初中数学二次函数难题.docx

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1、一选择题（共2小题）1如图，已知动点P在函数y=（x0）的图象上运动，PMx轴于点M，PNy轴于点N，线段PM、PN分别及直线AB：y=x+1交于点E，F，则AFBE的值为（）A4B2C1D考点：反比例函数综合题。专题：动点型。分析：由于P的坐标为（a，），且PNOB，PMOA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AFBE解答：解：P的坐标为（a，），且PNOB，PMOA，N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），BN=1，在直角三角形BNF中，NBF=45（OB

2、=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），NF=BN=1，F点的坐标为（1，），同理可得出E点的坐标为（a，1a），AF2=（）2+（）2=，BE2=（a）2+（a）2=2a2，AF2BE2=2a2=1，即AFBE=1故选C点评：本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值2如图，抛物线y=x2x及直线y=x2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）ABCD考点：二次函数综合题。分析：首先根据题意求得点

3、A及B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，则直线AB及x=的交点是E，及x轴的交点是F，而且易得AB即是所求的长度解答：解：如图抛物线y=x2x及直线y=x2交于A、B两点，x2x=x2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x2=1，当x=时，y=x2=，点A的坐标为（，），点B的坐标为（1，1），抛物线对称轴方程为：x=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，则直线AB及x=的交点是E，及x轴的交点是F，BF=BF，AE=AE，点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=AE+EF+FB=

4、AB，延长BB，AA相交于C，AC=+（1）=1，BC=1+=，AB=点P运动的总路径的长为故选A点评：此题考查了二次函数及一次函数的综合应用注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合及方程思想的应用二解答题（共28小题）6（2004长沙）如图，等腰梯形ABCD，ADBC，AD=3cm，BC=7cm，B=60，P为下底BC上一点（不及B、C重合），连接AP，过P作APE=B，交DC于E（1）求证：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由考点：等腰梯形的性质；解分式方程；三角

5、形的外角性质；相似三角形的判定及性质。专题：几何综合题。分析：（1）欲证ABPPCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出B=C，根据三角形外角的性质可证得EPC=BAP；由此得证；（2）可过作AFBC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在RtABF中，根据B的度数及BF的长即可求得AB的值；（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长若方程无解，则说明不存在符合条件的

6、P点解答：（1）证明：由APC为ABP的外角得APC=B+BAP；B=APEEPC=BAPB=CABPPCE；（2）解：过A作AFBC于F；等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，BF=，RtABF中，B=60，BF=2；AB=4cm；（3）解：存在这样的点P理由是：解之得EC=cm设BP=x，则PC=7x由ABPPCE可得=，AB=4，PC=7x，=解之得x1=1，x2=6，经检验都符合题意，即BP=1cm或BP=6cm点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质7如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（及A、D不重合），过点P作P

7、ECP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y及x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果PCD的面积是AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论考点：二次函数的应用；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。分析：（1）运用三角形相似，对应边比值相等即可解决，（2）运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决，解答：（1）解：PECP，可得：EAPPDC，又CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，y=，0x3；（2）解：当PCD的面积是AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，CD=2，AP=1，PD=2，PE=，PC=2

8、，EC=点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方9如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c及x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m0），CAB=45，tanCOB=2（1）求A、C的坐标；（2）求直线AC和抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）已知了直线AC的解析式，可确定点A的坐标；过C作CMx轴于M，在RtCAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可

9、得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标（2）将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式；同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式（3）此题应分作两种情况考虑：ABCD，此时CD及x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得；ADBC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD及BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可求得交点D的坐标（由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BDAC等情况）

10、解答：解：（1）直线AC：y=mx+2m（m0）中，当y=0时，mx+2m=0，m（x+2）=0，m0，x=2；故A（2，0）；过C作CMx轴于M；RtCAM中，CAB=45，则CM=AM；RtCOM中，tanCOM=2，则CM=2OM，故CM=2OM=2AM；OA=2，则OM=2，CM=4，C（2，4），A（2，0），C（2，4）（2）将点C坐标代入直线AC的解析式中，有：2m+2m=4，m=1，直线AC：y=x+2；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有：，解得；抛物线：y=x2+x2；故直线AC和抛物线的解析式分别为：y=x+2，y=x2+x2（3）存在满足条件的点D，其坐标为（3，4）

