全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理.docx

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1、2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）一、选择题1.(2004全国I,理7文7) 椭圆2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线及椭圆相交,一个交点为P,则=( )ABCD4【答案】C.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为.本题中1,由椭圆的定义知1224,24.2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y2=8x的准线及x轴交于点Q,若过点Q的直线l及抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是（ ）A B-2,2C-1,1 D-4,4【答

2、案】C.【解析】本小题主要考查直线及抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想.Q(-2,0),设直线l的方程为(2),代入抛物线方程，消去y整理得：k2x2+(4k2-8)4k2=0,由=(4k2-8)2-4k24k2=64(12)0,解得 -1k1.3.(2004全国、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为x,则该双曲线的离心率( )A5 B C D 【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为x,即2b,b,故该双曲线的离心率.4.(2004全国,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点及抛物线y24x的焦点重合,

3、则此椭圆方程为( )B. 【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程及几何性质.抛物线焦点为(-1,0),1,又，2,b222=3,故椭圆方程为.5.(2004江苏,5)若双曲线的一条准线及抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线的离心率为( )A. B.2 C.4 D.4【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程及几何性质等基本知识.抛物线y2=8x的准线方程为2,双曲线的一条准线方程为,2,解得b2=8,.6.(2004天津,理4文5)设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3201、F2分别是双曲线的左、右焦点,若13,则2( )A. 1或5B. 6C. 7D. 9

4、【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程及几何性质.双曲线的一条渐近线方程为320,a2=4.由双曲线的定义知124,13,27.7.(2004广东,8)若双曲线2x22 (k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则 （ ） A.6 B. 8 C. 1 D.4【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线的方程及几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为,a22,c2.焦点到准线的距离2,即2,解得6.8.(2004福建,理4文4)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且及椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) 【答案】A.【解析】本小题主要考

5、查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为,则过F1且及椭圆长轴垂直的统弦.若2是正三角形,则2 ,即a2-2c2=0,(c)()=0,.BAQPCM东北EGHD9.(2004福建,理12)如图地在A地的正东方向4处地在B地的北偏东300方向2处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元、2a万元,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元 B.5a万元C. (2+1)a万元 D.(2+3)a万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念及性质，考查

6、考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则2a河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.,曲线是双曲线的一支为焦点,且12.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得,即2. a2 2a2a()2a.(其中是点C到准线l的垂线段).=()600=(2)+2.y5a(万元).BAQPCM东北10.(2004福建,文12)如图地在A地的正东方向4处地在B地的北偏东300方向2处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用都a万元

7、,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(+1)a万元 B.(2-2)a万元C.2a万元 D.( -1)a万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念及性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则()河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.,曲线是双曲线的一支为焦点,且12.由双曲线第一定义,得2a,即2, a(2)a.以直线为x轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0)(3).,故y(2-2)a(万元).11.(2004湖北,理6)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点

8、P到x轴的距离为( )A B3 C D【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P为直角顶点，则12221F22,即1222=(2)2,又12=28,12=18.在1F2中到x轴的距离,但3,不合题意，舍去.由对称性，F1、F2之一为直角顶点（不妨设F2为直角），则2.12.(2004浙江,文6理4)曲线y2=4x关于直线2对称的曲线方程是( )2=8-4x 2=4x-82=16-4x 2=4x-16【答案】C【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(),其关于2对称的点的坐标为Q(4),把它代入y2=4x并化简

9、,得y2=16-4x13.(2004浙江,理9) 若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2的焦点分成53的两段,则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D.【解析】抛物线y2=2的焦点为F(,0),F1(c,0)2(c,0)1：25：3,化简,得2b,即,两边平方并化简得4a25c2,14.(2004年浙江,文11) 若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被点(,0)分成53的两段,则此椭圆的离心率为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】见上题15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于,那么点P

10、到右准线的距离是( )AB13C5D【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算解：=,由双曲线的第二定义,得,.16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为( )A BC D【答案】A【解析】设12,则2a, 4n,又2c,即2a2ca,1,所以e的最大值为17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P()满足,则点P的轨迹是( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【解析】=(2)(3),=(2)(3)22,化简,得y26.18.(2004辽宁,9)已知点、,动点P满足. 当点P的纵坐标是时,

11、点P到坐标原点的距离是( )ABCD2【答案】A【解析】由题意知点的轨迹是双曲线的左支11,双曲线的方程为x22=1,把代入双曲线方程,得x2=1,222,.二、填空题19.(2004全国,理15文15)设中心在原点的椭圆及双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .【答案】.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程及几何性质.在双曲线2x2-2y2=1中a2=22=1,则其焦点坐标为F1(-1,0)2(1,0),离心率e1=.所以椭圆的离心率为,1,则22=1.故椭圆的方程是.BxyPFAO20.(2004全国、广西,理16)设P是曲线y2=4(1)上的

