2021年微积分初步.pdf

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1、数学补充知识A 微积分初步1 函数及其图形一、函数、自变量和因变量1函数：如果有两个相互联系的变量x和y，每当变量x取定某个值以后，按照一定的规律就可确定y的对应值，我们就称y是x的函数，记为)(xfy)(:),(xyyxyf或间的对应关系和表示是函数记号（1）同一问题中遇见不同形式的函数时，可以用不同记号表示函数形式，例：)(),(xx（2）常见函数举例：axexxxcbxaxxxfy,ln,2cos,21,23)(22自变量和因变量：x：为自变量。x的变化范围：函数的定义域。y：为因变量。y所有取值范围：函数的值域。物理学中函数与自变量视研究问题而定。例：nRTPV中可以有两个变量；但若V

2、一定时，)(TPP；或PTT。3常数：上例中：ecba,2,21,2,3均为常数a绝对常数：（确定不变的数）e,2,21,2,3b任意常数：cba,等。任意常数需要通过具体问题确定。常用确定方法：求斜率、截距的方法；非线性函数先进行变量变换，线性化后求斜率、截距的方法等。知道了函数的形式以后，即可确定与自变量任一特定值对应的函数值)(0 xf。例：1)(,2,23)(xfxxxfy时若。一般：0 xx时，0023)(xxf4以上所介绍的为一元函数，还有二元函数，多元函数。5复合函数：若：)(),(xgzzfy，则称y是x的复合函数，记为)()(xgfxy。Z 称为中间变量。例：简谐振动tAAx

3、coscos，为中间变量，tx是的复合函数。二、函数的图形图形优点：直观了解一个函数的特征；通过作图可以拟合物理规律。1平面中的曲线可以表示几何学或物理学中两变量间的函数关系2作图方法：逐点描迹的方法。给一个x值，求对应的)(xf值，确定（yx,）实精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 1 页，共 5 页验中，未知函数关系时，测量yx,，然后逐点描迹。例：axeyxcybxay)(双曲线一支曲线直线 变量变换，曲线变直线。例 1：cZYxZxcY则令,1:,例 2：axYYYeYax:,ln:,则令这种方法对于确定任意常数极为方便，是实验中常用方法之一。3二元函数的

4、图形是三维空间中的曲面三、物理学中函数实例：反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系。1匀速直线运动公式v常数)(,0tssvtss。反映了位置随时间的变化规律。vs,0为任意常数，0s为初位置，v速度，0s与坐标原点选择有关，v对每个匀速直线运动有一定值，对不同的匀速直线运动可以取不同的值。2匀变速直线运动公式)()(210200tvvatvvtssattvssasv,00为任意常数，根据具体问题确定。例：自由落体运动，若取起始位置为坐标原点，则：gttvvgttss)(,21)(2。3玻意耳定律：一定质量的气体，在温度保持不变时，CPVPCPVVVCVPP)(:)(或4欧

5、姆定律：IRUa若讨论一段导体)(一定R中电流随电压关系时，RUUII)(b讨论串联电路电压在各电阻元件上分配时，I一定，IRRUU)(c讨论并联电路电流在各支路分配时，U一定，则：RURII)(结论：自变量、因变量与常数，有时从公式本身并不能明确反映不出来，需要由具体问题分析确定。精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 2 页，共 5 页文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y

6、7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:C

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11、HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8

12、ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O52 导数一、极限：1概念：当变量x无限趋近某一数值)(00 xxx时，函数)(xf的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做0 xx时函数)(xf的极限值，记为：axfxx)(lim0读作：“当0 xx时，)(xf的极限等于a”。2特例：此例的目的在于说明极限的意义：123)(2xxxxfy00)1(,8)2(,2)0(fff而，根据中学知识知道，用0 除以 0，一般无意义。232xx1x123)(2xxxxfy0.9 0.99 0.999 0.9999-0.47-0.0497-0.04997

13、-0.0049997-0.1-0.01-0.001-0.0001 4.7 4.97 4.997 4.9997 1.1 1.01 1.001 1.0001 0.53 0.0503 0.005003 0.00050003 0.1 0.01 0.001 0.0001 5.3 5.03 5.003 5.0003 由表可以看出1x时，5)1(f。这一特例说明了极限的概念。当然，此题有更为简单的方法，即：23)1()1)(23()(xxxxxfy5)1(f5123lim)(lim211xxxxfxx二、物理学中极限的例子：1瞬时速度（率）（以直线运动为例）（1）平均速率：a一般公式：)()()()(),(

14、00010110tsttststsstttttttssttsttstsv)()(00精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 3 页，共 5 页文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V

15、3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M

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17、I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W

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20、F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5b匀变速直线运动：200000200000)(21)()(,21)(ttattvsttsattv

21、ststaatvttsttsv21)()(0000，上式说明，t愈小，愈能反映0t时刻的情况。（2）瞬时速率：,00时刻的瞬时速率的极限值叫物体在时把tttstttsttstsvtt)()(limlim0000对匀变速直线运动：000limatvtsvt2瞬时加速度（实际问题中需要描述速度变化的快慢）)()()()()()(0001010tvttvvttvtvtvttttvv定义平均加速度：ttvttvtva)()(00对匀变速直线运动：)()(,)(000000ttavttvatvtv.)()(00常数attattvttva一般的变速运动a与t有关，t愈小，愈能反映0t时刻速度变化的快慢瞬时

22、加速度：ttvttvtvatt)()(limlim00003坡度0101100)()()()(xxxxxhxhxxhxxxhh)()()()(0001xhxxhxhxhh.,)()(000处坡度愈能反映愈小xkxxxhxxhxhkxxhxxhxhkxx)()(limlim0000精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 4 页，共 5 页文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F

23、7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6

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26、7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:C

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29、2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5三、导数函数的变化率以上三例的特点：反映了函数的变化趋势，变化快慢，变化率。1增量：变量由一个值变为另一个值时，后者减去前者叫增量，用表示。例：若10:),(xxxxfy变到由，则自变量增量01xxx；函数（因变量）：)(),()(00011xfyxxfxfy，因变量增量：)()(00 xfxxfy*：,0变量增加；,0变量减小。2平均变化率：自变量的增量函数的增量平均变化率xxfxxfxy)()(003函数xxfy对)(的导数或微商：函数在xxxxx00到这一区间的平均变化率在自变量0 x时的

30、极限值叫xxfy对)(的导数或微商，记为xxfxxfxyxfyxx)()(limlim)(0000也可记为：)(,xfdxddxdfdxdy4意义：导数代表函数在某一点（研究点）的变化率*：)(xf本身也可以是x的函数，（即不同的自变量x处变化率不同），因此可以再取它对x的导数，叫做函数)(xfy的二阶导数，记为y或)(xf或22dxyd)()(22xfdxddxdydxddxydxfy5物理学中的实例：瞬时速率：)lim(,0dtdstsvdtdsvt瞬时速率是研究某一时刻的位置对时间的变化率。瞬时加速度：220limdtsddtdsdtddtdvtvat水渠坡度：dxdhxhkx0lim四

31、、导数的几何意义：如图：研究曲线在0P点的切线的斜率。精品w o r d 学习资料 可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 5 页，共 5 页文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G

32、9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3O5文档编码:CP6W2V3I2G1 HF10W3M7G9Y8 ZK2Y7F7I3

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