知识讲解_《导数及其应用》全章复习与巩固（提高）（理）--.doc

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1、导数及其运用全章复习与波动编稿：李霞审稿：张林娟【深造目标】1.会运用导数处理曲线的切线的征询题.2.会运用导数处理函数的单调性等有关征询题.3.会运用导数处理函数的极值、最值等有关征询题.4.能通过运用导数这一货色处理生活中的一些优化征询题：比如利润最大年夜、用料最省、效能最后等征询题【知识搜集】【要点梳理】要点一：有关怀线征询题直线与曲线相切，我们要抓住三点：切点在切线上；切点在曲线上；切线歪率等于曲线在切点处的导数值.要点说明：通过以上三点可以看出，抓住切点是处理此类题的关键，有切点开门见山求，无切点那么设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的征询题设函数在区间a，b内可导，1假设恒

2、有，那么函数在a，b内为增函数；2假设恒有，那么函数在a，b内为减函数；3假设恒有，那么函数在a，b内为常数函数.要点说明：1假设函数在区间a，b内单调递增，那么，假设函数在a，b内单调递减，那么.2或恒成破，求参数值的范围的方法：不离参数法：或.假设不克不迭隔绝参数，的确是求含参函数的最小值，使.或是求含参函数的最大年夜值，使要点三：函数极值、最值的征询题函数极值的征询题1判定函数的定义域；2求导数；3求方程的根；4检查在方程根左右的值的标志，假设左正右负，那么f(x)在谁人根处取得极大年夜值；假设左负右正，那么f(x)在谁人根处取得极小值.(最好通过列表法)要点说明：先求出定义域一般都要列

3、表：然后看在每个根附近导数标志的变卦：假设由正变负，那么该点为极大年夜值点；假设由负变正，那么该点为极小值点.留心：无定义的点不用在表中列出按照表格给出结论：留心肯定指出在哪取得极值.函数最值的征询题假设函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，那么求函数在上的最大年夜值跟最小值的步伐如下：1求函数在内的导数；2求方程在内的根；3求在内一切使的的点的函数值跟在闭区间端点处的函数值，；4比较上面所求的值，其中最大年夜者为函数在闭区间上的最大年夜值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点说明：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大年夜仍然极小值，只需将导数为0的点跟端点的函数值停顿比较即可.假

4、设在开区间内可导，且有唯一的极大年夜小值，那么这一极大年夜小值即为最大年夜小值.要点四：优化征询题在理论生活中用料最省、利润最大年夜、效能最后等征询题，常常可以归结为函数的最大年夜值征询题，从而可用导数来处理.我们清楚，导数是求函数最大年夜小值的有力货色，导数在理论生活中的运用要紧是处理有关函数最大年夜值、最小值的理论征询题.运用导数处理理论征询题中的最值的一般步伐：(1)分析理论征询题中各量之间的关系，寻出理论征询题的数学模型，写出理论征询题中变量之间的函数关系式；(2)求函数的导数，解方程；(3)比较函数在区间端点跟极值点的函数值大小，最大年夜(小)者为最大年夜(小)值要点说明：处理优化征

5、询题的方法：起首是需要分析征询题中各个变量之间的关系，树破适当的函数关系，并判定函数的定义域，通过制作在闭区间内求函数取值的情境，即中心征询题是树破适当的函数关系.再通过研究呼应函数的性质，提出优化方案，使征询题得以处理，在谁人过程中，导数是一个有力的货色运用导数处理优化征询题的全然思路：树破数学模型处理数学模型作答用函数表示的数学征询题优化征询题用导数处理数学征询题优化征询题的答案得出变量之间的关系后，必须由理论意思判定自变量的取值范围；在理论征询题中，偶尔会遇到函数在区间内只需一个点使f(x)0的状况，假设函数在这点有极大年夜(小)值，那么不与端点值比较，也可以清楚这的确是最大年夜(小)值