12、一个动点,则点P到点(0,1)的距离及点P到y轴的距离之和的最小值为 .【答案】.【解析】本小题主要考查抛物线的方程及几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.抛物线的顶点为A(1,0), 2,准线方程为0,焦点F坐标为(2,0), 所以点P到点B(0,1)的距离及点P到y轴的距离之和等于,如图, ,当B、P、F三点共线时取得最小值,此时.21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a,0)和B(0)的直线及抛物线2-23没有交点,那么实数a的取值范围是 .【答案】(-).【解析】本小题主要考查直线及抛物线的位置关系等基本知识.直线的方程是,由，得x230.若直线及该抛物线没有交点，

13、则=(-1)2-4(-3)=13+4a0,故a0时1|11,n21,同理,当d0时,故d26.(2004湖南,文15) F12是椭圆C：的焦点,在C上满足12的点P的个数为.【答案】2【解析】,设P,则1,2 -,12,1|22|21F2|2,即()2(-)2=16,解得=0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使1227.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：及椭圆：恒有公共点,则b取值范围是 .【答案】-1,3【解析】直线过定点(0),所以对任意的实数k,它及椭圆1恒有公共点的充要条件是(0)在椭圆上或其内部,解得.28.(2004北京春,理文14)若直线 3=0及圆x22=3没有公共

14、点,则满足的关系式为;以()为点P的坐标,过点P的一条直线及椭圆的公共点有个.【答案】0m22,解得0m220)的准线方程为.30.(2004上海春,4)过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、为直径的圆方程是.【答案】(1)22=4.【解析】本小题主要考查抛物线的概念及几何性质,圆的概念及方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径,其长度等于2p.抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为为抛物线的通径,所以4,即圆的半径为2,故圆的方程是(1)22=4.31.(2004上海

15、春,10)若平移椭圆4(3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它及轴、轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是.【答案】.【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆及轴、轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y轴上,下顶点在x轴上,又椭圆中心在第一象限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为.三、解答题32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C：(a0)及直线1相交于两个不同的点A、B.(I)求双曲线C的离心率e的取值范围;()设直线l及y轴的交点为P,且求a的值.【解析】本题主

16、要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)由C及l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 (12)x2+2a22a2=0. 双曲线的离心率（）设由于x12都是方程的根，且120,33.(2004全国,理21文22)给定抛物线C：y2=4是C的焦点,过点F的直线l及C相交于A、B两点.(I)设l的斜率为1,求及的夹角的大小；()设,若l4,9,求l在y轴上截距的变化范围.【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线及抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,解：(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以

17、l的方程为1.将1代入方程y2=4x,并整理得x2-61=0.设A(x11)(x22),则有x12=61x2=1.故及夹角的大小为p.()由题设 得(x2-12)=l(111),即由得y22=l2y12,y12=4x1, y22=4x2,x2=l2x1, 联立、解得x2=l,依题意有l0,B(l,2),或(l2).故直线l的方程为(l-1)2(x-1)或(l-1)2(x-1).当l4,9时,直线l在y轴上的截距为或.由 ,可知在4,9上是递减的,直线l在y轴上截距的变化范围为34.(2004全国、广西,理21文22)设椭圆的两个焦点是F1(,0)及F2(c,0)(c0),且椭圆上存在点P,使得

18、直线2及直线2垂直.(I)求实数m的取值范围；()设L是相应于焦点F2的准线,直线2及L相交于点Q.若,求直线2的方程.【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.解:(I)由题设有m0.设点P的坐标为(x00),由12,得 化简得 x0202. 将及联立,解得 由 所以m的取值范围是m1.()准线L的方程为设点Q的坐标为(x11),则 将 代入,化简得 由题设,得 , 无解.将 代入，化简得 由题设,得 .解得2. 从而,得到2的方程35.(2004全国,理21文22)双曲线的焦点距为2c,直线l过点(a,0)和(0),且点(1,0)到直线l的距离及点(-1,0)到直线

19、l的距离之和sc,求双曲线的离心率e的取值范围【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.解：直线l的方程为,即 0.由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l的距离,同理得到点(-1,0)到直线l的距离由 即 于是得 解不等式,得 由于e1所以e的取值范围是36.(2004江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(,0)(m是大于0的常数).(I)求椭圆的方程；()设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线及y轴交于点M.若,求直线的斜率.【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程及性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算

