2022年高二预习：空间几何体的表面积和体积.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 教同学姓名填写时间2022年月日师年高一学科数学上课时间2022 年月日级阶基础（ ）提高（ ）强化（ ）课时方案第（）次课段共（ 2 ）次课教 案 目 标教 案 难 点 学问梳理空间几何体的表面积与体积 多面体的面积和体积公式教棱名称侧面积 S侧 l 全面积 S 全 体 积V h 棱柱直截面周长S 侧+2S底S 底 h=S 直截面柱直棱柱ch S 底h 棱棱锥各侧面积之和S 侧+S 底1 S 底 h 3正棱锥1 ch2锥棱棱台各侧面面积之和S 侧+S 上底+S 下1 hS 上底+S 下底 3学1 c+c 2h 过台正棱台底+S 下底S 下底

2、程长；表中 S 表示面积, c 、 c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高, h 表示斜高, l 表示侧棱旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台2 2 球S 侧2 rl rl r1+r 2l 2 4 R rl+r r1+r 2l+ r2 1+rS 全2 rl+r V r2h 即 r2l 1 r 32h 1 hr 32 1+r 1r 2+r2 2 4 R 33表中l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、 r2 分别表示圆台上、下底面半径,R 表示半径；6. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：1 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,

3、共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正棱台侧面积公式：S1 c2c hcchlc0rl2 r2 rl正棱柱侧面积公式：Scl正 棱 锥 侧 面 积 公 式 ：旋转体的表面积S1ch1. 圆柱的侧面积与全面积2（1）侧面积：l 为母线长）；求法：侧面绽开（如图）；公式：S2rl （ r 为两底半径,（2）表面积：S2r rl .2. 圆锥的侧面积与表面积（1）侧面积求法：侧面绽开（如图）；公式： Srl ；r rl （ r 为两底半径,l 为母线长） . lx2 r2 R（2）表面积：S事实上：圆锥侧面绽开图为扇形,扇形弧长为2r ,半径为圆锥母线l ,故面积为12rl

4、rl . r23. 圆台的侧面积与表面积（1）侧面积求法：侧面绽开（如图）；x公式：SrR l ；rl事实上：圆台侧面绽开图为扇环,扇环的弧长分别为2r 、 2R ,半径分别为x 、 xl ,故圆台侧面积为RS12Rxl12rxRr xRl ,xRlrRr xrl,SrR l . 22r（2）表面积：r2R2rR l . （ r 、 R 分别为上、下底面半径,l 为母线长）4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：柱体、锥体、台体的体积圆柱 侧面圆台侧面积公式：S rR lSRl1clRrr0积公 式：圆锥侧面积公式：2Srlcl棱柱、棱锥、棱台的体积名师归纳总结 1. 棱柱体积公式：V

5、Sh（ h 为高, S 为底面面积）；S 、S 分别为两底面面积）. 第 2 页,共 12 页2. 棱锥体积公式：V1Sh（ h 为高, S 为底面面积）；33. 棱台体积公式：V 棱台1 3S 1SS 2S h（ h 为高,事实上,设小棱锥高为x ,就大棱锥高为xh . 于是V1S 2xh1S x1S h1S 2S x . 3333xxhS 1xS 2S 1S 1S 2S x 1S h 1,xS 2hS 1h2 / 12 S 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - V1S h1S2S 1S 2S x1S h1S 2S 1S h1S 1SS 2S 2h .

6、 333334. 棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：圆台侧面积公式：V 棱台1 3S 1S S 2S hh 为高） .xrlS 1S 2SS 10S2S圆柱侧面积公式：VSh圆锥侧面积公式：V1Sh3B. 圆柱、圆锥、圆台的体积1. 圆柱的体积：V2 r h （ h为高, r 为底面半径） .2. 圆锥的体积：V12 R h （ h 为高, R 为底面半径） .33. 圆台的体积：V 1 r23x ,就大圆锥高为rRR2h（ r 、 R 分别为上、下底半径,事实上,设小圆锥高为xh （如图） . h于是V1R2xh1r h1RrRr x1R h . R3333xxhrxRrrRr xrh,