11、或（5，28）；理由：假设存在符合条件的点D，则有：CDAB，由于ABCD，此时四边形ABCD是梯形；易知抛物线的对称性为：x=；由于此时CDx轴，故C、D关于直线x=对称，已知C（2，4），故D（3，4）；ADBC，显然BCAD，此时四边形ABCD是梯形；易知B（1，0），用待定系数法可求得：直线BC：y=4x4；由于ADBC，可设直线AD的解析式为y=4x+h，则有：4（2）+h=0，即h=8；直线AD：y=4x+8；联立抛物线的解析式可得：，解得（舍去），故D（5，28）；综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，4）或（5，28）点评：此题考查了函数图象及坐标轴交点的求法、解直角

12、三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识点；要注意的是，在判定某个四边形为梯形时，一定要满足两个条件：一组对边平行，另一组对边不平行（或平行的对边不相等），两个条件缺一不可12（2012赤峰）如图，抛物线y=x2bx5及x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），及y轴交于点C，点C及点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再

13、根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式；（2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标及点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x0，5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可；（3）分点P及点E重合时，CFP是直角三角形，CF是斜边时，过C作CPAF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可解答：解：（1）y=x2bx5，|OC|=5，|OC|：|OA|=5：1，|OA|=1，即A（1，0），（2分）把A（1，0）代入y=x2

14、bx5得（1）2+b5=0，解得b=4，抛物线的解析式为y=x24x5；（4分）（2）点C及点F关于对称轴对称，C（0，5），设F（x0，5），x024x05=5，解得x0=0（舍去），或x0=4，F（4，5），（6分）对称轴为x=2，设直线AF的解析式为y=kx+b，把F（4，5），A（1，0），代入y=kx+b，得，解得，所以，直线FA的解析式为y=x1；（8分）（3）存在（9分）理由如下：当FCP=90时，点P及点E重合，点E是直线y=x1及y轴的交点，E（0，1），P（0，1），（10分）当CF是斜边时，过点C作CPAF于点P（x1，x11），ECF=90，E（0，1），C（0，5），

15、F（4，5），CE=CF，EP=PF，CP=PF，点P在抛物线的对称轴上，（11分）x1=2，把x1=2代入y=x1，得y=3，P（2，3），综上所述，直线AF上存在点P（0，1）或（2，3）使CFP是直角三角形（12分）点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数及坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边及斜边两种情况讨论求解16如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）25的顶点为P，及x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C

16、2及抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数及C1的互为相反数，而C3的顶点M及C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式解答：解：（1）点B是抛物线及x轴的交点，横坐标是1，点B的坐标为（1，0），当x=1时，0=a（1+2）25，（

17、2）设抛物线C3解析式为y=a（xh）2+k，抛物线C2及C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到，点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（2，5），点M的坐标为（2，5），抛物线C3的解析式为y=（x2）2+5=x2+x+点评：此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数及函数图象的关系，需要熟练掌握17如图，已知ABC内接于半径为4的0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交0于P、Q两点OD、OE的长分别是抛物线y=x2+2mx+m29及x轴的两个交点的横坐标（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在直线l，使它经过抛物线及x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，

18、请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）连接BO，根据垂径定理及圆周角定理可得BAC=BOQ，再根据等角的补角相等可得BOD=EAD，然后证明BOD和EAD相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到OD、OE的关系，再根据相交弦定理列式整理出AD、BD的关系，从而得到ODOE的值，令y=0，根据抛物线及x轴的交点问题用m表示出ODOE，从而得到关于m的方程，求解得到m的值，再根据OD、OE都是正数，且是抛物线及x轴的交点的横坐标可得抛物线对称轴在y轴的右边求出m的取值范围，从而得到m的值，代入抛物线计算即可得解；（2）根据抛物线

19、解析式求出及x轴的两个交点坐标分别为（2，0）（8，0），当直线l经过左边交点时，直线l平行于y轴，原点到直线l的距离是2；当直线l经过右边交点时，是交点为L，过点O作OMl及点M，过点M作MNx轴于点N，则OM=2，根据相似三角形对应边成比例列式求出ON的长度，再利用勾股定理求出MN的长度，然后分点M在x轴上方及下方两种情况，利用待定系数法求直线解析式求出直线l的解析式解答：解：（1）如图，连接BO，OQBC及F，=，BAC=BOQ，BOD=180BOQ，EAD=180BAC，BOD=EAD，又BDO=EDA（对顶角相等），BODEAD，=，ADBD=ODDE，根据相交弦定理ADBD=DQD

