初三比例线段和相似定义蔡远方李彬.docx

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1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：蔡远方、李彬 授课类型T比例线段和相似三角形定义C黄金分割T平行线截得的线段成比例授课日期与时段教学内容比例线段和相似三角形的定义一、同步知识梳理比例线段和相似三角形的定义 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段 ，简称比例线段比例性质 ：等比性质：如果a/b=c/d=m/n (b+d+n0), 那么(a+c+m)/(b+d+n)=a/b合比性质：如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d分比性质：

2、如果a/b=c/d,那么(a-b)/b=(c-d)/d比例中项：一般地如果三个数a、b、c满足=或a：b=b：c，那么b就叫做a、c的比例中项比例中项：b=ac 黄金分割比：黄金分割：最美丽的比率黄金比 A P B 相似三角形的定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形二、同步题型分析题型1：设比值求解：。求.解析：设，代入中得原式答案：举一反三：假设,且2ab+3cabc.解析：设=k 那么a+2=3k，b=4k，c+5=6ka=3k-2，b=4k，c=6k-5 又因为2ab+3c=21.23k-2-4k+36k-5=216k-4-4k+18k-15=2120k=40K=2

3、a=4，b=8，c=7abc.=4:8:7题型2：用某字母表示其他字母求解：xy=54，yz=37.求xyz.解析： 方法一：此题可将分别看成含同一字母y的方程，表示出x=y，z=y，得xyz=1=151228.方法二：利用分数的根本性质，将两个比例式中y的对应项系数化成它们的最小公倍数，如x：y=5：4=15：12，y：z=3：7=12：28，得出x：y：z=15：12：28.举一反三：设，那么_解析：由题，得到，所以：题型3：比的性质=x求x解析：1当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b那么=所以x=-12当，利用等比性质=x=综上：x=-1或2举一反三： 假设，求的

4、值。解析：1当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a，a+c+d=-b，a+b+d=-c,a+b+c=-d那么=-1所以k=-12当，利用等比性质=综上：x=-1或题型4：，那么 .解析：利用等式的根本性质，在等号两边同时加上1，等号仍然成立。+1+1举一反三：如果,那么=_.解析：，题型5：比例中项线段b是线段a、c的比例中项，假设a=4cm,b=9cm,那么线段b是 .A、cm B、6cm C、36cm D、18cm解析：由题：线段b是线段a、c的比例中项，所以，又a=4cm,b=9cm所以，因为线段b的长度不能为负数，所以b=-6，选B。举一反三：题型6：黄金分割比点C是AB的黄金分割点

5、(AC BC)，假设AB=4cm，那么AC的长为 (A)(22)cm (B)(6-2)cm (C)(1)cm (D)(3-)cm解析：由题。AB=4，所以所以选A举一反三：如图，P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，假设S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，那么S1 S2填“=或“考点：黄金分割分析：根据黄金分割的定义得到PA2=PBAB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PBAB，即可得到S1=S2解答： P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，PA2=PBAB，又S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，S1

6、=PA2，S2=PBAB，S1=S2故答案为=点评：此题考察了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点题型7：相似三角形的定义在ABC中，ABBCAC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条分析： 如下图，过点D作AB的平行线，或过点D作DFBC，或作CDHB，或作ADGB，故填4 三、课堂达标检测检测题1.假设，且x+yz=1，那么x=_y=_。解析：，又x+y+z=12k+3k-4k=1，k=1，所以x=2，y=4检测题2、假设

7、3a=4b，那么a-b：a+b的值是 A B C- D-7解析：3a=4b，所以，a-b：a+b=检测题3、=，解a：b=_。解析： 3a+2b=2a-b3a+6b=2a-ba=-7ba：b=-7:1检测题4、 线段AB=10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长.解析：假设C在靠近A的一端,依题意有AC=BD,且检测题5、假设 ，那么 解析：设=k，那么a+b检测题6、三角形三边长为a,b,c,对应边的高为ha,hb,hc,.求a：b：c解析：用设比值的方法=ta=11t-bc=10t-b又a+c=15t=21t-2b6t=2bb=3ta=8tc=7t所以a：b：c=8:3:7

8、黄金分割在数学王国里有一个“数像诗一样美妙，它就是美的密码(准确值)(近似值)两千多年前，古希腊的数学家欧克多索斯发现：将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，假设小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，即，如图1所示此时线段AP叫做线段AP、PB的比例中项，那么可得出这一比值为，这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点 一、 专题精讲 1、那么，应该怎样把一条线段进展黄金分割呢？或者说怎样作出线段的黄金分割点呢？下面提供一种作法：线段AB，求作线段AB的黄金分割点答案：过点B作BDAB，使BD=AB； 连结AD，在AD上截取DE=DB； 在线段AB上截取A