7、V1Rr rh12 R h1r2rR2 Rh . Rh3334. 圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：球的体积与表面积4圆1台2体R积公式：V12 R hVrrR2hr03Rr1. 球的体积VR . 3 圆柱体积公式：Vr h 2圆锥体积公式：332. 球的表面积42 R . S经典例题直用公式求面积、求体积例 1 （1）一个正三棱柱的底面边长为 4,侧棱长为 10,求其侧面积、表面积和体积；（2）一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为 60 ,求圆台的侧面积、表面积和体积；（3）已知球的表面积是64,求它的体积 .结果：256 3.（4）在长方体ABCDA B C

8、D 中,用截面截下一个棱锥CA DD ,求棱锥CA DD 的体积与剩余部分的体积之比.结果 1:5 .练习：1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30 ,求正四棱锥的侧面积和表面积 .3 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 已知平行四边形ABCD 中,AB8,AD6,DAB60,以 AB 为轴旋转一周,得旋转体. 求旋转体的表面积. .3. 正方体ABCDA B C D 的棱长为1,就沿面对角线AC 、AB 、CB 截得的三棱锥BACB 的体积为 C A . 1 2B. 1 3C

9、. 1 6D. 1 . 4. 已知正四棱台两底面均为正方形,边长分别为4cm、8cm,求它的侧面积和体积.5. 正四棱锥 SABCD 各侧面均为正三角形,侧棱长为5,求它的侧面积、表面积和体积6. 如正方体的棱长为2 ,就以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.2 3依据三视图求面积、体积 例 2 一空间几何体的三视图如下列图,就该几何体的体积为2 2 2 2 侧（左）视A .223 B. 42 32 C.22 3 D .42332 正（主）视3练习：1. 一个底面为正三角形,侧棱于底面垂直的棱柱的三视图俯视图侧视图3 34 如下列图,就这个棱柱的体积为 . 2. 下图是一个空间几何体

10、的正视图、侧视图、俯视图,假如正视图侧视图直角三角形的直角边长均为1,那么这个几何体的体积为俯视图A . 1B. 1 2正视图C. 1 3D. 1 6俯视图3. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为3 的等腰三角形,4 正视图侧视图俯视图是半径为1 的半圆,该几何体的体积是A .2B.2 233俯视图4 C.D. 4 3 32 4. 已知一个组合体的三视图如下列图,请依据详细的数据,2 运算该组合体的体积.10 正视图10 侧视图4 / 12 1 1 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 下图是一个几何

11、体的三视图,依据图中数据,可得该几何体的表面积是A . 9 B. 10 C. 11 D. 12几何体表面上最短距离问题例 三棱锥 P ABC 的侧棱长均为 1,且侧棱间的夹角都是 40 ,动点 M 在 PB 上移动,动点 N 在 PC 上移动,求 AM MN NA的最小值 .与球有关的组合问题例 1（1）如棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上,就该球的表面积为 . .（ 2）如一个球内切于棱长为3 的正方体,就该球的体积为结果 :9 2例 2 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为的铁球,并注入水,使球浸没在水中并使水面正好与球相切,然后将球取出,求这时容器中水的

12、深度 . 练习：1. 长方体ABCDA B C D 中,AB3,AD4,AA 15,就其外接球的体积为. 2. 求棱长为 1 的正四周体的外接球、内切球的表面积 注：棱长为的正四周体中常用数据：. （ 1）高：6a ,中心到顶点距离：6a ,中心到面距离：6a ,中心到顶点距离：中心到面的距离=3：1. 3412（ 2）全面积：3a ,体积：22a . 12几个重要结论的补充及应用结论 1 锥体平行截面性质锥体平行截面与锥体底面相像,且与底面积比等于两锥侧面积面积比,等于两锥全面积面积比,等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方.,结论 2 如圆锥母线长为l ,底面

13、半径为r ,侧面绽开图扇形圆心角为,就2 r.l结论3 如圆台母线长为l ,上、下底面半径分别为r、R,侧面绽开图扇环圆心角为就2Rlr.5 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：设小圆锥母线长为x ,就有x2r2xr. xxlrxRrrxrlr,RlR2xr2r Rr2Rlr. rl应用1. 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,就圆锥侧面绽开图扇形的圆心角度数为 B A . 120 B. 180 C. 240 D. 3002. 一个圆锥的高是 10cm,侧面绽开图是半圆,求圆锥的侧面积 . 3. 露露