20、P，ODDE=DQDP，圆的半径为4，OD（OEOD）=（4+OD）（4OD），整理得，ODOE=16，令y=0，则x2+2mx+m29=0，OD、OE是抛物线及x轴的交点的横坐标，ODOE=m29，m29=16，解得m=5，线段OD、OE的长度都是正数，=m0，解得m0，m=5，抛物线解析式为y=x210x+16；（2）存在理由如下：令y=0，则x210x+16=0，解得x1=2，x2=8，所以，抛物线及x轴的交点坐标为（2，0），（8，0），当直线l经过点（2，0）时，直线l平行于y轴时，原点到直线l的距离为2，所以，直线l的解析式为x=2；当直线l经过点（8，0）时，如图，设点L（8，0

21、），过点O作OMl及点M，过点M作MNx轴于点N，则OM=2，OML=MNO=90，MON=LOM，OMNOLM，=，即=，解得ON=，在RtOMN中，MN=，设直线l的解析式为y=kx+b，当点M在x轴上方时，点M的坐标为（，），则，解得，此时直线l的解析式为y=x+，当点M在x轴下方时，点M的坐标为（，），则，解得，此时直线l的解析式为y=x，综上所述，存在直线l：x=2或y=x+或y=x使原点到l的距离为2点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，抛物线及x轴的交点问题，根及系数的关系，相似三角形的判定及性质，待定系数法求直线解析式，综合性较强，难度较大，

22、（1）作出辅助线构造出相似三角形然后求出ODOE=16是解题的关键，（2）注意要分情况讨论求解20如图，抛物线y=x22x3及x轴交A、B两点（A点在B点左侧），及y轴交于点D（1）求点A、B、D的坐标；（2）若点C在该抛物线上，使ABDBAC求点C的坐标，及直线AC的函数表达式；（3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标，令x=0，可求得点D的坐标（2）若ABDBAC，则C、D必关于抛物线的对称轴对此，由此可得C点的坐标；进而可利用待定

23、系数法求得直线AC的函数解析式（3）设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可表示出P、E的纵坐标，从而得到关于PE的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可得到PE的最大长度及对应的P点坐标解答：解：（1）令y=0，解得x1=1或x2=3，（1分）A的坐标为：A（1，0），B的坐标为：B（3，0），（2分）令x=0，解得y=3；D的坐标为：D（0，3）（3分）（2）根据抛物线的对称性可得C的坐标为：（2，3），（5分）设AC的解析式为：y=kx+b，将A（1，0），C（2，3）代入可求得k=1，b=1；直线AC的函数解析式是y=x1（8分）（3）设P点的横坐标为x（1x2

24、），（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，x1），（9分）E（x，x22x3）；（10分）P点在E点的上方，PE=x1（x22x3）=x2+x+2=（x）2+；（12分）当x=时，PE的最大值=（14分）点评：此题主要考查了二次函数图象及坐标轴交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式的方法以及二次函数最值的应用等知识，难度适中25已知，如图，抛物线y=x2+bx+3及x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且及y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4（1）直接写出点B，C的坐标及b的值；（2）过射线CB上一点N，作MNOC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t当

25、0t4时，求线段MN的最大值；以点N为圆心，NM为半径作N，当点B恰好在N上时，求此时点M的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）根据抛物线y=x2+bx+3直接得出点C的坐标，由OB=4，得出B点坐标，代入解析式即可得出b的值，（2）首先求出直线CB的解析式，进而得出MN=（t+3）（t2t+3）=（t2）2+2，得出最值即可；根据当0t4时，由得：MN=t2+2t，以及当t4时，点M在点N的上方，MN=t22t分别求出t的值即可解答：解：（1）点B（4，0），C（0，3），b=，（2）如图所示，设过点B（4，0），C（0，3）的直线CB的解析式为：y=kx+m，（k0），解得：，直线CB的

