2022年文科数学高考压轴题集结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1、已知 函数f x 2 3x1,h x 2 xx 2,求F x 的单调区间与极值；2（）设函数F x 18 （）设 a R ,解关于 x 的方程 lg 3f x 1 3 2lg h a x 2lg h 4 x ；2 4（）设 n N ,证明：*f n h n 1 h 2 h n 1612、已知定点 A 1,0, F 2,0 , 定直线 l : x,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到2直线 l 的距离的 2 倍,设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C两点,直线 AB、AC分别交 l 于点 M、 N. 求 E 的

2、方程；（）试判定以线段 MN为直径的圆是否过点 F, 并说明理由；x3、设 f x 1 ax a 0, 且 a 1, g x 是 f x 的反函数,1 a（）求 g x ；（）当 x 2,6 时,恒有 g x log a 2 t 成立,求 t 的取值范 x 17 x 围； （） 当 0 a 1时,试比较 f 1 f 2 f n 与 n 4 的大小, 并说明理由；224 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x 2 y1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为- 22的直线 l 与 C 交与 A、 B 两点,点 P 满意 OA OB OP 0.证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关

3、于点 O 的对称点为 Q,证明： A 、P、B、Q 四点在同一圆上 . n5 设数列 a n 的前 n项和为 S n 2 a n 2,n（）求 a a ；（）证明：a n 1 2 a 是等比数列；（）求 a n 的通项式2 26 设椭圆 x2 y2 1, a b 0 的左右焦点分别为 F F ,离心率 e 2,点 F 到右准a b 2名师归纳总结 线为 l 的距离为2FMF N0,第 1 页,共 13 页（）求a b 的值；（）设M N 是 l 上的两个动点,证明：当 MN 取最小值时,F F 2F MF N0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7 求

4、F1、F2分别是横线x2y21的左、右焦点 . 4（）如 r 是第一象限内该数轴上的一点,PF12PF225 4,求点 P 的作标；O（）设过定点M（0,2）的直线l 与椭圆交于同的两点A、B,且 ADB 为锐角（其中为作标原点） ,求直线 l 的斜率 k 的取值范畴 . 8 已知函数f（x）=x24,设曲线 yf（x）在点（xn,f（xn）处的切线与x 轴的交点为 （ xn+1,u）（u,N +）,其中为正实数. （）用 xx表示 xn+1；（）如 a1=4,记 an=lg x n 2,证明数列 a1成等比数列,并求数列xn的通项公式；x n 2（）如 x1 4,bnxn2,Tn 是数列 b

5、n的前 n 项和,证明 Tn39. （本小题满分 12 分）3 2设 a 为实数,函数 f x x x x a；（）求 f x 的极值；（）当 a 在什么范畴内取值时,曲线 y f x 与 x 轴仅有一个交点；10. （本小题满分14 分） P、Q、M 、N 四点都在椭圆x2y21上, F 为椭圆在y 轴正半轴2上的焦点；已知PF 与PQ共线,MF 与FN共线,PFMF0； 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值；11设aR,函数fx2 a x2x2 如. a f x 0的解集为A,0.过 A 、Bx|1x3 ,AB,求实数a 的取值范畴；12 已知抛物线2 x4y 的焦点为 F,A、B 是抛

6、物线上的两动点, 且AFFBB 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M ；（I）证明 FMAB为定值；（II ）设ABM的面积为 S,写出Sf 的表达式,并求S 的最小值；1 解 ：（）F x 18 2 x h x 23 x12x9x0,名师归纳总结 F x 32 x12第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令F 0,得x2（x2舍去）名师归纳总结 a 1当x0,2时F 0；当x2,时,F 0,x ,4a ,第 3 页,共 13 页故当x0,2时,F x 为增函数；当x2,时,F x 为减函数x2为F x 的极大值点,且F282492