20、能力.求直线l的斜率,要充分利用条件“”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k,用k、m表示出Q点的坐标；最后由Q点在椭圆上,列方程即可求解.解：(I)设所求椭圆方程为(ab0).由已知中,得, ,所以2m, m,故所求椭圆方程是.()设Q(x00),直线(),则点M(0).当时,由于F(,0)(0),由定比分点坐标公式,得x0, y0.又点Q在椭圆上,解得 2.当时,x0, y0.于是 ,解得 0.故直线l的斜率是0或2.37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y2=2(p0)上一定点P(x00)(y00

21、),作两条直线分别交抛物线于A(x11)(x22).(I)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;()当及的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线的斜率是非零常数.【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.解:(I)当时.又抛物线y2=2的准线方程为,由抛物线定义得,所求距离为.()设直线的斜率为,直线的斜率为.由y12=2102=20,相减得:,故.同理可得,由、倾斜角互补知即,所以,故.设直线的斜率为,由,相减得,所以.将代入得,所以是非零常数.38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)

22、(x11)(x22)均在抛物线上. （I）写出该抛物线的方程及其准线方程; （）当及的斜率存在且倾斜角互补时,求y12的值及直线的斜率.【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2.点P(1,2)在抛物线上,22=2p1,得2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是1.()设直线的斜率为,直线的斜率为,则,及的斜率存在且倾斜角互补,.由A(x11)(x22)均在抛物线上,得 （1）， （2） 由(1)(2)得直线的斜率: .39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,

23、相应于焦点F(c,0)(c0)的准线及x轴相交于点2,过点A的直线及椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若,求直线的方程；(3)(理科做,文科不做)设 (),过点P且平行于准线的直线及椭圆相交于另一点M，证明.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为.由已知得,解得.所以椭圆的方程为,离心率.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线的方程为(3).由方程组得,依题意,得.设,则 由直线的方程得,于是. ,. 由得5k2=1,从而.所以直线的方程为或.(

24、3)(理科)证明:.由已知得方程组注意l1,解得.因,故.而,所以.xyOCPAA40.(2004广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340,相关各点均在同一平面上)【解析】本题主要考查双曲线的概念及方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(1020,0)(1020,0)(0,

25、1020).设P()为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得,故P在的垂直平分线上的方程为x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故3404=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得6801020,b222=10202-6802=53402,故双曲线方程为.用x代入上式,得680,680680,即P(-680,680),故680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.yxOABDCl41.(2004广东,22)设直线l及椭圆相交于A、B两点，l又及双曲线x2y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段. 求直线l的方程.【解析】本题主要考查直线及椭圆的位置关

26、系，以及推理运算能力和综合解题能力.解:首先讨论l不及x轴垂直时的情况,设直线l的方程为,如图所示及椭圆、双曲线的交点为A(x11), B(x22)(x33)(x44).依题意有,由,得(16+25k2)x2-2(25b2-400)=0x12.由,得(12)x2-2(b2+1)=0若1,则及双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k1.x34,由x3124x123400或0.(i)当0时,由得x1,2=,由得x3,4=,由x21=3(x43),即,故l的方程为.()当0时,由得x1,2=,由得x3,4=,由x21=3(x43),即,故l的方程为x.再讨论l及x轴垂直的情况.设直线l的方程为,分别代

27、入椭圆和双曲线方程可解得，y1,2=3,4=,由321343|,即,故l的方程为.综上所述,故l的方程为、x和.42.(2004福建,理22)如图是抛物线C：x2上一点,直线l过点P且及抛物线C交于另xyOPlSTMQ一点Q(I)若直线l及过点P的切线垂直,求线段中点M的轨迹方程；()若直线l不过原点且及x轴交于点S,及y轴交于点T,试求的取值范围【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)设P(x11)(x22)(x00),依题意x101020.由x2, 得y.过点P的切线的斜率k切1,直线l的斜率,直线l的方程为x12(

28、1). 方法1：联立消去y,得x212-2=0.M为的中点，,消去x1,得y002+1(x00),中点M的轨迹方程为2+1(x0).方法2：由y1x12, y2x220,得y12x12x22(x12)(x12)0(x12),则x0,x1,将上式代入并整理,得y002+1(x00),xyOPlSTMQPQ中点M的轨迹方程为2+1(x0).()设直线,依题意k00,则T(0).分别过P、Q作x轴，y轴，垂足分别为P、Q.则.由消去x,得y2-2(k2)2=0 则,方法1:()2 =2=2.y12可取一切不相等的正数，的取值范围是(2).方法2:.当b0时;当b0,于是k2+2b0，即k2-2b,所

