交大复旦同济自主招生数学试题完美版.docx

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1、交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有实数解，则实数m的取值范围是( )ABm -3Cm -1D4若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0的两个根，则此数列各项的积是( )ApmBp2mCqm

2、Dq2m5设f (x0)2，则( )A-2B2C-4D4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1设f(x)的原函数是，则_2设，则函数(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函数的单调增加区间是_6两个等差数列200，203，206，和50，54，58都有100项，它们共同的项的个数是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是_8将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_三、证明及计算（本题61分）1(6分)已知正数列a1，a2

3、，an，且对大于1的n有，试证：a1，a2，an中至少有一个小于12(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，试求f(x)3(8分)求极限4(10分)设在x0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值(b,c0)5(8分)证明不等式：，6(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率OyxB1A2A1B27(11分)如图所示，设曲线上的点及x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲

4、线上试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；令an为第n组数之和，则an_2_3_4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱及锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为_5正实数x,y满足关系式x2-xy+40，又若x1，则y的最小值为_6一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，

5、然后原速返回，返回中及车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题15分，共90分）1数列an适合递推式an+13an+4，又a11，求数列前n项和Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于，求该棱锥的体积()4设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形5设，其中xn,yn为整数，求n时，的极限6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1问

6、：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论2001年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分）1数的位数是_2若log2log3(log4x)log3log4(log2y)log4log2(log3z)0，则x+y+z_3若log23p，log35q，则用p和q表示log105为_4设sina和sinb分别是sinq及cosq的算术平均和几何平均，则cos2a:cos2b_5设，则函数f(x)cosx+xsinx的最小值为_6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为_7若在数列

7、1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_8在(1+2x-x2)4的二项展开式中x7的系数是_9某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1虽然如此，答案却不必改动，即题目及答案仍相符合，则排错的a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_二、选择题（本题共32分，每小题4分）11a0，b0，若(a+1)(b+1)2，则arctana+arctanb( )ABCD12一个人向正

8、东方向走x公里，他向左转150后朝新方向走了3公里，结果他离出发点公里，则x是( )ABC3D不能确定13( )ABCD14设t表示 t的最大整数，其中t0且S(x,y)|(x-T)2+y2T2,Tt-t，则( )A对于任何t，点(0,0)不属于SBS的面积介于0和p之间C对于所有的t5，S被包含在第一象限D对于任何t，S的圆心在直线yx上15若一个圆盘被2n(n0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是( )A2n+2B3n-1C3nD3n+116若i2-1，则cos45+icos135+incos(45+90n)+i40cos3645( )ABCD1

9、7若对于正实数x和y定义，则( )A”*”是可以交换的，但不可以结合B”*”是可以结合的，但不可以交换C”*”既不可以交换，也不可以结合D”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于( )A3B4C5D7三、计算题（本题共78分）19(本题10分)已知函数f(x)x2+2x+2，xt,t+1的最小值是g(t)试写出g(t)的解析表达式20(本题12分)设对于x0，求f(x)的最小值21(本题16分)已知函数，对于n1,2,3,定义

10、fn+1(x)f1fn(x)若f35(x)f5(x)，则f28(x)的解析表达式是什么？22(本题20分)已知抛物线族2yx2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数tR (1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长xPnyOXn+1XnPn+123(本题20分)设xn为递增数列，x11，x24，在曲线上及之对应的点列为P1(1,1),P2(4,2),，且以O为原点，由OPn、OPn+1及曲线PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若Sn(nN)是公比为的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为，试求S1+S2+Sn+和复旦大学2001

11、年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1sinx+siny=0，则cos2x-sin2y=_2平面p1, p2成a的二面角，平面p1中的椭圆在平面p2中的射影是圆，那么椭圆短轴及长轴之比为_3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，则x+y=_4电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加_52002=83a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37正整数，则a0=_6的常数项为_7_8空间两平面a,b，是否一定存在一个平面均及平面a,b垂直？_9在ABC中，cos(2A-C)cos(2C-B)，则此三角形的形状是_二、解答题(共87分

12、)1求解：cos3xtan5xsin7x2数列3，3-lg2，,3-(n-1)lg2问当n为几时，前n项的和最大？3求证：xR时，|x-1|4|x3-1|4a为何值时，方程有解？只有一解？5一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船及台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6x3-2y31的所有整数解(x,y)，试证明：上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1设方程x3=1的一个虚数根为(n是正整数)=_2设a,b是整数，直线y=ax+b和3