14、从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图）,用它们恰好能围成一个圆锥模型,如圆的半径为 1扇形的圆心角等于 120 ,就此扇形的半径为 CA . 1 3B.6C. 3D. 6 180 ,4. 圆台的上、下底面半径分别为10cm 和 20cm,它的侧面绽开图的扇环的圆心角是那么圆台的表面积是多少？结果：1100 cm . 1,侧面绽开图的圆心角为240 ,就圆锥体积为CD. 10 815. 圆锥母线长为C. 4 5 81A .2 2 81B. 8 816. 如圆锥的侧面绽开图是圆心角为 的比是120 、半径为 l 的扇形,就这个圆锥的表面积与侧面积A . 3: 2 结果： C. B. 2:1C.

15、 4:3D. 5:3空间几何体体积求法例析 . 公式法例 1 四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面中的射影恰好是A ,主视图 aa侧视图其三视图如图,就四棱锥PABCD 的体积为.a例 2 一个几何体的俯视图是一个圆,正视图和侧视图是全等的矩形,它们水平放置时 俯视图（一边在水平位置上）,它们的斜二测直观图是边长为 积为 .6 和 4 的平行四边形,就该几何体的体例 3 用一块长 3m,宽 2m 的矩形木板,在墙面相互垂直的墙角处,围出一个直三棱柱形谷仓,在下面的四种设计中,容积最大的是 A 2 3 2 3 解：略 . 45 45 30 30分割法 3 2 3 2 例 4 已知一个多面体的表

16、面积为 A 36,它的内切球的半径为 B C 2,求该多面体的体积 A .例 5 如图3,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3 的正方形,EF/ /AB ,6 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - EF3, EF 与 AC 面的距离为2,就该多面体的体积为.2AEDFBCAEDMFBCN补形法例 6已知三棱柱的一个侧面面积为S ,相对的棱距离该侧面的、PBCCC 1D1距离是 h ,求证：该三棱柱的体积是V1Sh.D2AA 1B1B例 7已知 PA、 PB 、 PC 两两相互垂直,且PAB、P

17、AC的面积分别为1.5 cm ,2 2 22 cm ,6 cm ,就过 P 、 A 、 B 、 C 四点的外接球的体积为 cm .解： PA 、 PB 、 PC 两两相互垂直,就以它们为基础,补形成为一个长方体,长方体的对角线是外接球的直径 . 设三条棱长分别为 x y z ,就 xy 3,xz 4,yz 12,解得 xyz 12,x 1,y 3,z 4 . 从而 2 2 1 2 3 2 4 2,4 r 226,r 26 . 2V 4r 3 4 26r 3 13 26 . 3 3 2 3点评：对于三条棱两两相互垂直或者 3 个侧面两两相互垂直的三棱柱以及正四周体或对棱分别相等的三棱锥,都可以补

18、形成为长方体或者正方体,它们有共同的外接球,外接球的直径正好是长方体或正方体的体对角线,这样就很简单将球体和三棱锥联系起来.特殊化法例 8如图,直三棱柱ABCA B C 体积为 V ,点 P 、 Q 分别在侧1V.A 1B 1D 1棱AA 、DD 上,APD Q ,就四棱锥BAPQD 的体积为 .解：将条件APDQ 特殊化,使得P 和1A 重合, Q 和 D 重合,四棱锥BAPQD 就P变成三棱锥BADA ,它和直三棱柱等底等高,四棱锥BAPQD 的体积等于1SABDh33等体积转化（变换角度）例 9如图,在长方体ABCDA B C D 中,假如分别过BC 、A D 的 2 个平行平面将长方体

19、分 A QDC 1C 1成体积相等的3 部分,那么C N 1 . D 1BNND 1解：将长方体站立放置,从而更简单观看到相关的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、. 由于A 1MDB 1C直三棱柱 . 长方体被分成体积相等的三部分,即V D HD 1A GA 1VD NCH 1A MBG 1V NC C 1MB B 1它们的等高且等体积,底面积也相等,就是说SA GA 1SA MBG 1SMB B 1,H即1AGAA 1GBAA ,AG2 GB ,C N2. AGB2ND 1例 10如图,已知E 、 F 分别是棱长为a 的正方体ABCDA B C D 的D 1棱AA 、CC 的中点,求三棱锥C