29、以=2.当b0时可取一切正数，的取值范围是(2).方法3：由P、Q、T三点共线得,即 ,则 x1y212y12,即 b(x21)=(x2y11y2).于是,2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是(2).43.(2004福建,文21)如图，P是抛物线C：x2上一点,直线l过点P并及抛物线C在点P的切线垂直及抛物线C相交于另一点Q(I)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；xyOPlMQ()当点P在抛物线C上移动时,求线段中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)把2代入x2,得2,

30、点P坐标为(2,2).由x2, 得y.过点P的切线的斜率k切=2,直线l的斜率,直线l的方程为2(2),即26=0.()设P(x00),则y0x02.过点P的切线斜率k切0,当x0时不合意，x00,直线l的斜率,直线l的方程为x02(0). 方法1：联立消去y,得x202-2=0.设Q(x11)(),M为的中点，,消去x0,得2+1(x0),就是所求轨迹方程.由x0知x20,2+12+1+1.上式等号仅当x2,即时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.方法2：设Q(x11)(),则y0x02, y1x12,得y01x02x12(x01)(x01)(x01),x0,将上式代入并整理,得2+1(x

31、0),就是所求轨迹方程.由x0知x20,2+12+1+1.上式等号仅当x2,即时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.44.(2004湖北,理20文20)直线1及双曲线C:2x22=1的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（）是否存在实数k，使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线及方程的关系,及其综合应用能力.解：（）将直线l的方程1代入双曲线C的方程2x22=1后，整理得： 依题意,直线l及双曲线C的右支交于不同两点,故（）设A、B两点的坐标分别为(x11), (x22),则由式得

32、假设存在实数k,使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由得：整理得把式及代入式化简得解得可知使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点.45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线的距离为1,若直线的斜率为k,且, 求实数m的取值范围；当1时,的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.【解析】解: ()由条件得直线的方程即因为点M到直线的距离为1, 即.解得+1m3或1m1.m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是的内心到的距离为1,所以45,直线是的角平分线,且M到、的距离均为1.因此,(

33、不妨设P在第一象限)直线方程为.直线的方程1,解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得,所以所求双曲线方程为即46.(2004上海,文20) 如图, 直线及抛物线2-4交于A、B两点, 线段的垂直平分线及直线5交于Q点. (1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段下方(含A、B) 的动点时, 求面积的最大值.【解析】解:解方程组,得或,即A(4,2)(8,4), 从而的中点为M(2,1).由,直线的垂直平分线方程y1=(x2).令5, 得5, Q(5,5) (2) 直线的方程为0, 设P(x, x24).点P到直线的距离, ,S.P为抛物线上位于线段下方的点, 且P不在直线上,

34、 4x44或440)作直线及抛物线交于两点,点Q是点P关于原点的对称点. (I)设点P分有向线段所成的比为,证明:；()设直线的方程是212=0,过A、B两点的圆C及抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程【解析】解：()依题意,可设直线的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P(0)分有向线段所成的比为,得又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,m),从而.= 所以 ()由 得点A、B的坐标分别是(6,9)、(4,4).由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是则解之得 ,所以圆C的方程是即48.(2004重庆,文理21)

35、设是一常数,过点的直线及抛物线交于相异两点A、B,以线段为直经作圆H(H为圆心).试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线的方程.【解析】解法一：由题意,直线不能是水平线,故可设直线方程为：.又设,则其坐标满足 消去x得 ,由此得,因此.即故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H()是的中点,故,由前已证应是圆H的半径,且.从而当0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.此时,直线的方程为：2p.解法二：由题意,直线不能是水平线,故可设直线方程为：2p,则其坐标满足,分别消去得故得A、B所在圆的方程明显地(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A、B中点H的坐标为故 ,而前面圆的方程

36、可表示为,故为上面圆的半径R,从而以为直径的圆必过点O(0,0).又,故当0时2最小,从而圆的面积最小,此时直线的方程为：2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上,又直径上式当时,等号成立,直径最小,从而圆面积最小.此时直线的方程为2p.49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求： (1)动点P的轨迹方程； (2)的最小值及最大值.【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法及应用、曲线及方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力(1)解法一：直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解. 将代入并化简得,所以于是设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为,因、在椭圆上,所以 得,所以当时,有 ,并且 将代入并整理得 当时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,2),这时点P的坐标为(0,0)也满足,所以点P的轨迹方程为 (2)解：由点P的轨迹方程知所以,故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,最大值为26 / 26