13、条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7及y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=_3投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为_4若x,y,z0且x2+y2+z2=1，则的最小值为_5若2x-2-x=2，则8x=_6若a,b,c为正实数，且3a=4b=6c，则=_7的值为_8函数的值域为_9若圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则cosA=_10若a,b满足关系：，则a2+b2=_11的展开式中x9的系数是_12当时，方程的相异实根个数共有_个13若不等式有唯一解，则a=_14设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且，若b=n（正整数

14、），则可组成这样的三角形_个15有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_16某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了_台，从第二小学向第三小学移交了_台，从第五小学向第一小学移交了_台，移动总数是_台二、计算及证明题（本题共86分）17（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：(1)；(2)已知当， 试用此式及(1)的不等式求18（本题14分）若存在实数x，使f(x)

15、=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数有两个关于原点对称的不动点(1) 求a,b须满足的充要条件；(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）xy144m219（本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度20（本题14分）设数列an满足关系，若N满足，试证明：(1) ；(2) （k为整数）21（本题16分）设为实数，且试写出a及b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3b0，Bx|x+1|+|x-3|6，则=_5数列an的前n项和为Sn，若ak=kpk(1-p),(p

16、1)，则Sk_6若(x-1)2+(y-1)2=1，则的范围是_7边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o二面角，则BC中点及A的距离是_8已知|z1|=2，|z2|=3，|z1+z2|=4，则=_9解方程，x_10(a0)，_二、解答题(本大题共120分)11已知|z|1，求|z2+z+4|的最小值12a1,a2,a3,an是各不相同的自然数，a2，求证：13已知，求的值14一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数(x0)的图象上，求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值15一圆锥的底面半径为12，高为16，球O1内切于圆锥，球O2内切于圆锥侧面，及球O1外切，以次类推，(1) 求所有这些球

17、的半径rn的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,Vn,求16已知数列an的前n项和为Sn，求S200317定义闭集合S，若，则，(1) 举一例，真包含于R的无限闭集合(2) 求证对任意两个闭集合S1,S2R，存在，但同济大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题1f(x)是周期为2的函数，在区间-1,1上，f(x)=|x|，则=_(m为整数)2函数y=cos2x-2cosx,x0,2p的单调区间是_3函数的值域是_45函数yf(x)，f(x+1)-f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作y，对于y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分2y，则yf(x)3xx在x处的

18、二阶差分2y=_6ABCMDNOxyz7从1100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是_8正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投影，则M点坐标是_，CN及DM所成角是_9双曲线x2-y21上一点P及左右焦点所围成三角形的面积_10椭圆在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线及坐标轴所围成的三角形的面积是_二、解答题11不等式对于任意xR都成立，求k的取值范围12不动点，(1) ,3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若，求f(x)的解析式；(3)13已知，(1) 求y的最小值；(2) 求取得最小值时的qBACDA1D1C1B114正三棱柱ABCA1B

19、1C1，|AA1|=h，|BB1|=a，点E从A1出发沿棱A1A运动，后沿AD运动，A1D1E=q，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面面积S及q的函数关系式15已知数列an满足(1) 若bnan-an-1(n=2,3,)，求bn；(2) 求；(3) 求16抛物线y22px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线及A,B，求|AB|(2) 是否存在正方形ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+

20、5y+3z的范围是_2长为l的钢丝折成三段及另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_3函数（）的值域是_4已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且abc，则满足条件的三角形的个数为_5和的最大公约数为，最小公倍数为，则=_,=_,=_,=_6已知,则方程的相异实根的个数是_7的个位数是_8已知数列满足,，且，则=_9的正方格,任取得长方形是正方形的概率是_10已知,则=_1112二、解答题1已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长2某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为 1：2：3：a，求二项式的次数、a、以及二项式系数3f(x)=ax4+x3+

21、(5-8a)x2+6x-9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)04，对于一切自然数n，都有，且，求5对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都及两条直线相切，求椭圆中心的轨迹6已知为公差为的等差数列，(1) 用、表示数列的通项公式；(2) 若，求的最小值及取最小值时的的值复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1，则_2已知，则的范围是_3椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是_412只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有_种取法5已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9

22、，则第三项为_6的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是_7已知，则的最大值为_8设是方程的两解，则=_9的非零解是_10的值域是_二、解答题（每题15分，共120分）1解方程：2已知，且，求3已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求4若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界问函数在上是否有界？5求证：6已知E为棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离7比较及的大小并说明理由8已知数列、满足，且，又，求 (1) ；(2) 简单解答：一、填空题：1. 2. 3.20 4. 二、解答题：5证明1： =（而 原式1+=证明2：