9、P=AE那么点P是线段AB上的一个黄金分割点那么，为什么点P是线段AB上的一个黄金分割点呢？分析：事实上，假设设AB=a，AP=x，由作图过程可知AP=在RtABD中，由勾股定理可得.整理可得x2=a(a-x)因此点P是线段AB上的一个黄金分割点点评：实际上，我们不仅可以把一条线段进展黄金分割，而且还可以把一条线段任意进展黄金分割，如何把一条线段任意进展黄金分割呢？为此我们先看一个与黄金分割有趣的数量关系2、线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，那么AP=_分析：根据黄金分割点的定义，知AP可能是较长线段，也可能是较短线段解答：分类讨论当AP较长边AP=2-1/2 当AP为较短的边时AP=

10、 2- 2-1/2 所以AP=-1 或者3-点评：理解黄金分割点的概念特别注意这里的AP可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进展计算3、线段AB=a，P点在AB上且AP=a，P点是否为AB的黄金分割点？分析：根据黄金分割点的定义，知AP可能是较长线段，也可能是较短线段，可以采取两种方法。解答：1.判断AP的长与AB的一半大小关系来判断AP是较长的还是较短的。明显是小于AB的一半的，所以AP/AB-AP满足黄金分割比。所以P为黄金分割点。 2.直接AP/AB是不满足黄金分割比，所以AP有可能作为最短的边，在AP/AB-AP 满足说明P点为黄金分割点。点评：采用一题多解的方法。4、如图

11、，ABC，AB=AC=1，A=36，ABC的平分线BD交AC于点D，那么AD的长是 ，cosA的值是 结果保存根号考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：可以证明ABCBDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DEAB于点E，那么E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值解答：解：ABC，AB=AC=1，A=36，ABC=ACB=72BD是ABC的平分线，ABD=DBC=ABC=36A=DBC=36，又C=CABCBDC，=， 设AD=x，那么BD=BC=x那么，解得：x=舍去或故x=如右图，过点D作DEAB于点E，AD=BD

12、，E为AB中点，即AE=AB=在RtAED中，cosA=故答案是：；点评：黄金三角形 顶角为36的等腰三角形叫做黄金三角形其底与腰之比为黄金分割比值，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点如图6，ABC中，A=36，AB=AC，ACB的平分线CP交腰AB于P，那么BC=CP=AP，且ABCCBP，即AP2=BPAB，再作ABC的平分线交CP于P1，作BPC的平分线交BP1于P2，得到BPP1，PP1P2，均为黄金三角形如此下去那么可得到一系列的黄金三角形5、矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，假设四边形EFDC与矩形ABCD相似，那么AD=

13、ABCD2考点：黄金矩形；翻折变换折叠问题分析：可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可解答：解：AB=1，设AD=x，那么FD=x-1，FE=1，四边形EFDC与矩形ABCD相似，解得x1=，x2=负值舍去，经检验x1=是原方程的解应选B点评：黄金矩形 如果一个矩形的两边之比具有黄金分割比值，那么称这种矩形为黄金矩形，它是由一个小正方形和另一个小黄金矩形组成的事实上，如图5，设大黄金矩形的两边分别为a、b，那么，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为(a-b)和b，它们的比为这样我们可以将一个黄金矩形无限分割下去，就可以得到无限多个黄金矩形二、专题过关检测题

14、1：如图1，线段，点在上，且有，那么的数值为_；假设的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_位置最好分析：黄金分割的实际表达。解：由黄金分割的定义可知的数值为依据介绍可知节目主持人应站在线段的黄金点，这样台下的观众看上去感觉最好检测题2：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，假设AC=2，那么AD的长是A B C D考点：黄金分割分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进展计算求出BD的长解答：解：A=DBC=36，C公共，ABCBDC，且AD=BD=BC设BD=x，那么BC=x，CD=2-x由于，整理得：x2

15、+2x-4=0，解方程得：x=-1，x为正数，x=-1+应选C检测3：假设一个矩形的短边与长边的比值为黄金分割数，我们把这样的矩形叫做黄金矩形1操作：请你在如图2所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形；2探究：在1中的四边形是不是黄金矩形？假设是，请予以证明；假设不是，请说明理由；3归纳：通过上述操作与探究，请概括出具有一般性的结论不需要证明分析：黄金矩形的宽和长满足黄金比。解：1在边上，分别截取，连接，那么四边形即为所求作的正方形，如上面图3所示，2在该图中，不妨设，由题意可知：，那么，按照黄金矩形的定义可知四边形是黄金矩形3由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形

16、内作一个正方形，在该矩形内又新得到一个矩形，那么这个新矩形也为黄金矩形检测4：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。1求AM、DM的长.2求证：AM2=ADDM.3根据2的结论你能找出图中的黄金分割点吗？分析：黄金分割，赋值法求出各边的长度。解析：1正方形ABCD的边长为2，P是AB中点AB=AD=2，AP=1在RtAPD中，PD=PF=PD,AF=PFAP=1AMEF是正方形，AM=AF=1DM=ADAM=21=32由1得AM2=12=62ADDM=23=62AM2=ADDM3图中点M

