知识梳理_正弦、余弦定理及解三角形_基础.doc

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1、正弦、余弦定理及解三角形编稿：李霞审稿：孙永钊【考大年夜纲求】1、操纵正弦定理、余弦定理，并能处置一些庞杂的三角形度量征询题.2、可以使用正弦定理、余弦定理等知识跟方法处置一些与测量跟多少多何打算有关的理论征询题.【知识搜集】使用解三角形正弦定理余弦定理【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：的三个内角、所对应的三边分不为、.1边的关系：(1)单方之跟大年夜于第三边：，；单方之差小于第三边：，；(2)勾股定理：中，.2角的关系：中，,=1互补关系：2互余关系：3直角三角形中的边与角之间的关系中，如图，有：，.要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在个三角形中，各边跟它所对角的正弦

2、的比相当即：为的外接圆半径2.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他单方平方的跟减去这单方与它们夹角的余弦的积的两倍。即：要点说明：1正弦定理适宜于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.2使用正弦定理可以处置以下两类三角形的征询题：已经清楚两个角及任意边，求其他单方跟另一角；已经清楚单方跟其中边的对角，求其他两个角及另一边.3使用余弦定理可以处置以下两类三角形的征询题：已经清楚三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；已经清楚三角形的三条边，求其三个角.(4)使用余弦定理揣摸三角形形状：勾股定理是余弦定理的特不情况，.在中，因此为锐角；假设，同理可得角、为锐角.当，都成破时，为锐角

3、三角形在中，假设，因此为钝角，那么是钝角三角形同理：假设，那么是钝角三角形且为钝角；假设，那么是钝角三角形且为钝角要点三、解歪三角形的典范1.已经清楚两角一边，用正弦定理，有解时，只需一解.2.已经清楚单方及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已经清楚跟角时，解的情况如下：(1)假设A为锐角时：如图：(2)假设A为直角或钝角时：3.已经清楚三边，用余弦定理有解时，只需一解.4.已经清楚单方及夹角，用余弦定理，必有一解.要点说明：1在使用正弦定理理解已经清楚三角形的单方跟其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边跟角时，偶尔可以出现一解、两解或无解情况，应结合图形并按

4、照“三角形中大年夜边对大年夜角来揣摸解的情况，作出精确取舍.2在揣摸三角形的形状时，一般将已经清楚条件中的边角关系使用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变卦或代数式的恒等变卦如因式分析、配方等求解，留意等式单方的公因式不要约丢掉，要移项提取公因式，否那么会脱漏一种形状的可以要点四、三角形面积公式1表示边上的高；2；3；4；5.要点五、理论征询题中的常用角1.仰角跟俯角与目的视线在一致铅垂破体内的水平视线跟目的视线的夹角，目的视线在水平视线上方时叫仰角，目的视线在水平视线下方时叫俯角，如以下列图：2.方位角：一般指正南倾向线顺时针到目的倾向线的水平角.方位角的取值范围为0360

5、.如图，点的方位角是。3.坡角跟坡度坡面与地破体所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度跟水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。【模典范题】典范一、使用正弦、余弦定理解三角形例1.在中，已经清楚以下条件，解三角形.1,；2，.【思路点拨】画出表示图1正弦定理的使用；2余弦定理的使用.【分析】1，法一：，或，事前，；事前，舍去.法二：，即，.2法一：，法二：又，即，有，.【总结升华】解三角形时，可以按照题意画出恰当的表示图，然后精确选择正、余弦定理解答；解三角形时，要留意三角形内角跟为180，一致个三角形中大年夜边对大年夜角等性质的使用.举一反三：【变式1】在ABC中，a

6、，b，B45.求角A，C跟边c.【分析】由正弦定理得，sinA.ab，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.【变式2】在ABC中，A60，B75，a10，那么c等于()ABC.D【答案】C【分析】由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即c.【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223例1】【变式3】在ABC中，AB2，AC3，那么BC()A.B.CD.【答案】A【分析】，,，由余弦定理有，从而BC.例2.在ABC中，已经清楚，试揣摸ABC的形状【思路点拨】将等式右边正切化为正弦、余弦方法，右边使用正弦定理将边化为角的方法，化简再