7、5（） 方法一： 原方程可化为log 3f x13log2h axlog2h 424即为log x1log2axlog24xlog2ax,且xa,4,4x1xa ,当 1a4时, 1xa ,就x1ax,即2 x6xa40,4x364a4204 a0,此时x6204a35a , 1x2此时方程仅有一解x35a 420当a4时,1x4,由x1ax,得x26 x a4 0,364a4x如 4a5,就0 ,方程有两解x35a ；x45.如a5时,就0 ,方程有一解x3；如a1或a5,原方程无解方法二： 原方程可化为log x1log2h4xlog2h ax ,即1 log 2x1log24xlog2a

8、x ,x10,x ax.14x0,xa,ax0,ax32x14当 1a4时,原方程有一解x35a ；当 4a5时,原方程有二解x35a ；当a5时,原方程有一解x3；当a1或a5时,原方程无解1（）由已知得h 1h 2h n 12n ,f n h n 14n3n1666设数列 a n的前 n 项和为S ,且S nf n h n1（n* N ）6从而有a 1S 11,当2kk100时,akS kS k14 k3k4k1k3266 2 1 k又kak1 4 6k34k1k114kk4k1,所以64k3k4k1k11k3k1k1k106 44即对任意k2时,有akk,又因为a 111a 2a n12

9、n 就S nh1h2h n ,故原不等式成立- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、解析：（）设P x y ,就x22y22x1,化简得：2名师归纳总结 2 xy21y0 （4 分）第 4 页,共 13 页3（）由当直线BC与 x 轴不垂直时,设BC的方程为yk x2k0,与双曲线方程x2y21y0联立消去y 得3k22 x2 4 k x4k230,3由 题 意 知3k20且0 , 设B x,y ,C 2 x,2 y, 就x 1x 234 k2,k2x x24k2k3,32y y 2k2x 12x 22k2x x 22x 1x 24k24k238k234

10、k9k2；k23k223x x 21, 所 以 直 线AB 的 方 程 为yx 1y 11x1, 因 此M 点 的 坐 标 为1 ,2 23y 11；x 1FM3 ,2 23y 11,同理可得FN3 ,2 23y21x 1x281 k2因此FMFN334x 19y y 21944 k2k232310221 x 2434 kk23k2 当直线 BC与 x 轴垂直时,设BC的方程为x2,就B 2,3,C2,3,AB 的方程为yx1,因此 M的坐标为M1 3 ,2 2,FM3 3 ,2 2, 同理得FN3,3, 因此22FMFN33330；2222综上FM FN0, FMFN ,即 FMFN , 故

11、以线段 MN为直径的圆过点F. 12 分 3、解析：（）由题意得axy10,y1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故g x logax1,x, 11, （3 分）x1名师归纳总结 （）由g x logax1logax2tx 得第 5 页,共 13 页x117 当a1时,x1x2tx0,又由于x2,6,所以x1170tx2 1 7x ；令h x x2 1 7x x39x215x7,x2,6就h x 3 x218x153x1 x5,列表如下：x2 2,5 5 5,6 6 t0 t5 极大值 32 25 所以h x 最小值5, 0t5, 当 0a1时,0x1

12、x2tx ,又 由于x2,6,所以x117由知h x 最大值32,t32,综上,当a1时, 0t5；当 0a1时,t32； （9 分）（）设a11p,就P1,当n1时,f11a1235,1ap当n2时,设k2,kN 时,就f k 1ak112k111 C p2 C p2.k kC p1akp 2所以1f k 1C12C214114k41,k kkkk从而f2f3f n n14n41n1；2所以,f1f2f3f n f1n1n4综上,总有f1f2f3f n n4； （14 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 I 设A x y 1,B x 2,y 2

13、直线l:y2 x1,与x2y21联立得4 x22 2x102x 1642,x2642=x 1x 22,x x 21241由OAOBOP0.得P x 1x 2, y 1y 2x 1x 22, （ y1+y2 ） =1,222 1222y 1 1y 2 1（II ）法一：tanAPBk PAk PB1x 12 2 1x 2y2 2 11kPAkPBy 1x222 2x 1223x 2x 14x2x 13x x 23 2x 1x 29322同理tanAQBkQBkQA1y21x 1y 11x 222 2 121y2y 11kQAkQBx 1x2x22x 12224x 1x23x x22x 1x213

