部编6 第6讲　利用导数研究函数的零点问题　新题培优练.doc

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1、1(2019江西赣州模拟)假设函数f(x)aexx2a有两个零点，那么实数a的取值范围是()A.B.C.D.分析：选D.函数f(x)aexx2a的导函数f(x)aex1.当a0时，f(x)0恒成破，函数f(x)在R上单调递减，不可以有两个零点；当a0时，令f(x)0，得xln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此f(x)的最小值为f1ln2a1lna2a.令g(a)1lna2a(a0)，那么g(a)2.当a时，g(a)单调递增；当a时，g(a)单调递减，因此g(a)maxgln20，因此f(x)的最小值为f0，f(x)单调递增，当x(3，)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，f

2、(x)，当x时，f(x)，因此f(x)maxf(3)3ln363ln30，因此方程f(x)0只需一个解答案：13(2018高考世界卷)已经清楚函数f(x)exax2.(1)假设a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)假设f(x)在(0，)只需一个零点，求a.解：(1)证明：当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，那么g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，因此g(x)在(0，)单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只需一个零点当且仅当h(x)在(0，)只需一个

3、零点()当a0时，h(x)0，h(x)不零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0；当x(2，)时，h(x)0.因此h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增故h(2)1是h(x)在0，)的最小值假设h(2)0，即a，h(x)在(0，)不零点；假设h(2)0，即a，h(x)在(0，)只需一个零点；假设h(2)0，即a，由于h(0)1，因此h(x)在(0，2)有一个零点由(1)知，当x0时，exx2，因此h(4a)11110.故h(x)在(2，4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只需一个零点时，a.4(2019南昌市第一次

4、模拟测试)已经清楚函数f(x)ex(lnxaxab)(e为自然对数的底数)，a，bR，直线yx是曲线yf(x)在x1处的切线(1)求a，b的值(2)是否存在kZ，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明因由解：(1)f(x)ex(lnxaxb)，f(x)的定义域为(0，)由已经清楚，得，即，解得a1，b.(2)由(1)知，f(x)ex，那么f(x)ex(lnxx)，令g(x)lnxx，那么g(x)0，g(2)ln210，即f(x)0，当x(x0，)时，g(x)0，即f(x)0.因此f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又当x0时，f(

5、x)0，f(2)e2(ln2)0，f(e)ee0恒成破，因此f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xlna，因此f(x)的单调递减区间为(，lna)，单调递增区间为(lna，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0，1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，因此f(x)在0，1上有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，因此f(x)在0，1上有一个零点；当1ae时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，1)上单调递增，而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0，1上有两

6、个零点，当ea10，即e1ae1或a2(1)时，g(x)在0，1上有两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0，1上有三个零点6(2019高考世界卷)已经清楚函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数，证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大年夜值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明：(1)设g(x)f(x)，那么g(x)cosx，g(x)sinx.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.那么当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.因此g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大年夜值点，即f(x)在存在唯

7、一极大年夜值点(2)f(x)的定义域为(1，)()当x(1，0时，由(1)知，f(x)在(1，0)单调递增，而f(0)0，因此当x(1，0)时，f(x)0，故f(x)在(1，0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1，0的唯一零点()当x时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0，因此存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(0，)单调递增，在单调递减又f(0)0，f1ln0，因此当x时，f(x)0.从而，f(x)在不零点()当x时，f(x)0，因此f(x)在单调递减而f0，f()0，因此f(x)在有唯一零点()当x时，ln(x1)1，因此f(x)0，从而f(x)在(，)不零点综上，f(x)有且仅有2个零点