2022年高数的全部公式大全3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高等数学公式导数公式： tgx 2 secxarcsinx11x21x2 ctgx 2 cscxarccosx1sec x sec xtgx1csc x cscxctgxarctgx1 axaxlnax2logaxx1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdxlncosxCxdxdxx2 secxdxtgxCCCcos2ctgxdxlnsinxCctgxdxxcsc2xdxsec xdxlnsec xtgxCsin2cscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdx1arctgxCcscxctgxdxc

2、scxCaxdxaxC2 ax2aaadx1lnxaCln2 xa22 axax2a2shxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxC2 ax22 aaxxdxa2lnxdx2arcsinxC2 axa2I22nn1In2Cnsinnxdxn cos00a2a2lnxx2a2x2a2dxxx222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22x2a2arcsinxCa2x2dxxa222a三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du第 1 页,共 9 页2u2u1u21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

3、高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz学习必备欢迎下载）公式：uvnnCkunkvk1un2vnn1 nk1 unkvkuvnnunvk0n1 vnnnu2 .k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fb fafba柯西中值定理：fbfafFbFaF当F xx 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1ynyn1y n1y n24 y 1y 3y n1矩形法：fbabx na1y0y 1梯形法：f2abfbay 0yn2 y 2y 4抛物线法：3 na多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdyduudxyu ydyyudzxyxz全微分的近似运算：

4、zdzfxx ,y xfx,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,vdxvdyduudxudydvxyxy隐函数的求导公式：名师归纳总结 隐函数Fx ,y0,dydxFx y2,ddxyxF xyF xdy第 2 页,共 9 页F2FyFydx隐函数Fx ,y ,z 0,zxF x,zyFyF zF z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 隐函数方程组：Fx,y ,u ,v 0J学习必备欢迎下载FF uF vF, GFu Gv GGx ,y

5、,u ,v 0G uGv u,vuvu1F,Gv1F,GxJx ,vxJu ,x u1F,Gv1F,GyJy,v yJu ,y 多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx0,y00,令：fxxx0,y 0A,fxyx0,y0B,fyyx0,y0C0 时,A0,x 0,y 0 为极大值ACB2就：A0,x 0,y 0 为微小值ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就：yxtt第 3 页,共 9 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx,ydsft,t2t2t特别情形：L- - - - - - -精选学习

6、资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐学习必备欢迎下载标的曲线积分）：设L的参数方程为yx t ,就： t t tQ t,ttdtyP x ,y dxQ x , dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、

7、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 ,0 0 ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 常数项级数：等比数列：1qq2n q11qn1q等差数列：123nn1 n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - -

8、 - - - - - - - 1、正项级数的审敛法学习必备欢迎下载别法）：根植审敛法（柯西判1 时,级数收敛设：lim n u n,就 1 时,级数发散n1 时,不确定2、比值审敛法：1 时,级数收敛设：lim U n 1,就 1 时,级数发散n U n1 时,不确定3、定义法：s n u 1 u 2 u n ; limn s n 存在,就收敛；否就发 散；交叉级数 u 1 u 2 u 3 u 4 或 u 1 u 2 u 3 , u n 0 的审敛法莱布尼兹定理：u n u n 1假如交叉级数满意lim n u n 0,那么级数收敛且其和 s u 1 , 其余项 r n 的确定值 r n u

9、n 1；确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：1p 时发散n p 1 时收敛幂级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xx2x3xnx学习必备欢迎下载1x1 时,收敛于1对于级数3 a0a 1xa2x2x1 时,发散10anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在

10、全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设lim nan1xR时不定0 时,R,其中a n,an1 是3 的系数,就0 时,Ran时,R函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fxn1fx0xx 0fx 0xx02fnx0xx0n2 .n .余项：R nfn1 xx 0,fx可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0n1 .f0f0xf0 xfn0 xnx 00 时即为麦克劳林公式：fx2 .n .一些函数绽开成幂级数： 1x m1mxm m1x212 xm m1 mn1 xn1x1.2n .sinxx3 xx51 nn1x.3.5

11、2 n1 .欧拉公式：ix ecosxisinx或cosxix eeix2sinxix eeix2三角级数：名师归纳总结 ftA 0A nsinntna0a ncosnxbnsinnx在,第 6 页,共 9 页2n1n1其中,a 0aA0,anA nsinn,bnAncosn,tx；正交性：1 ,sinx ,cosx ,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载傅立叶级数：fxa 0n1ancosnxbnsinnx ,周期2n2x b nsinnx 是奇函数2an1n

12、fxcosnxdxn,1,02其中fxsinnxdxn,123,bn1111211181（相加）62 35222324211121112241（相减）122242622232420,b n2正弦级数：afx sinnxdx,123,f0名师归纳总结 余弦级数：b n0,a n2fxcosnxdxn0 ,1,2fxa0ancosnx 是偶函数第 7 页,共 9 页20周期为l2的周期函数的傅立叶级数：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxa 0n1ancosnlxb nsinnlx学习必备2l欢迎下载,周期2其中an1llfx cosnlxdxn0,1,

13、2llbn1lfxsinnlxdxn,1,23l微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y 或P x,y dxQ x,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfx dx 的形式,解法：gy dyfx dx得：G y Fx C 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx ,yx ,y,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,udu u,dxduu分别变量,积分后将y代替xdxdxdxx ux即得齐次方程通解；一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyPx ynQxPxdxdxCePxdxdx当Qx0 时,为齐次方程,yCePxdx当Qx0 时

14、,为非齐次方程,yQxe2、贝努力方程：dyPx yQxy, n01, dx全微分方程：假如Px ,ydxQx,ydy0 中左端是某函数的全微x,分方程,即：dux,yPx ,y dxQx,ydy0,其中：uPy,uQx,yxyux,yC 应当是该全微分方程的通解；二阶微分方程：d2yP x dyQx yfx ,fx 0 时为齐次dx2dxfx 0 时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：*yp yqy0,其中p ,q 为常数；求解步骤：名师归纳总结 1、写出特点方程：r2,prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是*式中y,y,y 的系数；第 8 页,共 9 页2、求出 式的两个根r 1r 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、依据r 1r2 的不怜悯形,按下表写出*学习必备欢迎下载式的通解：r 1,r 2的形式p24q00 * 式的通解c 2er 2xc2sinx 两个不相等实根yc 1 er 1x两个相等实根p24 qyc 1c2xre 1x一对共轭复根0 p24 qyexc 1cosxr 1i,r2ip 2,4 qp22二阶常系数非齐次线性微分方程名师归纳总结 yxpyexqyfx,p,q 为常数x 型第 9 页,共 9 页fP mx型,为常数；fxexPxcosxP nx sin- - - - - - -