14、22所以APB,AQB 互补,因此 A、P、 B、Q 四点在同一圆上；名师归纳总结 法二：由P2,1和题设知,Q2,1,PQ 的垂直平分线1l 的方程为y2x 第 6 页,共 13 页222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 AB 的中点为 M ,就M2 1 ,4 2,AB 的垂直平分线2l 的方程为y2x1 24由得1l 、2l 的交点为N2 1 ,8 8, 23 3, |NP|222 1123 112888|AB|122|x 2x 1|3 21 82|AM|3 2,|MN|222144828|NA|AM2 |MN2 |3 118故 |NP| |N

15、A .|NP| |NQ|,|NA| |NB|所以 A 、P、 B、 Q 四点在同一圆圆N 上.5 解：（）由于a 1S 1,2a 1S 12,所以a 12,S 12由 2a nS n2n知2 a n1S n12n1a n1S nn 21得a nS nn 21所以a 2S 1222226,S 28a 3S 23 282316,S 224a 4S 32440（）由题设和式知名师归纳总结 an1anS n12n1S n2n第 7 页,共 13 页2n2n2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以是首项为 2,公比为 2 的等比数列；（）anan2an12an

16、12a n22n2a22a 1x2n1a 1n1n 21c,所以由题设得2 26 解： 由于ea,F 到 l 的距离da2cca2c2a2c2c2,0, l 的方程为解得c2,a2由b2a2c22,得b2（）由c2,a2得F 12,0 ,F 2故可设M2 2,y 1,N2 2,y 20由知FMF N0知222,y 12 22,y2得y y 1 26,所以y y 20,y262 6y 1MNy 1y2y16y11y 1y 1当且仅当y 16时,上式取等号,此时y 2y 1所以,F F2F MF N2 2,02,y 12,y20, y 1y 20名师归纳总结 7（）易知a2,b1,c3P x y

17、, x0,y0就第 8 页,共 13 页F 13,0,F 2 3,0设- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PF 1PF23x ,y 3x,yx2y235,又x2y21,44名师归纳总结 联立x2y27,解得x y21x13,P1,3,y2第 9 页,共 13 页43x2y22y21424（）明显x0不满意题设条件可设l 的方程为ykx2,设A x y 1,B x 2联立x2y21x24kx22414 k2x216kx1204ykx2x x21122,x 1x2116k24k4k由16 24 1 4 k2 12016 k231 4 k20,4k230,得k

18、234又AOB 为锐角cosAOB0OA OB0,OA OBx x 2y y 20又y y2kx 12kx222 k x x 22 k x 1x24x x 2y y 21k2x x 22 k x 1x 241k2112k22k116k2444k1214k22k16k41k214k2x n444k201k21k244综可知3k24, k 的取值范畴是 2,33,24228（）由题可得f 2x 所以曲线yf x 在点 x n,f x n处的切线方程是：yf x nfx nx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即y2 x n42x nxx n名师归纳总结 令y

19、0,得2 x n42xnx n1x n12x n2 2第 10 页,共 13 页即x242x xn1n明显x n0,xn1xn22xn22x n22,同理x n（）由x n1xn2,知x n12x n2x n2x n2x n2x n故x n12x n22x n12x n2a n12 a 所以,数列 a n成等比数列从而lgx n122lgx n2,即x n12x n2故ann 21a 12n1lgx 12n 21lg3x 12即lgxn22n1lg3xn211从而xn22 3n1x n2所以x n2 23n1112 3n1（）由（）知nx2 23n111,2 n31b nx n22 3n410