7、揣摸.也可以开门见山将等式右边化为边的方法揣摸.【分析】方法一：化边为角由题意得，化简拾掇得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=A=B或，三角形的形状为等腰三角形或直角三角形方法二：化角为边由已经清楚得结合正、余弦定理得，拾掇得即三角形为等腰三角形或直角三角形【总结升华】按照正、余弦定理定理的结构特征，假设在式子中出现的为与边相关的一次式，那么一般多用正弦定理，；假设在式子中出现的为与边相关的二次式，那么一般多用余弦定理.举一反三：【变式1】在ABC中，假设2cosBsinA=sinC，那么ABC的形状肯定是A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形

8、D等边三角形【答案】B【分析】解法一：由已经清楚结合正、余弦定理得，拾掇得a2=b2，a=b，ABC肯定是等腰三角形.解法二：，由已经清楚得sinAcosBcosAsinB=0，即sinAB=0。又AB，AB=0，即A=B，ABC为等腰三角形.【变式2】在中，假设b=asinC,c=acosB，试揣摸的形状【答案】为等腰直角三角形【分析】由b=asinC可知，由c=acosB可知拾掇得，即三角形肯定是直角三角形，A=，sinC=sinBB=C，ABC为等腰直角三角形典范二、解三角形及其综合使用例3.2016山东高考在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚证明：a+b=2c;求c

9、osC的最小值.【思路点拨】把已经清楚公式使用切化弦公式化简，再使用两角跟差公式后用正弦定理即可；按照，使用余弦定理及全然不等式即可。【分析】()由题意知,化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB,因为A+B+C=,因此sin(A+B)=sin-C=sinC，从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.由知，因此当且仅当a=b时，等号成破.因此的最小值为【总结升华】有关三角形中的三角函数征询题，敏锐使用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，从而到达解题的目的.举一反三：【变式1】湖南高考设ABC的内角A，

10、B，C的对边分不为a，b，c，a=btanA证明：sinB=cosA；假设sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【分析】证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinC-sinAcosB=cosAsinB=，由1sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223例4】【变式2】在ABC中,角A、B、C所对的边分不为a

11、,b,c，已经清楚(I)求sinC的值；()当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长【答案】(I)()例4.如图，A，B是海面上位于东东倾向相距海里的两个不雅观察点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救旗帜暗记，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船破刻前往营救，其飞翔速度为30海里小时，该救援船到达D点需要多少多时辰？【思路点拨】在DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在DAB中，由余弦定理可求得CD；最后按照时辰=行程速度，即可求得该救援船到达D点需要的时辰.精确寻出题目中的倾向角是解题的关键之处.【分析】由题意知海里，DBA=9060=30，DA

12、B=9045=45，ADB=180(45+30)=105，在DAB中，由正弦定理得，海里.又DBC=DBA+ABC=30+(9060)=60，海里，在DBC中，由余弦定理得，CD=30海里，那么需要的时辰小时.【总结升华】对图形停顿有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.举一反三：【变式1】如图,甲船以每小时海里的速度向正南倾向飞翔,乙船按结实倾向匀速直线飞翔,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的倾向处,现在两船相距20海里.当甲船飞翔20分钟到达处时,乙船飞翔到甲船的北偏东倾向的处,现在两船相距海里,征询乙船每小时飞翔多少多海里?【分析】如图，贯串衔接，是等边三角形，在中，由余弦定理得:，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时飞翔海里.【变式2】如以下列图，已经清楚两座灯塔A跟B与海洋不雅观看站C的距离都等于akm，灯塔A在不雅观看站C的北偏东20，灯塔B在不雅观看站C的南偏东40，那么灯塔A与灯塔B的距离为AakmBkmCkmD2akm【答案】B【分析】使用余弦定理解ABC.易知ACB=120，在ABC中，由余弦定理得，km.