23、 原式同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本大题满分40分）1函数的单调递增区间是_v(cm/s)2015105O51015t(s)2如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数的图象，则该质点运动的总路程s=_（厘米）3设a及b是两条非相互垂直的异面直线，a及b分别是过直线a及b的平面，有以下4个结论：(1) b/a，(2) ba，(3) b/a，(4) ba，则其中不可能出现的结论的序号为_4设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.2

24、0米。若水位高度h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间t（单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_5设q是第二象限角，=_6已知复平面上点A及点B分别对应复数2及2i，线段AB上的动点P对应复数Z，若复数z2对应点Q，点Q坐标为(x,y)，则点Q的轨迹方程为_7设有正数a及b，满足a0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物线上，试问：点C在什么范围之内时BAC是锐角？上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1方程的两根满足，则p=_（pR）2，则x=_3已知nZ，有，则n=_4将3个12cm12cm的正方形沿邻边

25、的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一个边长为的正六边形上（如下图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为_5已知，x、yR，则(x,y)=_6=_7若z3=1，且zC，则z3+2z2+2z+20=_8一只蚂蚁沿123立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_94封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为_，恰好只有一封装错的概率为_10已知等差数列an中，=_二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）1的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值2是否存在三边为连续自然数的三角形，使得(1) 最大角

26、是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由3的最大值为9，最小值为1，求实数a,b4已知月利率为g，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于g的函数关系式（假设贷款时间为2年）5对于数列an：1,3,3,3,5,5,5,5,5,，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都有恒成立（x表示不超过x的最大整数）2005年复旦大学考试试卷一、填空题：1A=，B=，A=_ (表示B在R上的补集)2数x满足，求3求r=的圆心坐标，4抛物线及直线交于A和B两点，最大时, a=_5=_6求1+3+6+7一个班20个学

27、生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为_8求在十进制中最后4位_9定义在R上的函数f(x)（x1)满足 ，则f(2004)=_10求的最大值是_二、解答题1在四分之一个椭圆（xo, y0）上取一点P，使过P点椭圆的切线及坐标轴所围成的三角形的面积最小2在ABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求3在正方体A B C DA1B1C1D1中，E、F、G点分别为AD、AA1、A1B1中点，求：(1) B到面EFG距离；(2) 二面角GEFD1平面角q4在实数范围内求方程：的实数根5已知，求关于a的表达式6直线l及双曲线xy=1交于P和Q两点，直线l及x轴交于A，及

28、y轴交于B，求证：7定义在R上的函数， n=2,3,(1) 求；(2) 是否存在常数M0，有2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=_ABCFED2一个正实数及它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_32005！的末尾有连续_个零4展开式中，项的系数为_5在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为，则塔高为_6三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_；在一次游戏中，甲获胜的概率为_7函数上单调递增，

29、则实数a的取值范围是_8的非实数根，=_92张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_种不同的面值10已知，则数列前100项和为_二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分）11a,b,cR，abc0，bc，a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等根，求证：成等差数列12椭圆，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由13已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值14若函数形式为为关于x的多项式，为关于y的多项式，则称为P类函数，判断下

30、列函数是否是P类函数，并说明理由(1) 1+xy；(2) 1+xy+x2y215设2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题1（本题20分）求和：(1) (2) 2（本题15分）试构造函数f(x),g(x)其定域为（0,1），值域为 0,1(1) 对于任意a0,1，f(x)=a只有一解；(2) 对于任意a0,1，g(x)=a有无穷多个解3（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数4（本题15分）对于任意均为非负实数，且，试用数学归纳法证明：成立5（本题20分）求证：6（本题20分）a,b满足何条件，可使 恒成立7（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由(1) x+1(2) x2+x+1(3) x3+x2+x+1(4) x4+x3+x2+x+18（本题20分）解三角方程：为一实常数9（本题20分）已知曲线，曲线C关于直线对称的曲线为曲线，曲线及曲线关于直线对称，求曲线、的方程10（本题20分）已知抛物线，直线都过点（1，-2）且互相垂直，若抛物线及直线l1,l2中至少一条相交，求a的取值范围11（本题15分）f(x)在1,+)上单调递增，且对任意x,y1,+)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，证明：存在常数k，使f(x)=kx在x1,+)上成立34 / 34