高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破5高考中的圆锥曲线问题第3课时　证明与探索性问题.docx

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1、第3课时证明与探求性征询题题型一证明征询题例1(2017世界)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P称心.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左中心F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，那么N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，因此1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，那么(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21.又由(1)知m2n2

2、2，故33mtn0.因此0，即.又过点P存在唯不时线垂直于OQ，因此过点P且垂直于OQ的直线l过C的左中心F.思维升华圆锥曲线中的证明征询题多涉及证明定值、点在定直线上等，偶尔也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用开门见山法或反证法跟踪训练1已经清楚椭圆T：1(ab0)的一个顶点A(0,1)，离心率e，圆C：x2y24，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PMPN.(1)解由题意可知b1，即2a23c2，又a2b2c2，联破解得a23，b21.椭圆方程为y21.(2)证明方法一当P点横坐标为时，纵坐标为1，PM歪率不存在，PN歪率为0，PMPN.

3、当P点横坐标不为时，设P(x0，y0)，那么xy4，设kPMk，PM的方程为yy0k(xx0)，联破方程组消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x6kx0y03y30，依题意36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x6kx0y03y3)0，化简得(3x)k22x0y0k1y0，又kPM，kPN为方程的两根，因此kPMkPN1.因此PMPN.综上知PMPN.方法二当P点横坐标为时，纵坐标为1，PM歪率不存在，PN歪率为0，PMPN.当P点横坐标不为时，设P(2cos，2sin)，切线方程为y2sink(x2cos)，联破得(13k2)x212k(sinkcos)x12(sink

4、cos)230，令0，即144k2(sinkcos)24(13k2)12(sinkcos)230，化简得(34cos2)k24sin2k14sin20，kPMkPN1.因此PMPN.综上知PMPN.题型二探求性征询题例2在破体直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分不求C在点M跟N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使妥善k变更时，总有OPMOPN？说明因由解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在

5、点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0跟xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的歪率分不为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，那么直线PM的倾歪角与直线PN的倾歪角互补，故OPMOPN，因此点P(0，a)符合题意思维升华处置探求性征询题的本卷须知探求性征询题，先假设存在，推证称心条件的结论，假设结论精确那么存在，假设结论不精确那么不存在(1)以后提跟结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结

6、论而要推导出存在的条件时，先假设成破，再推出条件；(3)以后提跟结论都不知，按常规方法解题特不难时，要开放思维，采用不的适合的方法跟踪训练2(2018鞍山模拟)已经清楚椭圆E：1(ab0)过点Q，且离心率e，直线l与E订交于M，N两点，l与x轴、y轴分不订交于C，D两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)揣摸是否存在直线l，称心2，2？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明因由解(1)由题意得解得因此椭圆E的方程为y21.(2)存在直线l，称心2，2.因由如下：方法一由题意，直线l的歪率存在，设直线l的方程为ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么C，D(0，

7、m)由方程组得(12k2)x24kmx2m220，因此16k28m280.(*)由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.因为2，2，因此，因此C，D是线段MN的两个三中分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合因此x1x20，解得k.由C，D是线段MN的两个三中分点，得|MN|3|CD|.因此|x1x2|3，即|x1x2|3，解得m.验证知(*)成破因此存在直线l，称心2，2，现在直线l的方程为yx或yx.方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(0，n)，由2，2，得解得M(2m，n)，N(m,2n)又M，N两点在椭圆上，因此即解得故所求直线l的方程为5x10y20或5x

8、10y20或5x10y20或5x10y20.1(2018聊城模拟)已经清楚椭圆C：1(ab0)的离心率为，F1，F2分不为椭圆的左、右中心，点P为椭圆上一点，F1PF2面积的最大年夜值为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条差异直线l1，l2分不交椭圆于M(x1，y1)与N(x2，y2)，且x1x2，证明直线MN过定点，并求AMN的面积S的取值范围解(1)设a2b2c2，那么，设P(x，y)，那么c|y|，|y|b，bc.解得椭圆C的方程为y21.(2)设MN方程为xnym(n0)，联破得(n24)y22nmym240，由题意知，16(n2m24)0，y1y2，y1

9、y2，关于x轴对称的两条差异直线l1，l2的歪率之跟为0，即0，即0，得2ny1y2m(y1y2)4(y1y2)0，即0.解得m1.直线MN方程为xny1，直线MN过定点B(1,0)又|y1y2|44，令t，t，|y1y2|4(0，)，又S|AB|y1y2|y1y2|.2(2018宿州检测)已经清楚椭圆C的中心为坐标原点，中心在x轴上，离心率e，以椭圆C的长轴跟短轴为对角线的四边形的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)假设经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：xx0(x02)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB称心恒成破，假设存在，求出x0的值；假设不存在，