26、解析式为：y=x+3，MNOC，依据题意得出：N（t，t+3），则M（t，t2t+3），当0t4时，点M在点N的下方，MN=（t+3）（t2t+3），=t2+2t，=（t2）2+2，当t=2时，MN有最大值2；依据题意得出：当MN=BN时，点B恰好在N上，由于t=0，（点M，N重合），t=4（点M，N和B重合）均不符合题意，故舍去，a）当0t4时，如图，由得：MN=t2+2t，又MNOCOCOB，MNOB，垂足为T（t，0），cosNBT=，（I）即=，此时点N在点T的上方，点T在点B的左边TB=4t，代入（I）式得：NB=（4t），由（4t）=t2+2t，整理可得：2t213t+20=0，解

27、得：t1=4（不合题意舍去），t2=，故此时点M的坐标是（，）；b）当t4时，如图所示，点M在点N的上方，MN=t22t，此时点N在点T的下方，点T在点B的右边，TB=t4，代入（I）式，可得：NB=（t4），由（t4）=t22t，整理可得：2t213t+20=0，解得：t1=4（不合题意舍去），t2=（不合题意舍去）综上所述：符合题意的点M的坐标为（，）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据已知得出（4t）=t2+2t或（t4）=t22t是解题关键27如图，抛物线y=x24x1顶点为D，及x轴相交于A、B两点，及y轴相交于点C（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；（2

28、）经过点（0，4）且及x轴平行的直线及抛物线y=x24x1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作P，过点D作P的切线，切点为E，求点DE的长；（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的P能否及x轴相切？如果能够，求出P的半径；如果不能，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）利用配方法即可将函数解析式变形为：y=（x2）25，由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐标；（2）由经过点（0，4）且及x轴平行的直线及抛物线y=x24x1相交于M、N两点（M在N的左侧），即可求得M及N的坐标，即可求得P的坐标，然后即可求得PE及PD的长，根据切线的性

29、质，由勾股定理即可求得DE的长；（3）根据已知，可得点P的横坐标为2，又由以MN为直径的P及x轴相切，可得抛物线过点（2+r，r）或（2+r，r），将点的坐标代入解析式即可求得r的值，则可证得以MN为直径的P能及x轴相切解答：解：（1）y=x24x1=x24x+45=（x2）25，点D的坐标为（2，5）；（2）当y=4时，x24x1=4，解得x=1或x=5，M坐标为（1，4），点N坐标为（5，4），MN=6P的半径为3，点P的坐标为（2，4），连接PE，则PEDE，PD=9，PE=3，根据勾股定理得DE=6；（3）能够相切理由：设P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2

30、+r，r），代入抛物线解析式得：（2+r）24（2+r）1=r，解得r=或r=（舍去）点评：此题考查了二次函数的一般式及顶点式的转化，还考查了圆的切线的性质等知识，是二次函数的综合题型此题综合性很强，注意数形结合及方程思想的应用29如图1，抛物线C1：y=x2+4x2及x轴交于A、B，直线l：y=x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上（1）求直线l的解析式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tanEAB=tanFNM，求抛物线C1平移的距离；（3）将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3

31、，抛物线C3及x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得PEF为直角三角形，求抛物线C3的解析式考点：二次函数综合题。专题：计算题；压轴题；分类讨论。分析：解答：解：（1）抛物线C1：y=x2+4x2=（x2）2+2，顶点E（2，2），代入直线l的解析式后，得：2+b=2，b=3直线l：y=x+3（2）顶点F在直线l上，可以设顶点F（m，m+3），抛物线C2可表示为 y=（xm）2m+3；A（2，0）、B（2+，0），E（2，2）tanEAB=；tanEAB=tanFNM，tanFNM=1，FNM=45ON=m+（m+3）=m+3，即 N（m+3，0）代入y=（xm）2m+3中，得 m=4，

32、即 F（4，1）；EF=，即抛物线C1平移的距离EF=（3）由（2）知 C2：y=（x4）2+1，M（3，0）、N（5，0）；将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，PG=MN=2，设P（p，0），则Q（p+2，0），抛物线C3顶点（p+1，1）、抛物线C3：y=（xp1）2+1；E（2，2）、F（4，1），PE2=（p2）2+22=p24p+8；PF2=（p4）2+12=p28p+17，EF2=5；当PEF=90时，p24p+8+5=p28p+17，p=1，此时C3为 y=（x2）2+1；当PFE=90时，p28p+17+5=p24p+8，p=，此时C3为 y=（x）2+1；当EPF=90时，p28p+17+p24p+8=5，即 p26p+10=0，0，此时C3不存在；抛物线C3的解析式为 y=（x2）2+1或y=（x）2+125 / 25