6、在务理论征询题的最大年夜(小)值时，肯定要留心考虑理论征询题的意思，不符合理论意思的值应舍去要点五：定积分的不雅观点假设函数在区间上连续，用分点将区间中分成个小区间，在每个小区间上取点，作跟式：事前，上述跟式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即要点说明：1定积分是一个常数，即无限趋近的常数时，记为，而不是(2)定积分是一个数值极限值，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示有关，即称为积分方法的波动性，不的定积分与积分区间，绝不相关，差异的积分区间，定积分的积分上下限差异，所得的值也就差异，比如与的值就差异要点六：定积分的多少多何意思从多少

7、多何上看，假设在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线跟曲线所围成的曲边梯形(如图a中的阴影部分)的面积.要点说明：1事前，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在多少多何上表示上述曲边梯形面积的相反数负数因此，即，如图b2当在区间，上有正有负时，积分在多少多何上表示多少多个小曲边梯形面积的代数跟轴上方面积取正号，轴下方面积取负号在如图c所示的图象中，定积分要点七：定积分的运算性质性质1：；性质2：；性质3：定积分关于积分区间存在可加性。如右图：其中性质4设在，上连续：当是奇函数，；当是偶函数，要点八：求定积分的全然方法定义法极限不雅观念一般步伐：联络，近似替换，求跟，取极限公式

8、法微积分全然定理微积分全然定理牛顿-莱布尼茨公式：假设，且在，上可积，那么运用定积分的多少多何意思，转化为规那么图形如三角形、四边形、圆等的面积运用奇偶函数在对称区间上的性质要点三运算性质4。要点说明：关于这多少多种打算定积分的方法，要公正的运用：一般先看积分区间，假设是对称区间，就运用对称区间上积分的性质来化简方法，接着分析被积函数的特征，假设是有理函数，就运用微积分全然定理打算方法，假设是在理函数，那么运用定积分的多少多何意思打算方法而运用定积分的定义求积分的值时，除了多少多个专门的状况需要求积分比较艰辛，一般特不常用要点九：定积分的运用破体图形的面积求破体图形的面积，要紧是运用定积分的多

9、少多何意思，借助图形直不雅观，把破体图形停顿适当的联络，从而把求破体图形面积的征询题转化为求曲边梯形面积的征询题不联络型图形的面积由曲线围成的面积，要按照图形，判定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后打算定积分即可求由曲线围成图形面积的一般步伐：(1)按照题意画出图形；(2)寻出范围，判定积分上、下限联破与，解方程组得；(3)判定被积函数上曲线-下曲线：；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分全然定理打算定积分，求出结果联络型图形面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在差异的区间位于上方跟下方的曲线差异时，这种图形的面积怎么样求呢？要将所求的曲面面积联络成多少多个不联络图形

10、面积的方法求联络型图形面积的一般步伐：1按照题意画出图形；2先求出曲线的差异的交点横坐标，将积分区间细化；3判定呼应区间的被积函数上曲线-下曲线；4将各细分区间的不联络破体图形的面积分不用定积分表示，那么所求图形面积表示为假设干定积分跟的方法；5运用微积分全然定理打算定积分得出结果复杂改变体的体积改变体可以看作是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴改变一周而成的多少多何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等运用定积分也可以求出一些复杂的改变体的体积，体积公式为【模典范题】典范一：运用导数处理有关怀线征询题例1假设直线与曲线相切，试求的值【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点.【分析】设与相切

11、于那么，又，由得：，即，.【总结升华】当切点未知时，要先设切点，然后按照直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.举一反三：【变式】已经清楚曲线在处的切线偏偏与抛物线相切，求抛物线方程跟抛物线上的切点坐标【答案】曲线上的切点为A(1,2).,切线方程为，即.设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，抛物线上半支的方程为,那么,得(1)又点在切线上，2由(1)(2)求得，.故抛物线方程为,切点为(2,8).典范二：运用导数处理有关函数单调性的征询题【高清课堂：导数的运用综合370878例题3】例2.已经清楚函数()=(0).()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线

