高考数学(理)一轮复习讲义10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

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1、10.1分类加法计数情理与分步乘法计数情理最新考纲考情考向分析1.理解分类加法计数情理跟分步乘法计数情理，能精确区分“类跟“步.2.能使用两个情理处置一些庞杂的理论征询题.以理解跟使用两个根起源基础理为主，常以理论征询题为载体，凹陷分类讨论思想，注重分析征询题、处置征询题才干的调查，常与摆设、组合知识交汇；两个计数情理在高考中单独命题较少，一般是与摆设组合结合停顿调查；两个计数情理的调查一般以选择、填空题的办法出现.1分类加法计数情理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种差异的办法，在第二类办法中有m2种差异的办法在第n类办法中有mn种差异的办法那么完成这件事共有Nm1m2mn种差

2、异的办法2分步乘法计数情理做一件事，完成它需要分成n个步伐，做第一个步伐有m1种差异的办法，做第二个步伐有m2种差异的办法做第n个步伐有mn种差异的办法那么完成这件事共有Nm1m2mn种差异的办法3分类加法计数情理跟分步乘法计数情理的区不分类加法计数情理针对“分类征询题，其中各种办法互相独破，用其中任何一种办法都可以做完这件事；分步乘法计数情理针对“分步征询题，各个步伐互相依存，只需各个步伐都完成了才算完成这件事不雅观点办法微考虑1在解题过程中怎么样判定是用分类加法计数情理仍然分步乘法计数情理？提示假设已经清楚的每类办法中的每一种办法都能完成这件事，该当用分类加法计数情理；假设每类办法中的每一

3、种办法只能完成情况的一部分，就用分步乘法计数情理2两种原理解题策略有哪些？提示分清要完成的情况是什么；分清完成该情况是分类完成仍然分步完成，“类间互相独破，“步间互相联系；有无特不条件的限制；检验是否有重复或遗漏题组一考虑辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)在分类加法计数情理中，两类差异方案中的办法可以一样()(2)在分类加法计数情理中，每类方案中的办法都能开门见山完成这件事()(3)在分步乘法计数情理中，情况是分步完成的，其中任何一个单独的步伐都不克不迭完成这件事，只需每个步伐都完成后，这件情况才算完成()(4)假设完成一件情况有n个差异步伐，在每一步中都有假设干种差异的办

4、法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种办法()(5)在分步乘法计数情理中，每个步伐中完成谁人步伐的办法是各纷歧样的()题组二讲义改编2已经清楚聚拢M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个聚拢中各选一个元素分不作为点的横坐标，纵坐标，那么如斯的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内差异的点的个数是()A12B8C6D4答案C分析分两步：第一步先判定横坐标，有3种情况，第二步再判定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内差异点的个数是326，应选C.3已经清楚某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，那么差异的走法的种数为()A16B13C12D10答案C分析将4个门

5、编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的办法，共3种走法，从2,3,4号门进入，异常各有3种走法，共有差异走法3412(种)题组三易错自纠4.现用4种差异颜色对如以下列图的四个部分停顿着色，恳求有大年夜众界线的两块不克不迭用一致种颜色，那么差异的着色办法共有()A24种B30种C36种D48种答案D分析需要先给C块着色，有4种办法；再给A块着色，有3种办法；再给B块着色，有2种办法；最后给D块着色，有2种办法，由分步乘法计数情理知，共有432248(种)着色办法5从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，形成无反双数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18C12D6答案B分

6、析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数按照分类加法计数情理知，共有12618(个)奇数6假设把个位数是1，且恰有3个数字一样的四位数叫做“好数，那么在由1,2,3,4四个数字形成的有反双数字的四位数中，“好数共有_个答案12分析当形成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,44

7、41，有3种，按照分类加法计数情理可知，共有12种结果.题型一分类加法计数情理1称心a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12D10答案B分析方程ax22xb0有实数解的情况应分类讨论当a0时，方程为一元一次方程2xb0，不论b取何值，方程肯定有解现在b的取值有4个，故现在有4个有序数对当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个有序数对不称心题意，分不为(1,2)，(2,1)，(2,2)a0时，(a，b)共有3412个实数对，故a0时称心条件的实数对有1239个，因此答案应为4913.2假设一个三位正整数如“a1a2a3称心