17、是线段AD的黄金分割点.三、学法提炼1、专题特点：1黄金分割在实际中的应用；2黄金分割在几何图形上表达。2、解题方法：(1)黄金分割比的利用； (2)黄金三角形和黄金矩形根本图形的记忆。3、考前须知：1线段的黄金分割点有两个； 2黄金分割的根本图形运用。 平行线截得的线段成比例一、能力培养综合题1：三条平行线交AB，GN。求证:证明：解法1：过点A做直线AC/GN，如下图，连接CD、BE，作BKAC于K，CHAB于H， 设直线DE和BC之间的距离为h,那么： SDBC=BCh=SEBC同底等高 SADC=SABC-SDBC SAEB=SABC-SEBC=SABC-SDBC SADC=SAEB

18、即：即： 即： 解法2：过A点作ACGN交于M点，交CF于N点，那么AM=DE，MN=EF.BECFABMACN.AB/AC=AM/ANAB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)AB/BC=AM/MN=DE/EF解法3：设三条平行线与直线1交于ABC三点，与直线2交于DEF三点，过A做平行线的垂线交另两条平行线于M、N，过D做平行线的垂线交另两条平行线于P、Q那么AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQ，AB=AM/cosA，AC=AN/cosA，AB/AC=AM/AN，DE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，DE/DF=DP/DQ，又AM=DP，AN=DQ，AB/AC=DE/DF

19、根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)AB/BC=DE/EF点评：平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得对应线段成比相等的，一题多解。综合题2：利用平行线等分线段定理，你能用尺规作图法将一条线段五等分吗？分析：此题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，那么AB就被这些平行线分成五等分了.作法：(1)如图作射线AM；(2)在射线AM上截取AA1A1A2A2A2A3A4A4A5(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行

20、线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.综合题3：ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证AFCF.BF交AC于G是常规辅助线、通过它可将要求的问题转换成平行线等分线段定理与推论的运用.证明：过D作DGBF交AC于GEFDG，AEDEAFFG又BFDG BDDCFGGCAFFGGC即：AFCF二、能力点评1培养学生一题多解的能力；2培养学生尺规作图的能力；3培养学生添加辅助线推论的应用能力。学法升华一、 知识收获1.整理归纳比例的相关概念；2.黄金分割与相关的黄金图形；3.平行线分线段成

21、比例；4.尺规作图等分线段；二、 方法总结三、 技巧提炼类比法，添加辅助线法。课后作业1. 如图，在RtABC中，CDAB，DEAC,请找出一组比例线段，并说明理由。 答案：2. =求，解析：用一个字母来表示其他的字母，然后把它们代入要求的表达式中，会发现分式的分子分母中这个字母是可以消掉的。计算时候一定要小心。 答案：，3.x:y:z=4:5:7,求，解析：方法一：将其中的两个字母用一个字母表示，比方y，z都用x表示，再将表达式代入所求。方法二：设，x=4k，y=5k，z=7k， 将这些代入所求式子中。两种方法相比，会发现第二种方法比第一种方法要简单，要好好掌握。答案：，4. =k,求k的值

22、(两种情况)。分析：可分x+y+z=0和x+y+z0两种情况代入求值和利用等比性质求解解答：解：当x+y+z=0时，y+z=-x，z+x=y，x+y=-z，k为其中任何一个比值，即k= -xx=-1；x+y+z0时，k= y+z+z+x+x+yx+y+z= 2(x+y+z)x+y+z=25. 有以下命题:如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，那么有如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，那么AC是AB与BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB=2，那么AC=1其中正确的判断有 分析：重点考察比例中项和黄金分割点

23、。比例中项的定义是：b2ac ，b就是a,c的比例中项。 黄金分割点：,据此可以得出此题的答案。答案：C6.线段AB如图，用直尺和圆规求作AB上的一点P，使。作法：1. 过点B做BC垂直AB，连接AC; 2. 用圆规过A点，在AC上截取AD=AB； 3. 过D点做DP垂直AB，交AB于点P，P点即为所求。7. 实数a,b,c满足,求的值. 解：设=k那么b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck2a+b+c=ka+b+c当a+b+c0时，k=2,=2当a+b+c=0时,b=b+c, =18. 如图4.10-6，ABC，求作BC上两点D、E，使SADBSADESAEC分析 根据等底同高的几个三角形面积相等只需在BC上取三等分点D、E，将等积问题转换为等分线段问题.作法：(1)作射线BN(2)在BN上以任意长顺次截取BFGH(3)连结CH(4)过G、F点分别作CH的平行线GE、FD，分别交BC于E、D那么：D、E为BC的两个三等分点(5)连AD、AE，得ABD、ADE、AEC注意点：线段的等分点只能运用等分线段定理采用尺规作图，不能用刻度尺来等分线段.