12、方程；()求()的单调区间.【思路点拨】()求出导数后，要紧按照的正负停顿分类讨论.【分析】I事前，由于，因此曲线在点处的切线方程为即II，.事前，.因此，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.事前，由，得，因此，在区间跟上，；在区间上，故得单调递增区间是跟，单调递减区间是.事前，故得单调递增区间是.事前，得，.因此在区间跟上，；在区间上，故得单调递增区间是跟，单调递减区间是【总结升华】1处理此类题目，关键是解不等式或，假设中含有参数，须分类讨论.2特不该留心，在求解过程中应先写出函数的定义域.举一反三：【高清课堂：导数的运用综合370878例题1】【变式1】函数的图象大

13、年夜抵是ABCD【答案】C起首易揣摸函数为奇函数，打扫A，求导后解导数大年夜于零可得周期性区间，从而打扫B、D,应选C.【变式2】(江西)已经清楚函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)假设f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围【答案】(1)当b4时，f(x)(x24x+4)，那么由f(x)0，得x2或x0当x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为减函数当2x0时，f(x)0，f(x)在(2，0)上为增函数当0x时，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数当x2时，f(x)取极小值为0当x0时，f(x)取极大年夜值为4；(2)由f(x)(x2bx+

14、b)，得：由f(x)在区间(0，)上单调递增，得f(x)0对任意x(0，)恒成破即5x23bx+2x0对任意x(0，)恒成破对任意x(0，)恒成破b的取值范围是典范三：运用导数处理函数极值、最值的征询题例3.设为自然对数的底，a为常数且，取极小值时，求x的值.【思路点拨】求导后可采用求根法求出极值点，再结合函数图象讨论增减性以判定极值.【分析】令1，由表x，22f(x)+00+fx极大年夜值极小值取极小值.2无极值.3时，由表x，2f(x)+00+fx极大年夜值极小值，.【总结升华】1.导数式含参数时，怎么样讨论参数范围而判定到数值的正负是处理这类题的难点，一般采用求根法跟图像法.2.列表能比

15、较明晰的看清极值点.3.写结论时极值点跟极大年夜小值都要交代明晰.举一反三：【高清课堂：导数的运用综合370878例题2】【变式1】设函数那么A在区间内均有零点.B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点.【答案】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应选择D.【变式2】(安徽文)已经清楚函数(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)假设，求f(x)在(0，+)内的极值。【答案】()由题意可知x+r0即x-r，即可求出f(x)的定义域；f(x)的定义域为(-，-r)(-r，+)又又a0，

16、r0令令()由()可知f(x)在(0，+)内的极大年夜值为F(x)在(0，+)内无极小值；因此f(x)在(0，+)内极大年夜值为100，无极小值.【变式3】设函数，其中证明：事前，函数不极值点；事前，函数有且只需一个极值点，并求出极值【答案】由于，因此的定义域为事前，假设在上单调递增；假设在上单调递减因此当，函数不极值点事前，令，得将舍去，事前，随的变卦状况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只需一个极小值点，极小值为事前，随的变卦状况如下表：0极大年夜值从上表可看出，函数有且只需一个极大年夜值点，极大年夜值为综上所述，事前，函数不极值点；事前，假设时，函数有且只需一个极小值点，极小值为假设

17、时，函数有且只需一个极大年夜值点，极大年夜值为例4.求函数在上的最大年夜值其中.【思路点拨】为了简化运算，可考虑换元：令.【分析】令，那么求在0，1上的最大年夜值事前，显然在0，1上为增函数，因此事前，令得：，易知时，为增函数时，为减函数.因此假设现在，那么在0，1上为增函数，现在.假设现在，那么在上为增函数，在上为减函数.因此由以上讨论知事前，；事前，.【总结升华】求含参函数在某区间上的最值征询题，起重要通过对参数分类讨论，判定出函数的单调区间，其要紧善于对极值跟端点值停顿比较，现在屡屡需要接着分类讨论.举一反三：【高清课堂：导数的运用综合370878例题4】【变式】设a0，f(x)=x1l