10、请说明因由解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，ca，又44，a2b25，由b2a2c2a2，解得a2，b1，c.椭圆C的标准方程为y21.(2)假设直线l的歪率不存在，那么直线l0为任意直线都称心恳求；当直线l的歪率存在时，设其方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x11x2)，那么dAx0x1，dBx0x2，|PA|(x11)，|PB|(1x2)，解得x0.由得(14k2)x28k2x4k240，由题意知，0显然成破，x1x2，x1x2，x04.综上可知存在直线l0：x4，使得A，B到直线l0的距离dA，dB称心恒成破3(2018三明质检)已经清楚顶点是坐标原

11、点的抛物线的中心F在y轴正半轴上，圆心在直线yx上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(1,0)对称(1)求E跟的标准方程；(2)过点M的直线l与E交于A，B，与交于C，D，求证：|CD|AB|.(1)解设的标准方程为x22py(p0)，那么F.已经清楚E在直线yx上，故可设E(2a，a)因为E，F关于M(1,0)对称，因此解得因此的标准方程为x24y.因为E与x轴相切，故半径r|a|1，因此E的标准方程为(x2)2(y1)21.(2)证明由题意知，直线l的歪率存在，设l的歪率为k，那么其方程为yk(x1)(k0)，那么E(2，1)到l的距离d，因为l与E交于A，B两点，因此d2r2，即0，因此

12、|AB|22.由消去y并拾掇得x24kx4k0.16k216k0恒成破，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，那么x1x24k，x1x24k，那么|CD|x1x2|4.因此2.因此|CD|22|AB|2，即|CD|AB|.4(2018锦州模拟)已经清楚椭圆1(ab0)的长轴与短轴之跟为6，椭圆上任一点到两中心F1，F2的距离之跟为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设直线AB：yxm与椭圆交于A，B两点，C，D在椭圆上，且C，D两点关于直线AB对称，征询：是否存在实数m，使|AB|CD|，假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明因由解(1)由题意，2a4,2a2b6，a2，b1.椭圆的标准方程

13、为y21.(2)C，D关于直线AB对称，设直线CD的方程为yxt，联破消去y，得5x28tx4t240，64t245(4t24)0，解得t25，设C，D两点的坐标分不为(x1，y1)，(x2，y2)，那么x1x2，x1x2，设CD的中点为M(x0，y0)，M，又点M也在直线yxm上，那么m，t，t25，m2.那么|CD|x1x2|.同理|AB|.|AB|CD|，|AB|22|CD|2，2t2m25，m2b0)的离心率为，过右中心F且歪率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点(1)求直线ON的歪率kON；(2)求证：关于椭圆C上的任意一点M，都存在0,2)，使得cossi

14、n成破(1)解设椭圆的焦距为2c，因为，因此，故有a23b2.从而椭圆C的方程可化为x23y23b2.知右中心F的坐标为(b,0)，据题意有AB所在的直线方程为yxb.由得4x26bx3b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，y0)，由及根与系数的关系得：x0，y0x0bb.因此kON，即为所求(2)证明显然与可作为破体向量的一组基底，由破体向量全然定理，关于这一破体内的向量，有且只需一对实数，使得等式成破设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又因为点M在椭圆C上，因此有(x1x2)23(y1y2)2

15、3b2，拾掇可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.由有x1x2，x1x2.因此x1x23y1y2x1x23(x1b)(x2b)4x1x23b(x1x2)6b23b29b26b20.又点A，B在椭圆C上，故有x3y3b2，x3y3b2.将，代入可得，221.因此，关于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成破，且221.因此存在0,2)，使得cos，sin.也的确是：关于椭圆C上任意一点M，总存在0,2)，使得等式cossin成破6.如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交

16、于A，B两点是否存在常数，使得为定值？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明因由解(1)由已经清楚，点C，D的坐标分不为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且1，因此解得a2，b，因此椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的歪率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分不为(x1，y1)，(x2，y2)，联破得(4k21)x28kx40，其判不式(8k)216(4k21)0，因此x1x2，x1x2，从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.因此当时，2，现在为定值当直线AB歪率不存在时，直线AB即为直线CD，现在，2.故存在常数，使得为定值.