8、a1a3，那么称如斯的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A240B204C729D920答案A分析假设a22，那么百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数为120与121，共2个假设a23，那么百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，那么“凸数有236(个)假设a24，称心条件的“凸数有3412(个)，假设a29，称心条件的“凸数有8972(个)因此所有凸数有26122030425672240(个)3(2016世界)定义“标准01数列an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数非常多于1的个数假设m4，那么差

9、异的“标准01数列共有()A18个B16个C14个D12个答案C分析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只需2个1相邻时，共A个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C个，共28414(个)思想升华分类标准是使用分类加法计数情理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置(1)按照题目特征恰中选择一个分类标准(2)分类时应留心完成这件情况的任何一种办法必须属于某一类，同时候不属于差异种类的两种办法是差异的办法，不克不迭重复(3)分类时除了不克不迭交叉重复外，还不克不迭有遗漏题型二

10、分步乘法计数情理例1(1)(2016世界)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红集合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最长道路条数为()A24B18C12D9答案B分析从E点到F点的最长道路有6条，从F点到G点的最长道路有3条，因此从E点到G点的最长道路有6318(条)，应选B.(2)有六名同学报名参加三个智力工程，每项限报一人，且每人至多参加一项，那么共有_种差异的报名办法答案120分析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由工程选人，第一个工程有6种选法，第二个工程有5种选法，第三个工程有4种选法，按照分步乘法计数情理，可得差异的报名办法共有65

11、4120(种)引申探究1本例(2)中假设将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项改为“每人偏偏参加一项，每项人数不限，那么有多少多种差异的报名办法？解每人都可以从这三个比赛工程中选报一项，各有3种差异的报名办法，按照分步乘法计数情理，可得差异的报名办法共有36729(种)2本例(2)中假设将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项改为“每项限报一人，但每人参加的工程不限，那么有多少多种差异的报名办法？解每人参加的工程不限，因此每一个工程都可以从这六人中选出一人参赛，按照分步乘法计数情理，可得差异的报名办法共有63216(种)思想升华(1)使用分步乘法计数情理处置征询题要按情况发生的过程公正分步，

12、即分步是有先后次第的，同时候步必须称心：完成一件事的各个步伐是互相依存的，只需各个步伐都完成了，才算完成这件事(2)分步必须称心两个条件：一是步伐互相独破，互不烦扰；二是步与步确保连续，逐步完成跟踪训练1一个巡游景区的巡游线路如以下列图，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路巡游A，B，C三个景点及沿途风光，那么差异(除交汇点O外)的巡游线路有_种(用数字作答)答案48分析按照题意，从点P处进入后，不雅观赏第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；不雅观赏完第一个景点，不雅观赏第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；不雅观赏完第二个景点，不雅观赏第三个景点时

13、，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法由分步乘法计数情理知，共有64248(种)差异巡游线路题型三两个计数情理的综合使用例2(1)(2017天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9形成不反双数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，如斯的四位数一共有_个(用数字作答)答案1080分析当形成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为CCA960.当形成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A120.故符合题意的四位数一共有9601201080(个)(2)现有5种差异颜色的染料，要对如以下列图的四个差异地域停顿涂色，恳求有大年夜众边的两个地域不克不迭使用一致种颜色，那么差异的涂色办法的

14、种数是()A120B140C240D260答案D分析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，假设C处与A所在涂颜色一样，那么C处共有1种涂法，D处有4种涂法；假设C处与A所在涂颜色差异，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得差异的涂色办法有54(1433)260(种)应选D.(3)假设一条直线与一个破体平行，那么称此直线与破体形成一个“平行线面组在一个长方体中，由两个顶点判定的直线与含有四个顶点的破体形成的“平行线面组的个数是()A60B48C36D24答案B分析长方体的6个表面形成的“平行线面组的个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)形成的“平行线面组的个数

15、为6212，故符合条件的“平行线面组的个数是361248.思想升华使用两个计数情理处置使用征询题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)判定是先分类后分步，仍然先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)使用两个计数情理求解跟踪训练2(1)用数字0,1,2,3,4,5形成不反双数字的五位数，其中比40000大年夜的偶数共有()A144个B120个C96个D72个答案B分析由题意，首位数字只能是4,5，假设万位是5，那么有3A72(个)；假设万位是4，那么有2A48(个)，故比40000大年夜的偶数共有7248120(个)应选B.(2)假设一条直线与一个破体垂直，那么称此直线与破体形成