20、1b n12 3n112 3n1111b n2 3n112 3n2 1 133当n1时,明显T 1b 1231 3n1b 1当n1时,b n1b n11 32b n23T nb 1b 2b n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b 11b 1 13n1b 13b 1 11 1 n313f x 1,31 3 3n3综上,T n3nN*9 解：（I）fx3 x22x1如 fx0 ,就 x1,13当 x 变化时,fx ,fx 变化情形如下表：x ,111,1 1 333f 0 0 f x 极大值微小值所以 fx 的极大值是 f15a,微小值是 f a13270

21、 ,所以曲线（II ）函数 f x x3x2xax2 1 x1 a1由此可知x 取足够大的正数时,有f x 0 ,x 取足够小的负数时有yf x 与 x 轴至少有一个交点；结合 fx 的单调性可知：5 5当 fx 的极大值 a 0,即a , 时,它的微小值也小于 0 ,因此曲线27 27y f x 与 x 轴仅有一个交点,它在 1, 上；当 fx 的微小值 a 1 0,即 a 1, 时,它的极大值也大于 0,因此曲线 y f x 与 x 轴仅有一个交点,它在 ,1 上35所以当 a , 1, 时,曲线 y f x 与 x 轴仅有一个交点；2710 解：如图, 由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的

22、两条弦,相交于焦点 F（0,1）且 PQ MN,直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 k；又 PQ 过点 F（0,1）,故 PQ 方程为 ykx 1 将此式代入椭圆方程得名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2k2x22 kx10名师归纳总结 设P、Q两点的坐标分别为x 1,y 1,x 2,y2,就第 12 页,共 13 页x 1k22 k22,x2k22k22k2k22 1k2从而|PQ|2x 1x22y 1y 228 1k22亦即|PQ|22k222k2（i ）当k0时, MN 的斜率为

23、1,同上可推得|MN|22 112kk212k故四边形面积S1|PQ|MN|4 1k2 114 2k1 k 222k 212 2k2252 k2k2k2令uk21,得S4 22u2 151uk25u216由于uk212当k1时,u2,S16k29且 S 是以 u 为自变量的增函数所以16S29（ii ）当 k=0 时, MN 为椭圆长轴,|MN|22,PQ|2S1|PQ|MN|22综合（ i）,（ii ）知,四边形PMQN 面积的最大值为2,最小值为911 解：由 f（x）为二次函数知a0令 f（x） 0 解得其两根为x 1121,x 2121aa2aa2由此可知x 10,x 20（i ）当a

24、0时,Ax xx 1x xx 2AB的充要条件是x 23,即1213解得a6aa27（ii ）当a0时,Ax x 1xx 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB的充要条件是x 21,即1211解得a2aa2名师归纳总结 综上,使 AB成立的 a 的取值范畴为, 26,第 13 页,共 13 页712解： 由已知条件,得F0,1, 0设 Ax1,y1,Bx2,y2由 AF FB,即得x1,1yx2,y21,x1 x21 y1 y2 1 将式两边平方并把y11 4x1 2,y21 4x22 代入得y1 2y2解、式得y1 ,y21 ,且有 x1x2 x2

25、 2 4 y2 4,抛物线方程为y1 4x 2,求导得 y1 2x所以过抛物线上A、B 两点的切线方程分别是y2x1xx1y1,y1 2x2xx2 y2,即 y1 2x1x1 4x1 2, y1 2x2x1 4x22解出两条切线的交点x1x2 M 的坐标为 ,2x1x2 x1x24 2, 1 4 分所以 FM ABx1x2 2, 2 x2x1,y2y11 2x22x1 221 4x2 21 4x1 20 所以 FM AB为定值,其值为0 7 分由知在 ABM 中, FM AB,因而 S1 2|AB|FM |FM |x1x22224x121 4x221 2x1x24 2y1y21 2 4 4 1 21由于 |AF|、 |BF|分别等于 A、B 到抛物线准线y 1 的距离,所以|AB|AF|BF|y1y221 21 2于是S1 2|AB|FM |1 3,由12 知 S4,且当 1 时, S 取得最小值4- - - - - - -