20、1B EF 的体积 . A 1B 1F解：V C 1B EF 1V EB FC 1 11SB C F 1 1AB13 a. ED312C点评：在三棱锥求体积问题中,变换角度就是换顶点、换底面,它是运算三棱锥体积问题长见的转化策略之一,它的基本依据是变换前后等体积. 转换的标准是相应的底面和高是否简单求解. 明显此题直接依据题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底B面和高 . 课堂练习1. 正六棱锥 PABCDEF 中, G 为 PB 的中点,就三棱锥DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之7 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - -

21、- - - - - 比为 C A . 1:1 B. 1: 2 C. 2:1 D. 3: 22. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知方形,且ADE、BCF 均为正三角形,就该多面体的体积为 A A . 2 B. 3 C. 4 D. 33 3 3 2ABCD 是边长为 1 的正EF / / AB ,EF 2,B3. 某几何体的三视图如下,依据图中标出的尺寸（单位：cm）,就这个几何体的体积是2010 10 20204000 cm320 俯视图34634正视图侧视图A .4000 cm 33 B .8000 cm 33C.3 2000 cm D.4. 一个棱锥的三视图如图,就该棱锥的表面积为12

22、26A A .4812 2 B.48242C.36D.36242正视图侧视图6名师归纳总结 - - - - - - -35. 如正方体外接球的体积是32,就正方体的棱长为63俯视图A . 22 B. 2 3 3 C. 4 2 3 D . 4 3 3选D 6. 如图,已知多面体ABCDEFG , AB , AC , AD 两两垂直,平面ABC/ /平面 DEFG ,平面BEF/ /平面 ADGC ,ABADDG2,ACEF1,就该多面体的体积为A . 2B. 4C. 6D. 87. 一个长方体的某3 个面的面积分别是2 ,3 ,6 . 就这个长方体的体积是 .8. 设等边三角形ABC的边长为 a

23、 , P 是ABC内的任意一点,且P 到三边 AB , BC , CA 的距离分别为 设正四周体d ,d ,d ,就有 d 1 d 2 d 为定值 3；由以上平面图形的特性类比空间图形：2ABCD 的棱长为 a , P 是正四周体 ABCD 内的任意一点,且 P 到四个面的距离分别为d ,d ,d ,d ,就有d1d2d3d 为定值是 . 9. 某球的外切圆台上下底面半径分别为 r , R ,就该球的体积是 .9. 在三棱锥 ABCD 中,ABCD6,ACBDADBC5,就该三棱锥的外接球的表面积为 . 10. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,就球的体积是. 11. 体积

24、为 8的一个正方体,其全面积与球O 的表面积相等,就球O 的体积等于11. 如图是一个几何体的三视图,如它的体积是33,就 a_. 3 正视图8 / 12 1 2 俯视图侧视图第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 三棱锥的顶点为P , PA , PB , PC 为三条侧棱,PA , PB , PC 两两相互垂直,又PA 2,PB 3,PC 4,就三棱锥 P ABC 的体积为 _.结果： 4.13. 半径为 R 的球的外切圆柱的表面积为,体积为 .结果：6 R ；22 R .14. 直三棱柱 ABC A B C 的各顶点都在同一球面上,如 AB AC

25、AA 1 2,BAC 120,就此球的表面积等于 .15. 三个球的半径 R R 1 2 , R ,满意 R 1 2 R 2 3 R ,就它们的表面积 S S 1 2 , S ,满意的关系是 .16. 如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长a的最大值为 a,最小值为 b ,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . br17. 某高速大路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示 . 墩的上半部分是正四棱锥 P EFGH ,下半部分是长方体 ABCD EFGH . 图 5、图 6 分别是该标识墩的正视图和俯视图 .（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积.P 9

26、 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课后巩固方案 ：同学对于本次课的评判：特殊中意中意一般差老师评定：同学签字： _ 1、同学上次作业评判： 特殊中意 中意 一般 差师签字：2、同学本次上课情形评判： 特殊中意 中意 一般 差教_ 老师评语：10 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 教案主管审核批复：教案主管签字： _ 星火训练教务处11 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页