16、一个“正交线面对在一个正方体中，由两个顶点判定的直线与含有四个顶点的破体形成的“正交线面对的个数是_答案36分析第1类，关于每一条棱，都可以与两个正面形成“正交线面对，如斯的“正交线面对有21224(个)；第2类，关于每一条面对角线，都可以与一个对角面形成“正交线面对，如斯的“正交线面对有12个因此正方体中“正交线面对共有241236(个)(3)如图，用4种差异的颜色对图中5个地域涂色(4种颜色全部使用)，恳求每个地域涂一种颜色，相邻的地域不克不迭涂一样的颜色，那么差异的涂色种数为_答案96分析按地域1与3是否同色分类：地域1与3同色：先涂地域1与3有4种办法，再涂地域2,4,5(尚有3种颜色

17、)有A种办法地域1与3同色时，共有4A24(种)办法地域1与3差异色：第一步涂地域1与3有A种办法，第二步涂地域2有2种涂色办法，第三步涂地域4只需1种办法，第四步涂地域5有3种办法共有A21372(种)办法故由分类加法计数情理可知，差异的涂色种数为247296.1聚拢A1,2,3,4,5，B3,4,5,6,7,8,9，从聚拢A，B中各取一个数，能形成的不反双数字的两位数的个数为()A52B58C64D70答案B分析按照分步乘法计数情理得(CCCCCCC)A58.2(2018包头质检)三集团踢毽，互相转达，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次转达后，毽又被踢回给甲，那么差异的转达办法共有(

18、)A4种B6种C10种D16种答案B分析分两类：甲第一次踢给乙时，称心条件的有3种转达办法(如图)，同理，甲先传给丙时，称心条件的也有3种转达办法由分类加法计数情理可知，共有336(种)转达办法3十字路口来往的车辆，假设差异意回想，那么行车路途共有()A24种B16种C12种D10种答案C分析按照题意，车的行驶路途起点有4种，行驶倾向有3种，因此行车路途共有4312(种)，应选C.4(2018大年夜连联考)假设自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)各位数均不发生进位现象，那么称n为“欢乐数比如：32是“欢乐数因为323334不发生进位现象；23不是“欢乐数，因为232425发生进位现象，那么

19、，小于100的“欢乐数的个数为()A9B10C11D12答案D分析按照题意个位数n需要称心n(n1)(n2)10，即n2.3，个位数可取0,1,2三个数，十位数k需要称心3k10，k3.3，十位数可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“欢乐数共有3412(个)应选D.5如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的表示图，现在供应5种颜色给其中5个小地域涂色，规那么每个地域只涂一种颜色，相邻地域颜色纷歧样，那么差异的涂色方案共有()A120种B260种C340种D420种答案D分析由题意可知上下两块地域可以一样，也可以差异，那么共有5431354322180240420

20、.应选D.6如图，给7条线段的5个端点涂色，恳求一致条线段的两个端点不克不迭同色，现有4种差异的颜色可供选择，那么差异的涂色办法种数有()A24B48C96D120答案C分析假设A，D颜色一样，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只需1种涂法，共有43224(种)；假设颜色A，D差异，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B跟D一样时，C有2种涂法，当B跟D差异时，C只需1种涂法，共有432(21)72(种)，按照分类加法计数情理可得，共有247296(种)，应选C.7对33000分析质因数得330002335311，那么33000的正偶数因数的个数是

21、()A48B72C64D96答案A分析33000的因数由假设干个2(共有23,22,21,20四种情况)，假设干个3(共有3,30两种情况)，假设干个5(共有53,52,51,50四种情况)，假设干个11(共有111,110两种情况)，由分步乘法计数情理可得33000的因数共有424264(个)，不含2的共有24216(个)，正偶数因数的个数为641648，即33000的正偶数因数的个数是48，应选A.8从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数跟真数，那么所有差异对数值的个数为_答案17分析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数中不含有1时，可掉掉落A