18、n2x2alnxx0.令Fxxfx，讨论Fx在0.内的单调性并求极值；求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1.【答案】按照求导法那么有，故，因此，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，因此，在处取得极小值由知，的极小值因此由上表知，对一切，恒有从而事前，恒有，故在内单调增加因此事前，即故事前，恒有典范四：运用导数处理优化征询题例5.如以下列图，某地有三家工厂，分不位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB20km，BC10km为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形地域上(含界线)，且与A、B等距离的一点O处，修建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO记排

19、污管道的总长度为ykm，设BAO(tad)，将y表示为的函数为怎么样判定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短?【分析】由于，因此由得由于，故事前，；事前，因此函数在时取得极小值，谁人极小值的确是函数在上的最小值事前，AOBO(km)因此，当污水处理厂建在矩形地域内且到A、B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短【总结升华】此题的关键是在令得后肯定要验证为极小值点举一反三：【变式】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的本钞票为3元，同时每件产品需向总公司交a元3a5的管理费，估量当每件产品的售价为x元9x11时，一年的销售量为(12x)2万件1求分公司一年的利润L万元与每件产品

20、的售价x元的函数关系式；2当每件产品的售价为多少多元时，分公司一年的利润L最大年夜，并求出L的最大年夜值Qa【答案】1分公司一年的利润L万元与售价x元的函数关系式为：L=(x3a)(12x)2，x9，112L=(12x)22(x30)(12x)=(12x)(18+2a3x)令L=0得或x=12不合题意，舍去3a5，在两侧L的值由正变负当，即时，Lmax=(930)(129)2=9(6a)当，即时，综上，假设，那么当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大年夜，最大年夜值Qa=9(6a)万元；假设a5，那么当每件售价为元时，分分司一年的利润L最大年夜，最大年夜值Qa=4万元典范五：定积分的打算例

21、6.打算以下各定积分：1；2；3；4.【思路点拨】1中被积区间是对称区间，被积函数是奇函数，故运用性质4停顿打算较笨重；2、3用微积分全然定理打算；4被积函数是在理函数，运用定积分的多少多何意思打算。【分析】1方法一：运用性质开门见山打算：函数是奇函数，.方法二：开门见山打算.方法三：运用定积分的多少多何意思：函数的图象如以下列图：设函数y轴左侧部分图象与轴围成的图形面积为，轴右侧部分图象与轴围城的图形面积为.由正弦曲线的对称性可知，=.2，即，.34函数表示以0，0为圆心，以1为半径的半圆上的一段弧，那么表示这段弧所对应的圆心角为的扇形的面积.如图中阴影部分所示：.【总结升华】打算定积分的方

22、法有特不多，各个方法有差异的特征，往常深造中留心总结法那么，以期选择最适宜、最随便打算的方法.除了我们介绍的四种方法之外，尚有恢复法、分部积分法等等打算定积分的方法，可用于被积函数较复杂的状况。由于逾越了考纲范围，因此在讲义与教学中不作介绍，有兴趣的同学可以通过课外深造.举一反三：【变式1】打算上去定积分：1；2；3；4；【答案】9/21是奇函数，.2.3.4，函数是偶函数，因此，运用导数的多少多何性质可知，表示圆在第一象限的扇形的面积，为，如以下列图。因此.是奇函数，因此。因此.【变式2】打算的值。【答案】，.【变式2】打算，其中【答案】.典范六：运用定积分求破体图形的面积例7.打算由曲线及

