高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破3 第2课时数列的综合问题.docx

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1、第2课时数列的综合征询题题型一数列与函数例1数列an的前n项跟为Sn，2Snan12n11，nN，且a1，a25,19成等差数列.(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bnlog3(an2n)，假设对任意的nN，不等式bn(1n)n(bn2)60恒成破，试务虚数的取值范围.解(1)在2Snan12n11，nN中，令n1，得2S1a2221，即a22a13，又2(a25)a119，那么由解得a11.(2)当n2时，由得2anan1an2n，那么1，又a25，那么1.数列是以为首项，为公比的等比数列，1n1，即an3n2n.(3)由(2)可知，bnlog3(an2

2、n)n.当bn(1n)n(bn2)60恒成破时，即(1)n2(12)n60(nN)恒成破.设f(n)(1)n2(12)n6(nN)，当1时，f(n)n60恒成破，那么1称心条件；当1时，由于对称轴n0，那么f(n)在1，)上单调递减，f(n)f(1)341称心条件，综上所述，实数的取值范围是1，).思维升华数列与函数的交汇征询题(1)已经清楚函数条件，处置数列征询题，此类征询题一般使用函数的性质、图象研究数列征询题；(2)已经清楚数列条件，处置函数征询题，解题时要留心数列与函数的外延联系，操纵递推数列的稀有地法.跟踪训练1(2018葫芦岛模拟)已经清楚数列an称心a11,2an1an，数列bn

3、称心bn2log2a2n1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列bn的前n项跟为Tn，求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成破的实数m的取值范围.解(1)由a11，an0，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得，Tnn23n，m2n26n对任意正整数n都成破.设f(n)2n26n，f(n)2n26n22，当n1或2时，f(n)的最大年夜值为4，m4.即m的取值范围是4，).题型二数列与不等式例2已经清楚数列an中，a1，其前n项的跟为Sn，且称心an(n2).(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.证明(1)当n2时

4、，SnSn1，拾掇得Sn1Sn2SnSn1(n2)，2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，(n1)22n，Sn.当n1时，Sn1，方法一当n2时，Sn，S1S2S3Sn11.原不等式得证.方法二当n2时，S1S2S3Sn，1.原命题得证.思维升华数列与不等式的交汇征询题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特不赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩掉掉落.跟踪训练2已经清楚数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1

5、)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项跟为Tn，证明：Tn0，因此Tn.又由于Tn在1，)上单调递增，因此当n1时，Tn取最小值T1，因此Tn.题型三数列与数学文化例3我国古代名著九章算术中有如斯一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重多少多何.意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从新到尾，每一尺的重量构成等差数列，征询中间三尺共重多少多斤.()A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤答案D分析原征询题等价于等差数列中，已经清楚a14，a52，求a2a3a4的值.由等差数列的性质可知a2a4a1a56，a33，那

6、么a2a3a49，即中间三尺共重9斤.思维升华我国古代数学涉及等差、等比数列的征询题特不多，处置这类征询题的关键是将古代理论征询题转化为古代数学征询题，操纵等差、等比数列的不雅念、通项公式跟前n项跟公式.跟踪训练3中国人在特不早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术、算法统宗中都有大批古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列an的前n项跟Snn2，nN，等比数列bn称心b1a1a2，b2a3a4，那么b3等于()A.4B.5C.9D.16答案C分析由题意可得b1a1a2S2221，b2a3a4S4S242223，那么等比数列bn的公比q3，故b3b2q339.1.(2018包头模拟)设数列

7、an的前n项跟为Sn，且Snan1.(1)求数列an的通项公式；(2)假设f(x)，设bnf(a1)f(a2)f(an)，求数列的前n项跟Tn.解(1)由Snan1得Sn1an11，两式相减得，Sn1Snan1an，即an1an1an，即(n1)，因此数列an是公比为的等比数列，又由a1a11得a1，因此ana1qn1n.(2)由于bnf(a1)f(a2)f(an)12n，因此2，因此Tn22.2.已经清楚等差数列an的公差d0，a10，其前n项跟为Sn，且a22，S3，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)假设bn，数列bn的前n项跟为Tn，求证：Tn2n.(1)解由a10得an

8、(n1)d，Sn，由于a22，S3，S4成等比数列，因此S(a22)S4，即(3d)2(d2)6d，拾掇得3d212d0，即d24d0，由于d0，因此d4，因此an(n1)d4(n1)4n4.(2)证明由(1)可得Sn12n(n1)，因此bn22，因此Tn2n2n1，因此Tn2n0，因此q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分不为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，因此Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，那么2

9、Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.因此Tn.5.(2019盘锦模拟)假设正项数列an的前n项跟为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上.(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项跟，假设Tna恒成破，求Tn及实数a的取值范围.解(1)由Sn1(1)2，得1，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，因此(n1)1，即Snn2，由公式an得an因此an2n1.(2)由于bn，因此Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，因此Tn有最小值(Tn)minT1.由于Tna恒成破，因此a，因此a的取值范围是.6.已经清楚各项均不相当的等差数列an的前三项跟为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项.(1)分不求数列an，bn的前n项跟Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项跟为Kn，设cn，求证：cn1cn(nN).(1)解设数列an的公差为d，那么解得或(舍去)，因此ann1，Sn.又b1a12，b2a34，因此bn2n，Tn2n12.(2)证明由于anbn(n1)2n，因此Kn221322(n1)2n，因此2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，因此Knn2n1.那么cn，cn1cn0，因此cn1cn(nN).