2021年利用向量法求空间角经典教案.pdf
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1、利用空间向量求空间角目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回顾向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：bababa,cos|（2）两向量夹角公式：|,cosbababa二、知识讲解与典例分析知识点 1：两直线所成的角（范围：2,0(）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与 b 的平行线a 与 b，那么直线a 与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与 b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为a和b，问题 1：当a与b的夹角不大于90 时，异面直线 a、b 所成的角与a和b的夹角的关系？问题2：a与b的
2、夹角大于90时，异面直线a、b 所成的角与a和b的夹角的关系？结论：异面直线a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosnmnmnm例 1 如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11aaBaaCaaaCA)2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC1AC和1CB所成的角为3总结
3、:（1）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？a b O ObaObaba,ba,x y Z AyxCB1AD1B1C精品w o r d 可编辑资料-第 1 页，共 4 页-x y Z AyxCB1AD1B1C知识点 2、直线与平面所成的角（范围：2,0）思考：设平面的法向量为n，则BAn,与的关系？据图分析可得：结论：例 2、如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和BBAA11面所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其
4、余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则),0,0(),2,0,0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC设平面BBAA11的法向量为),(zyxn由00002001zyayazABnAAn取1x，)0,0,1(n设1AC和BBAA11面所成角为213|23|,cos|sin22111aaNACnACnAC1AC和BBAA11面所成角的正弦值21.知识点 3：二面角（范围：,0）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中CDlCDABlAB,.结论：ABOBAn,2ABOn2,BAnABOn（图
5、 1）（图 2）|,cos|sinABnABnABn?D C B A l|,coscosCDABCDABCDAB精品w o r d 可编辑资料-第 2 页，共 4 页-文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:C
6、A2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3
7、L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 H
8、I10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A
9、2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9
10、 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3
11、N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1
12、法向量法结论：或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例 3、如图，ABCD是一直角梯形，90ABC，SA面ABCD，1BCABSA，21AD，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)1,0,0(),0,21,0(),0,1,1(),0,0,0(SDCA易知面SBA的法向量为)0,21,0(1ADn，)1,21,0(),0,21,1(SDCD设面SCD的法向量为),(2zyxn，则有0202zyyx，取1z，得2,1 yx，)1,21,1(2n36|,cos212121nnnnnn即所求二面角的余弦值为
13、36.练习1：如图，正三棱柱1 11ABC ABC的所有棱长都为2，D为1CC中点求二面角11CBAA的余弦值；解：取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，轴的正方向建立空间直角坐标系设平面BAA1的法向量为()xyz，n)3,0,1(AB，1(0 2 0)AA，1,AAnABn?030211zxABnyAAn令1z，得平面1A AD的一个法向量)1,0,3(n设平面11BCA的法向量为),(cbav)3,2,1(1BA，)0,2,2(1BC11,BCvBAv?02203211baBCncbaBAn1nl 2n21,nn|,coscos212121nnnnnn?|,c
14、oscos212121nnnnnn?1nl 2n21,nn21,nn21,nnABCDxzySx z A B C D 1A1C1BO F y 精品w o r d 可编辑资料-第 3 页，共 4 页-文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF9K3N6A2M1文档编码:CA2Z6A3L4K2 HI10Y4A2O10Q9 ZF
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