23、直线所围成的破体图形的面积。【思路点拨】画出图象，判定被积函数与积分上、下限，将面积转化为定积分的方法，运用微积分全然定理精确的打算出结果.【分析】第一步：按照题意画出图形：第二步：寻出范围，判定积分上、下限：联破解得或因此曲线及直线的交点坐标是0，0跟1，1.那么取为积分变量，积分区间为0，1.第三步：判定被积函数：被积函数为：.第四步：将面积用定积分表示，并打算：设所求破体图形的面积S，那么.【总结升华】运用定积分求不联络破体图形的面积，要按照图形，判定积分上、下限，判定被积函数，将面积精确的用定积分表示，然后打算即可.举一反三：【变式1】求由抛物线与直线所围成图形的面积【答案】如图，联破

24、解得或抛物线与直线的交点坐标是(3，5)跟(2，0)取为积分变量，积分区间为：0，1，被积函数为：.设所求图形的面积为S，那么【变式2】求椭圆所围图形的面积。【答案】椭圆的大年夜抵图形如以下列图：由于椭圆是中心对称图形，因此椭圆所围图形的面积设为S是椭圆在第一象限内面积设为的4倍.在第一象限，椭圆方程可变形为：，因此.按照定积分的多少多何意思求的值。表示圆的面积，如图：，.因此，椭圆所围图形的面积是.【变式3】求抛物线在0，1内的一条切线，使它与两坐标轴跟抛物线所围图形的面积最小.【答案】设切点坐标为.那么该点处的切线方程为，那么该切线与轴、y轴的交点坐标分不为，.因此，面积，上面用导数来求其

25、最小值。，令，得，事前，；事前，因此，是在0，1上的唯一极小值点，也是最小值点，现在，切线方程为.例8.求由曲线，及直线，所围成图形的面积【思路点拨】画出图象，在被积区间上被积函数是不不合的，因此需要将积分区间细化.【分析】第一步：按照题意画出图形：第二步：将积分区间细化：联破，解得.由图可知，破体图形阴影地域是被分成左、右两部分.第三步：判定被积函数：在区间，被积函数为；在区间，被积函数是.第四步：将面积表示为定积分的方法，并打算：设所求破体图形的面积为S，右边图形面积为，右边图形面积为，那么因此，所求图形的面积为.【总结升华】用定积分求联络型破体图形的面积，一般步伐是：先通过求曲线的差异的

26、交点横坐标将积分区间细化，再分不求出呼应区间不联络破体图形的面积再求跟，留心在每个区间上被积函数均是由上减下举一反三：【变式1】打算由曲线跟直线所围成的图形的面积.【答案】按照题意画图图形，联破解得因此曲线跟直线的交点坐标是.方法一：取为积分变量：所求破体图形设面积为被直线分成左、右两部分设面积分不为，那么其中，.因此，所求图形的面积.方法二：取y为积分变量：曲线可化为，直线可化为，那么被积函数为，积分区间为：，那么所求图形的面积为：.【变式2】曲线与坐标轴所围成的阴影部分图形的面积是_.【答案】设阴影部分图形的面积为S，由图可知，S是由的右边部分设为跟右边部分设为构成的.那么：方法一：，其中，.那么，.方法二：由的对称性可知，.典范七：运用定积分求复杂改变体的体积例9.求抛物线与直线及轴所围成的图形绕轴改变一周所得改变体的体积【思路点拨】判定被积函数与积分区间，按照公式打算.【分析】如图，由于，因此，因此，所求改变体的体积.因此，所求改变体的体积是.【总结升华】求复杂改变多少多何体的体积要理解“累加思想，按照图形中曲线交点精确判定积分的上、下限，公正判定被积函数.要理解其中包括的定积分思想.举一反三：【变式】打算椭圆所围成的图形绕轴改变而成的多少多何体的体积【答案】如图：由椭圆的对称性可知，谁人改变体可看作是由上半个椭圆与轴所围成的图形绕轴改变所生成的多少多何体，其体积