22、20(个)对数，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93.综上可知，共有201417(个)差异的对数值9设a，b，c1,2,3,4,5,6，假设以a，b，c为三条边的长可以形成一个等腰(含等边)三角形，那么如斯的三角形有_个答案27分析先考虑等边的情况，abc1,2，6，有六个，再考虑等腰的情况，假设ab1，cab2，现在c1与等边重复，假设ab2，cab4，那么c1,3，有两个，假设ab3，cab6，那么c1,2,4,5，有四个，假设ab4，cab8，那么c1,2,3,5,6，有五个，假设ab5，cab10，那么c1,2,3,4,6，有五个，假

23、设ab6，cab12，那么c1,2,3,4,5，有五个，故一共有27个102017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期保守运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站跟哈尔滨大年夜巷每人只能去一个所在，哈西站肯定要有人去，那么差异的巡游方案为_种答案65分析按照题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站跟哈尔滨大年夜巷每人只能去一个所在，那么每人有3种选择，那么4人一共有333381种情况，假设哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路跟哈尔滨大年夜巷每人有2种选择办法，那么4人一共有222216种情况，故哈西站肯定要有人去有811665种情况，即哈西站肯定有人去的巡游方案有

24、65种11(2018鞍山模拟)结合国国际援助结构方案向非洲三个国家援助粮食跟药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，假设每个国家都要有物资援助，那么差异的援助方案有_种答案25分析按照题意，可分为：三个国家粮食跟药品都有，有1种办法；一个国家粮食，两个国家药品，有3种办法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种办法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种办法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种办法；两个国家粮食，两个国家药品，有326种办法；三个国家粮食，一个国家药品，有3种办法；三个国家药品，一个国家粮食，有3种办法，故办法总数是25.12将数字“124467重新

25、摆设后掉掉落差异的偶数的个数为_答案240分析将数字“124467重新摆设后所得数字为偶数，那么末位数应为偶数，假设末位数字为2，因为含有2个4，因此有60(种)情况；假设末位数字为6，同理有60(种)情况；假设末位数字为4，因为有2个一样数字4，因此共有54321120(种)情况综上，共有6060120240(种)情况13.工人在安装一个正六边形零件时，需要结实如以下列图的六个位置的螺栓假设按肯定次第将每个螺栓结实紧，但不克不迭连续结实相邻的2个螺栓那么差异的结实螺栓办法的种数是_答案60分析按照题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择办法，同时是机遇相当的，假设第一个选1号螺栓

26、的时候，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以掉掉落10种办法，因此总共有10660种办法，故答案是60.14已经清楚聚拢M1,2,3，N1,2,3,4，定义函数f：MN.假设点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，ABC的外接圆圆心为D，且(R)，那么称心条件的函数f(x)有_种答案12分析由(R)，说明ABC是等腰三角形，且|BA|BC|，必有f(1)f(3)，f(1)f(2)当f(1)f(3)1时，f(2)2,3,4，有三种情况；f(1)f(3)2，f(2)1,3,4，有三种情况；f(1)f(3)3，f(2)2,1,4，有三种情况；f(1)f(3)4，f(2)2

27、,3,1，有三种情况因此称心条件的函数f(x)有12种15回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99,3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.那么(1)5位回文数有_个；(2)2n(nN)位回文数有_个答案(1)900(2)910n1分析(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾一样，且不为0，共9种填法，第2位跟第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有91010900(种)填法，即5位回文数有900个(2)按照回文数的定义，此征询题也可以转化成填方格结合分步乘法计数情理，

28、知有910n1种填法16用6种差异的颜色给三棱柱ABCDEF六个顶点涂色，恳求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂差异颜色，那么差异的涂色办法有_种(用数字作答)答案8520分析分两步来停顿，先涂A，B，C，再涂D，E，F.第一类：假设6种颜色都用上，现在办法共有A720种；第二类：假设6种颜色只用5种，起首选出5种颜色，办法有C种；先涂A，B，C，办法有A种，再涂D，E，F中的两个点，办法有A种，最后剩余的一个点只需2种涂法，故现在办法共有CAA24320种；第三类：假设6种颜色只用4种，起首选出4种颜色，办法有C种；先涂A，B，C，办法有A种，再涂D，E，F中的一个点，办法有3种，最后剩余的两个点只需3种涂法，故现在办法共有CA333240种；第四类：假设6种颜色只用3种，起首选出3种颜色，办法有C种；先涂A，B，C，办法有A种，再涂D，E，F，办法有2种，故现在办法共有CA2240种综上可得，差异涂色方案共有720432032402408520种