 以后,将x整体代入2第 6 页,共 14 页5、当函数yAxx0A0 ,0表示一个振动量时,A 为振幅,Tsin是周期,f12是频率,x为相位,为初相；T- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点其次章 平面对量2.1 平面对量的基本概念2.1.1 平面对量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量；2、数量：只有大小,没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量；2.1

12、.2 向量的几何表示3、有向线段：如图,具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度；4、向量的模：向量可以用有向线段表示；向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度（或称模） ,记作 AB 或者 a . 5、零向量：长度为零的向量叫做零向量,记作0；零向量的方向不确定,是任意的；6、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量,叫做单位向量；7、向量的字母表示：向量在印刷体时,用黑体小写字母 a、 、c、 表示向量；手写时,写成带箭头的小写字母 a b c、 表示；8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量；通常记作 a / b ；零向量与任一向量平行,即对于任

13、意向量 a ,都有 0 / a.平行向量也叫做共线向量；2.1.3 相等向量与共线向量9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量；10、共线向量： 任一组平行向量都可以移动到同始终线上,2.2 平面对量的线性运算所以,平行向量也叫做共线向量；2.2.1 向量加法运算及其几何意义1、三角形法就：如图,已知非零向量 a 、 b,在平面内任取一点 A ,作 AB a ,BC b ,就向量 AC 叫做 a 与 b的和,记作 a b ,即 a b AB BC AC . 对于零向量与任一向量 a ,仍旧有 0 + a = a + 0 = a2、平行四边形法就：如图,以同一点 O 为起点的两个已知向

14、量 a 、 b 为邻边作 OACB ,就以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和；记作 a b = AC . 3、向量 a 、 b 、 a b 的关系（1） a 、 b 都为非零向量（）当 a 、 b 不共线时,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - ababab名师总结精品学问点（）当 a 、 b 共线时,同向,就abab ；反向,就abab（2）当 a 、 b 至少有一个为零向量时,abababab . 综上所述：当 a 、 b 不共线时,一般地,我们有abab4、向量加法（ 1）交换律： abba（2）

15、结合律：abcabc2.2.2 向量减法运算及其几何意义a . 5、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作如 a 、 b 是互为相反的向量,就ab , ba ,ab0. 6、向量的减法：如图,已知向量a 于 b ,在平面内任取一点O,作 OAa , OBb ,就BAab ,即 ab 表示的向量从向量b 的终点指向向量 a 的终点的向量；7、向量 a 、 b 、 a b 的关系（1） a 、 b 都为非零向量,（）当 a 、 b 不共线时：abababba ,（）当 a 、 b 共线时,同向,就abab ；方向,就aba（2）当 a 、 b 少有一个为零向量时,aba

16、babb . 综上所述：当 a 、 b 不共线时,一般地,我们有ababa2.2.3 向量乘法运算及其几何意义8、向量的数乘：实数于向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作它的长度与方向规定如下：aa0a aa 结果也是向量a 的方向与 a 的方向相反；当当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当0 时,0 时,a. 9、向量满意的运算律名师归纳总结 设、为实数,就有a结合律：aaba ；b. 第 8 页,共 14 页第一安排律：aa ；其次安排律：a特殊的,我们有aaa ；abab. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10、数乘向量与原

17、向量之间的位置关系名师总结精品学问点0 . （1）当a0时,a 与 a 共线；0 ；反向,就（2）当a0时,a 与 a 同向,就11、对于向量a a0、 b ,假如有一个实数,使 ba ,那么由向量数乘的定义知,a 与 b 共线；12、共线向量定理（1）判定定理：假如baaR,那么 a / b,使得 ba（2）性质定理：假如a / b ,0,那么存在唯独一个实数2.3 平面对量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面对量基本定理1、平面对量基本定理：假如 1e 、e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 2的任意向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 1、2,使a

18、1 1 e 2 e .我们把不共线的向量 1e 、e 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；2、两向量的夹角如图,非零向量a 、 b 中,作 OAa , OBb ,就AOBo 0o 108叫做向量 a 与 b 的夹角；假如 a 与 b 的夹角是 90 ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a b . 2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示 3、正交分解：把一个向量分解为两个相互垂直的向量,叫做把向量正 交分解 4、如图,由平面对量基本定理可知,有且只有一对实 x、 y 使得a x i y j . 把 a x y 叫做向量的坐标表示；2.3.3 平面对量的坐标运算 5、向量的加减法运算如ax y

19、1,bx 2,y 2,就abx 1x 2,y 1y2,abx 1x 2,y 1y 2两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差；6、实数于向量的积如ax y 1,bx 2,y 2,就ax 1,y 1x 1,y 1实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原先向量的相应坐标；名师归纳总结 7、如A x y 1,B x 2,y 2,就ABx 2x 1,y 2y 1第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标；2.3.4 平面对量共线的坐标表示8、设

20、A x y 1,B x 2,y 2,其中b. 0,当且仅当x y2x y 10时,向量 a、 b 共线；0）x y 1即 a / b （bx y 202.4 平面对量的数量积2.4.1 平面对量数量积的含义1、数量积：已知两个非零向量 a 与 b ,我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）,记作 a b ,即 a b a b cos .其中,是 a 与 b 的夹角；我们规定,零向量与任一向量的数量积为 0.即 0 a 0 . 留意：（1） a 、 b 运算结果是数量； （2）它在 0, 为正, 为负；2 22、依据向量数量积的定义得出的结论（1）aba b0a b. 特

21、殊的,（2）当 a 与 b 同向时, a ba b；当a与b反向时,a ba aa22 a 或aa2a a . （3） a ba b（共线时取等号）（4）求投影,由a ba bcosacosa b. b求夹角,由a ba bcoscosa ba b3、平面对量数量积的几何意义数量积 a b等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影bcos的乘积；4、向量的运算律（1）交换律： a bb aac（2）结合律：aaba2a bab（3）安排律：ab cb c（4）ab2a22 a b2 b（5）abb2 b2.4.2 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角5、平面对量数量积的坐标表示名师归纳

22、总结 设A x 1,y 1,B x 2,y 2,就a bx x2y y2. 第 10 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点也就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；6、向量的长度（模）的坐标表示（1）向量的长度（模） ：如a,xy,就有a22 xy2,ax , Bx2y2. （2）两点间的距离公式：设A、 B 两点坐标分别为x ,yA,yB,就ABxAxA2yByB27、两向量垂直的充要条件的坐标表示设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就abx x 2y y208、两向量夹角的坐标表示设ax 1,y 1,

23、bx 2,y 2, a , b 的夹角为,就有cosa bx 1 2x x 2y y 2y 22a by 1 2x 22平面对量补充内容名师归纳总结 补充 1、平面内不同四点为O A B C ,就. y第 11 页,共 14 页A B C 三点共线OCOAOB1或OCOA1OB . 特殊的,当1时, C 为 AB 中点,OC1OAOB22补充 2、（1）如 GAGBGC0 ,就 G 为 ABC 的重心；（ 2）如A x 1,y 1,B x 2,y 2,Cx 3, y 3,就 G 坐标为xx 1x 2x 33yy 1y 2y 33补充 3、当PPPP 时,就xx 1,yy 1x 2x ,y 2x

24、x 1x 2xxx 1x 21yy 1y 2yyy 1y 21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 总结：如 P P 分P P 终,就x 起名师总结,y 起精品学问点. x 终y 终11第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式1、 cos,coscossinsin（ C）.称为差角的余弦公给出任意角的正弦、 余弦值与其夹角的余弦值之间的关系式；简记作 C. 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2、两角和的余弦公式c o sc o sc o ss i ns i n（ C）3、两角和（差）的正弦公式si

25、 ns i nc o sc o ss i n （ S）si ns i nc o sc o ssi n （ S）4、两角和（差）的正切公式t a nt ant an（ T）1t a nt ant a nt ant an（ T）1t a nt a n3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 5、二倍角的正弦、余弦、正切公式si n 212 s i nc o s2 2 c o s12 1（S 2）c o s 22 c o s2 s i n2 si n C2）t a n 22 t a n（T 2）2 t an8、公式的逆运算即变形公式名师归纳总结 （1）1sin 22 sin2 cos22sincos

26、cossin2sincos2第 12 页,共 14 页（2）升幂公式：1cos2cos2122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 降幂公式：2 cos1 cos2名师总结精品学问点c o s 22 s i n122补充 1：帮助角公式：asinbcosaa2Bb2aab2sinab2 bcos22补充 2：如在三角形“ ” 中,sinA,cosb ,就abABsinAsinB . 3.2 简洁的三角恒等变换6、半倍角的正弦、余弦、正切公式si n 21c o s1cos21 cos22t a n 21c o ssi n1c o s1c o sc o ss

27、 i n7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式2 si n21c o scos221cos2 t a n21c o s221c o s8、象限角符号的判定第一象限2sin22cos22tan2第一、三象限、其次象限第一、三象限、所在的范畴来第三象限其次、四象限、第四象限其次、四象限、如给出角的范畴（某一区间）时,可先求出的范畴,然后再依据确定符号；假如没有打算符号的条件,就在根号前保留正负两个符号9、三角函数的积化和差公式si nc o s1s i nsi n2c o ss i n1s i nsi n2 1c o sc o sc o sc o s2si ns i n1c o sc o s210、

28、三角函数的和差化积公式名师归纳总结 si ns i n2 s i n 2c o s 2第 13 页,共 14 页si ns i n2 c o s 2si n 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c o sc o s2 c o s 2名师总结精品学问点c o s 2c o sc o s2 s i n 2si n 211、三倍角的正弦、余弦、正切公式si n 33 s i n3 4 s i ncos34cos33cost a n 33 t an3 t a n12 3 t a n12、其他一些恒等变换名师归纳总结 sin12tan 2c o s12 t a n2tan12 tan 2第 14 页,共 14 页2 tan212 t a n22 tan2- - - - - - -